démonstration: transformation de cos+sin en cos(W+y) ??

[invite40f82214]

bonjour tous le monde,

ma question n'est surment pas tres dur mais j'ai du mal à trouver:

comment passe t on de: Acos(wt)+Bsin(wt)

à: ro*cos(wt-phy) avec ro=A²+B²^1/2 et Phy=artang B/A


Si quelqu'un peu me refaire la démonstration ca serait cool, j'ai essayé de dévelloper le second membre mais j'ai du mal.

merci beaucoup
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[Arkangelsk]

Bonjour,

As-tu essayé de remplacer, tout simplement ?

Si tu connais les formules donnant et , cela devrait aller tout seul ...

[invite5c27c063]

Donc tel que et ....

Tu continues ?

[invitec317278e]

Bonsoir,

la formule est fausse :

pourtant :

Se méfier de l'arctangente, la formule vaut à pi près dans le cos !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitece2661ac]

bonsoir:
On a :
f(t) = Acos(wt)+Bsin(wt)
f(t) = (A²+B²)^1/2{ [A/(A²+B²)^1/2].cos(wt)+ [B/(A²+B²)^1/2].sin(wt) }

On pose : (A²+B²)^1/2 = ro

f(t) = ro.{ [A/ ro].cos(wt)+ [B/ ro].sin(wt) }

on pose en suite: [A/ ro] = cos(phy) implique [B/ ro]= sin(phy) en effet on a :

cos^2(phy) + sin^2(phy) = [A/ ro]^2 + [B/ ro]^2 = [A^2 + B^2]/ro^2 = 1

ce qu'est vrai et donc :tg(phy) = sin(phy)/cos(phy) = [B/ A]

Donc : f(t) = ro.{ [A/ ro].cos(wt)+ [B/ ro].sin(wt) }
f(t) = ro.{ cos(phy).cos(wt)+ sin(phy).sin(wt) }
f(t) = ro.cos(wt - phy)

car : cos(a+b) = cos(a).cos(b) -sin(a).sin(b)

[invitec317278e]

on pose en suite: [A/ ro] = cos(phy) implique [B/ ro]= sin(phy) en effet on a :

cos^2(phy) + sin^2(phy) = [A/ ro]^2 + [B/ ro]^2 = [A^2 + B^2]/ro^2 = 1

ce qu'est vrai et donc :tg(phy) = sin(phy)/cos(phy) = [B/ A]

Poser phi tel que indiqué n'implique pas forcément l'égalité avec le sinus, ça n'implique que l'égalité des valeurs absolues ; il faut poser phi tel que [A/ ro] = cos(phi) ET [B/ ro]= sin(phi).

On a effectivement, alors, tg(phi)=B/A, mais cela ne veut absolument pas dire que B/A vaut arctan(phi).

[mécano41]

Bonjour,

Sauf erreur, sur croquis joint je trouve :



Cordialement

[invite40f82214]

merci, beaucoup tous le monde c'est tres gentil

[ENO-Astro]

Bonjour, où est mon erreur ?

j'ai cette équation :

Avec et

Je pose :


J'en déduis que:

et
Soit :

et avec


Ce qui m'amène à trouver : or je suis censé avoir un signe + dans le cosinus :/

Quelqu'un pour m'éclairer ? Merci

[gg0]

Bonjour.

C'est quoi, ce i dans l'expression de D ? Si c'est le complexe dont le carré vaut -1, tu es en train d'appliquer une méthode là où elle ne s'applique pas (elle concerne du calcul sur des réels).

Autre chose : Pour A=3 et B=4,

n'est pas un cosinus.

C'est bizarre, tu sembles appliquer bêtement des formules sans même voir que si c'est C et D qui multiplient les cos et sin, c'est eux qui servent dans la méthode.

je peux t'aider à réaliser un calcul si tu expliques ce que tu fais et où tu veux aller (en particulier qui est i).

Cordialement.

[ENO-Astro]

Bonjour,

effectivement ce n'est pas du tout un cosinus :/

En faite je veux démontrer la solution de l'équation harmonique

J'ai appliqué la méthode de résolution d'une équation différentielle de 2nd ordre, et je trouve :

Je décompose ensuite les exponentielles par la formule d'Euler :



et je trouve :



Merci à vous !

[gg0]

Mais il n'y a aucune raison que cette fonction complexe soit un cosinus (fonction réelle).
Donc tu fais des "calculs" sans rime ni raison.

Par contre, à partir de la forme générale des solutions complexes, tu peux trouver deux solutions réelles non proportionnelles; qui te donneront la forme générale des solutions réelles de ton équation. Et là, tu pourras passer à la forme que tu veux. Donc parmi les solutions, tu peux prendre deux cas particuliers, l'un avec A=B=1/2, l'autre avec A=1/(2i) et B=-1/(2i).

Bon calcul !

[ENO-Astro]

Merci, je vais détailler le calcul :

alors je trouve un , donc 2 solutions complexes: et

ce qui me donne: et

Donc une solution générale x'(t) est donnée par la combinaison de x1 et x2.

Si maintenant je prend A=B=1/2 je trouve une solution réelle : avec C = A+B

Avec A= 1/2i et B= -1/2i je trouve une autre solution réelle : avec D = (A-B)/i

Ce qui me donne une solution générale, combinaison de 2 solutions réelles et linéairement indépendantes :

(1)

Ai-je juste ?
Si oui, comment passer alors de l'équation (1) à celle-ci : avec E = cste

Merci à vous

[stefjm]

cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b
Non?

[jacknicklaus]

Si oui, comment passer alors de l'équation (1) à celle-ci : avec E = cste

un indice, par la pratique, dans la section collège et lycée :
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post6087909

[ENO-Astro]

^^ Je connais cette méthode, quand je l'applique, je trouve .
Je m'embrouille avec les constantes C et D

[gg0]

avec ou ou ...

Par contre, la préconisation cos a cos b - sin a sin b = cos(a+b) donne directement un +.

Si tu n'y arrives pas, expose tes calculs, on te guidera.

Cordialement.

[ENO-Astro]

Merci, alors j'ai

je pose ensuite que :



avec et comme on a , je trouve

Sachant que D est pour moi un imaginaire, puisque j'ai trouvé ai-je le droit de faire le calcul ci-dessus ?

Ensuite, je pose que

Ce qui me donne finalement :

[jacknicklaus]

et comme on a , je trouve

Pas tout à fait rigoureux. C'est plus simple : de part la définition même du cercle trigonométrique, à tout couple de réels (x,y) tels que x² + y² = 1, il correspond un unique phi dans [0,2pi[, tel que sin(phi) = x et cos(phi) = y

Sachant que D est pour moi un imaginaire, puisque j'ai trouvé ai-je le droit de faire le calcul ci-dessus

non.

[gg0]

Bon !

C'est reparti dans le n'importe quoi ! Soit C et D sont des réels, et on peut faire fonctionner la méthode, en posant

soit ce sont des complexes et tu ne traites pas une fonction réelle.

Or dans le message # 12 tu parlais de solutions réelles. Donc tu n'es pas sérieux !!

"Sachant que D est pour moi un imaginaire," ?? Tu as regardé ? Tu n'a jamais vu que ce n'est pas parce qu'on écrit i dans un calcul que le résultat du calcul est un imaginaire ?
C'est quand même bizarre ! On te donne une indication pour que justement D soit un réel, tu la mets en oeuvre, tu ne vérifies pas que ça marche, mais immédiatement après tu as déjà oublié que tu as fait ce qu'il faut pour que ce ne soit pas un imaginaire.

Bon ! Tu regardes ça correctement (donc tu vois que D est un réel), puis tu fais le calcul avec ce que j'ai écrit au début. Et c'est fini !

Cordialement.