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Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2



  1. #1
    EaGle58

    Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Bonjour,

    Quelq'un pourrait-il me démontrer ces deux egalité:
    sin²(a) = (1 - cos(2a))/ 2
    cos²(a) = (1 + cos(2a))/ 2

    Merci d'avance.

    -----


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  3. #2
    fderwelt

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par EaGle58
    Bonjour,

    Quelq'un pourrait-il me démontrer ces deux egalité:
    sin²(a) = (1 - cos(2a))/ 2
    cos²(a) = (1 + cos(2a))/ 2

    Merci d'avance.
    En écrivant que cos(2a) = cos(a + a) et en appliquant cos(a+b) ça n'est pas trop dur...
    Tu as cherché avant de poster?

    -- françois

  4. #3
    EaGle58

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par fderwelt
    En écrivant que cos(2a) = cos(a + a) et en appliquant cos(a+b) ça n'est pas trop dur...
    Tu as cherché avant de poster?

    -- françois
    Non je n'ai pas chercher, je ne connassais pas la formule cos(a+b).
    Maintenant que je la connais, j'ai essayer de faire la démonstration:

    cos(2a)=cos(a+a)=cos(a)*cos(a)-sin(a)*sin(a)
    cos²(a)-sin²(a)=cos(2a)
    cos²(a)+cos²(a)=cos(2a)+sin²(a )+cos²(a)
    2cos²(a)=cos(2a)+1
    cos²(a)=(cos(2a)+1)/2

    Euh c'est correct?

    En cherchant la formule cos(a+b) j'ai trouvé ce site:
    Comment démontre t'on cela:
    cos(A+B)=cos A cos B - sin A sin B.

    Merci d'avance

  5. #4
    martini_bird

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Salut,

    Citation Envoyé par EaGle58
    Comment démontre t'on cela:
    cos(A+B)=cos A cos B - sin A sin B.
    Avec le produit scalaire par exemple. Tu l'as déjà vu?

    Cordialement.

  6. #5
    EaGle58

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,


    Avec le produit scalaire par exemple. Tu l'as déjà vu?

    Cordialement.
    Non pas encore.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    rvz

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par EaGle58
    En cherchant la formule cos(a+b) j'ai trouvé ce site:
    Comment démontre t'on cela:
    cos(A+B)=cos A cos B - sin A sin B.

    Merci d'avance
    Salut,
    Tu peux tenter les exponentielles complexes aussi.


    Or

    De même pour b.
    Du coup,
    cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

    __
    rvz

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  10. #7
    fderwelt

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par rvz
    Salut,
    Tu peux tenter les exponentielles complexes aussi.
    Tu veux le tuer???

    S'il n'a pas vu le produit scalaire, alors les exponentielles complexes... et pourquoi pas les développements en série entière aussi?

    Note, si ça peut le motiver pour regarder de plus près...

    -- françois

  11. #8
    rvz

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Beuh !
    Tu as raison, je m'emflamme peut-être un peu. Mais il me semblait qu'on voyait les exponentielles complexes en première, et comme ça a pas grand chose à voir avec les produits scalaires, je me suis dit qu'il avait une chance de connaitre ça.
    Sinon, effectivement, la preuve avec des séries entières doit être atroce, faut vérifier que ça converge absolument, faire des réarrangements dans la somme et tout et tout. Tu connais des preuves plus pénibles de cette simple identité ? Ca pourrait être amusant de donner des preuves très compliquées de choses simples, par exemple en colle...

    __
    rvz

  12. #9
    fderwelt

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par rvz
    Ca pourrait être amusant de donner des preuves très compliquées de choses simples, par exemple en colle...
    Pourquoi "par exemple"? Je croyais que c'était la seule utilité des colles...

    Les exponentielles complexes? En Première? Il y a bien longtemps alors... même moi, je ne suis pas sûr que c'était mon cas -- peut-être en Terminale...

    -- françois

  13. #10
    matthias

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par rvz
    Ca pourrait être amusant de donner des preuves très compliquées de choses simples, par exemple en colle...
    Non mais je vous jure, il y a de ces sadiques

  14. #11
    fderwelt

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Par ailleurs, j'aimerais bien trouver une démonstration "purement géométrique" (i.e. graphique et sans calculs) des identités style cos(a+b) et sin(a+b). Même si je suis bien conscient que tout ça va se ramener en définitive à une interprétation visuelle du produit scalaire.

    J'ai eu beau googler, je n'ai trouvé que le (joli) théorème de Ptolémée:

    Pour tout quadrilatère convexe (ABCD) inscrit dans un cercle, le produit des diagonales (AC x BD) est égal à la somme des produits des côtés opposés (ABxCD + ADxBC).

    En choisissant judicieusement le quadrilatère, on retrouve les formules sus-mentionnées... mais le théorème lui-même est loin d'être intuitif (considérations de triangles semblables et autres).

    Si quelqu'un a des idées... Merci!

    -- françois

  15. #12
    rvz

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Effectivement, je suis un peu sadique

    Ba, il me semble que, si tu raisonnes sur le cercle trigonométrique, tu retrouves assez facilement les formules type sin(2a), cos(2a) en fonction de sin(a), cos(a), en utilisant des propriétés des triangles isocèles et des bissectrices. Cela dit, c'est vrai que retrouver cos(a+b) sans faire usage du produit sclaire ou de l'exponentielle complexe, ça me semble peu évident. Faisable, mais au final bien plus dur.

    Encore un truc de sadique

    __
    rvz

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  17. #13
    EaGle58

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par EaGle58
    En cherchant la formule cos(a+b) j'ai trouvé ce site:
    Voila le site:http://www.ies.co.jp/math/java/trig/kahote/kahote.html

    En cochant la case "Charaters" et en choisissant "Cos(A+B)"

    On voit qu'il y a ecrit "Cos A Cos B" et 'SinA SinB", c'est ca que je ne comprend pas, comment fait t-on pour trouver ca?

  18. #14
    matthias

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par EaGle58
    On voit qu'il y a ecrit "Cos A Cos B" et 'SinA SinB", c'est ca que je ne comprend pas, comment fait t-on pour trouver ca?
    Ca se trouve avec les formules de calcul de sinus et cosinus dans un triangle rectangle.
    cosinus = adjacent / hypothénuse
    sinus = opposé/ hypothénuse
    Ici il faut se placer une fois dans un triangle rectangle dont l'hypothénuse est cosA, et sinA pour l'autre.

    Jolie démo en passant.

  19. #15
    Hamb

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Comment démontre t'on cela:
    cos(A+B)=cos A cos B - sin A sin B.
    Ca se démontre facilement avec simplement le cercle trigonométrique et des vecteurs.

  20. #16
    fderwelt

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par matthias
    Ca se trouve avec les formules de calcul de sinus et cosinus dans un triangle rectangle.
    cosinus = adjacent / hypothénuse
    sinus = opposé/ hypothénuse
    Ici il faut se placer une fois dans un triangle rectangle dont l'hypothénuse est cosA, et sinA pour l'autre.

    Jolie démo en passant.
    C'est vrai qu'elle est jolie cette démo... et simple en plus, quand on a bien compris le triangle rectangle de référence! Et quand on ne l'a pas bien compris, c'est l'occasion de s'exercer avec

    Je cherchais plutôt à exprimer cos²a - sin²a comme différence des aires de deux carrés basés sur les côtés d'un triangle rectangle, mais alors je faisais quoi de mon cos(2a) qui est une longueur, et pas une aire?

    Voilà bien les limites de la géométrie "à la grecque"...

    -- françois

  21. #17
    EaGle58

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Merci de m'avoir aidé.

  22. #18
    EaGle58

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Bonjour,

    J'ai compris comment trouver "cos a cos b" mais "sin a sin b" je n'y arrive pas, que represente cette longueur?

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  24. #19
    fderwelt

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par EaGle58
    Bonjour,

    J'ai compris comment trouver "cos a cos b" mais "sin a sin b" je n'y arrive pas, que represente cette longueur?
    Je ne peux pas te dire autre chose que de bien étudier le dessin, et si possible de le refaire toi-même... Ca serait autrement si je te l'expliquais en live devant un tableau!

    Sinon, tu as vu les matrices de rotation dans la base "usuelle" de R²?

    -- françois

  25. #20
    EaGle58

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par fderwelt
    Sinon, tu as vu les matrices de rotation dans la base "usuelle" de R²?
    Non je n'ai pas vu ça.

  26. #21
    matthias

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par EaGle58
    J'ai compris comment trouver "cos a cos b" mais "sin a sin b" je n'y arrive pas, que represente cette longueur?
    Si tu reprends ton applet, il faut que tu trouves un triangle rectangle dont un côté est sinA (il est indiqué) et un côté de même longueur que la flèche bleu. Le triangle n'est pas tracé explicitement sur la figure, il faut l'imaginer.

  27. #22
    EaGle58

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    D'accord, merci pour ton aide.

  28. #23
    EaGle58

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    Citation Envoyé par matthias
    Si tu reprends ton applet, il faut que tu trouves un triangle rectangle dont un côté est sinA (il est indiqué) et un côté de même longueur que la flèche bleu. Le triangle n'est pas tracé explicitement sur la figure, il faut l'imaginer.
    Bonjour,

    D'abord je m'excuse de poser autant de question mais j'y arrive pas.

    Peut-tu me donner plus de détail, où il faut imaginer le triangle, j'ai imaginer un triangle avec un coté sinA et un coté de meme longueur que la fleche bleu, mais je ne trouve toujour pas "sin A sin B"


    Merci d'avance.

  29. #24
    1erS1

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    il y a une demonstration trés simple pour cos(a+b) et sin(a+b) avec 2 vecteurs et 1 vecteurs normal et en considérant les vecteurs (o,i,j):
    On considera le vecteur u d'angle a , le vecteur normal a u :u' d angle a + pie/2 et le vecteur v d angle a+b donc
    u=cos(a)i + sin (a)j
    u'=-sin(a)i + cos(a)j
    et v=cos(a+b)i+sin(a+b)j
    si on considere le vecteur v dans le repere orthonormal (u,u') alors v=cos(b)u+sin(b)u'
    donc v=cos(b)(cos(a)i+sin(a)j)+sin( b)(-sin(a)i+cos(a)j)
    v=(cos(b)cos(a)-sin(a)sin(b))i + (cos(b)(sin(a) + sin(b)cos(a))j.
    donc cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
    et sin(a+b) = sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a).

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  31. #25
    godzylla

    Re : Démonstration sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2

    c'est une question sur les addition multiplication et division d'arcs

    il faut utiliser la projection de vecteurs sur un axe orienté, c'est comme l'ombre du crayon sur une page incliné.

    c'est d'un vieux livre des année 20, cours de trigonometrie

    020110-0730.jpg
    020110-0730(001).jpg
    Dernière modification par godzylla ; 10/03/2012 à 17h40.

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