Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

**mach3** · 13/11/2019, 11h46

##discussion scindée à partir du fil sur la croissance des trous noirs, une introduction est ajoutée à ce premier message pour préciser l'objectif de ce fil##

[introduction ajoutée]

La métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi est une solution de la relativité générale à symétrie sphérique et sans pression (on parle de poussières, "dust" en anglais).

Elle s'exprime :

$ds^2=d\tau^2 - \frac{A'^2}{1+2E}dr^2 - A^2d\Omega^2$

note: on utilisera $\tau$ comme coordonnée temporelle, vu que c'est le temps propre des comobiles, et $r$ comme coordonnée radiale arbitraire. On note que pour que r conserve un statut de coordonnée spatiale, $2E>-1$

$A$ est le rayon aréal : pour un $\tau$ donné, l'ensemble des évènements de même $A$ forme une sphère de surface $4\pi A^2$ . C'est une fonction de $r$ et $\tau$ . On notera :

$A'=\frac{\part A}{\part r}_{/\tau}$
$\dot{A}=\frac{\part A}{\part \tau}_{/r}$

On a l'équation d'évolution $\dot{A}^2 = \frac{2M}{A} + 2E$ , avec $M$ et $E$ deux fonctions de $r$ .

On a par ailleurs une densité définie par $\rho = \frac{M'}{4\pi A^2 A'}$ , avec $M'=\frac{\part M}{\part r}_{/\tau}$ , qui est une fonction de $r$ et $\tau$ .

L'équation d'évolution possède les solutions suivantes :

$E>0$ : $A=\frac{M}{2E}(\cosh \eta -1)$ , $(\sinh\eta - \eta) = \frac{(2E)\sqrt{2E}(\tau-\tau_B)}{M}$

$E=0$ : $A=\left( \frac{9M(\tau-\tau_B)^2}{2} \right)^{1/3}$

$E<0$ : $A=\frac{M}{2E}(\cos \eta -1)$ , $(\sin\eta - \eta) = \frac{(2E)\sqrt{-2E}(\tau-\tau_B)}{M}$

avec $\tau_B$ une fonction de $r$ .

De nombreux cas particuliers se révèlent des solutions déjà connues, faisant partie des solutions à symétrie sphérique sans pression, et seront détaillées dans ce fil.

Un de ces cas particuliers a attiré l'attention, et c'est par lui que l'exploration va démarrer, le cas où $M=0$ .
On note que dans ce cas les solutions à l'équation d'évolution dégénèrent, $A$ devenant strictement nul à moins qu'un terme ne diverge pour compenser. On voit que cela est possible si $E>0$ : il suffit que $\eta$ diverge. C'est également possible pour $E=0$ : il suffit que $\tau-\tau_B$ diverge. Par contre, si $E<0$ , il n'y a pas de possiblilité, sauf si $E$ tend vers $0$ , ce qui nous ramène au cas $E=0$ .

[fin de l'introduction]

ok, ça se précise.

J'ai trouvé un autre cas limite amusant : $\dot{A}^2=2E$ et $M=0$ , je te laisse trouver à quoi cela correspond

Je suis épaté par la richesse de cette solution.

m@ch3

**Mailou75** · 13/11/2019, 14h10

M=0 Minkowsky ? ^^

**yves95210** · 13/11/2019, 14h19

Envoyé par mach3

J'ai trouvé un autre cas limite amusant : $\dot{A}^2=2E$ et $M=0$ , je te laisse trouver à quoi cela correspond

Je ne vois pas. Mais essayons...

Déjà, ça suppose $E > 0$ (ou $=0$ mais dans ce cas on retrouve Minkowski, je pense que ce n'est pas ça qui t'intéresse ?).

Avec $2E=r^2$ , on retrouve FLRW avec courbure négative dans un espace vide de matière (soit le cas limite d'un espace-temps "ouvert", quand la densité de matière devient négligeable devant la "densité de courbure").

Plus généralement,

$A = \sqrt{2E} t \quad\Rightarrow\quad B = \frac{E' t}{\sqrt{2E(1+2E)}$

$ds^2 = -dt^2 + t^2\left[ \frac{E'^2}{2E(1+2E)}dr^2 + 2E d\Omega^2\right]$

Mais, à part le cas particulier ci-dessus, ça ne me dit rien...

Je suis épaté par la richesse de cette solution.

Oui. Et c'est dommage qu'elle ne soit pas abordée dans les cours de RG "classiques" (je n'ai pas vu si le MTW en parle).

**yves95210** · 13/11/2019, 14h20

Salut,

Envoyé par Mailou75

M=0 Minkowsky ? ^^

On s'est croisés, regarde mon message

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mach3** · 13/11/2019, 14h40

Envoyé par Mailou75

M=0 Minkowsky ? ^^

oui, plus exactement un morceau de Minkowski, en considérant que les comobiles sont des mouvement rectiligne uniformes issus de (ou arrivant sur) un unique évènement. La coordonnée t sera leur temps propre, la coordonnée r sera l'angle hyperbolique de ces mouvements (si $ds^2 = dT^2 - dA^2 - A^2d\Omega^2$ , on aura $A=t \sinh(r)$ et $T=t \cosh(r)$ ).

Je dois y aller.

m@ch3

**Mailou75** · 13/11/2019, 20h30

Salut,

Envoyé par yves95210

On s'est croisés, regarde mon message

Je disais ça en passant, je suis le fil mais sans le comprendre...
Ton autre solution ne serait elle pas Einstein-de Sitter ?

Envoyé par mach3

oui, plus exactement un morceau de Minkowski, en considérant que les comobiles sont des mouvement rectiligne uniformes issus de (ou arrivant sur) un unique évènement.

Interessant, c’est un modèle auquel je crois... mais je ne voudrais pas polluer ce fil tout à fait sérieux donc je m’éclipse.

**yves95210** · 13/11/2019, 22h41

Envoyé par Mailou75

Ton autre solution ne serait elle pas Einstein-de Sitter ?

Tu parles de ma réponse à mach3 à propos du cas $M=0$ et $\dot{A}=2E > 0$ ?

Alors, non. EdS est la solution de la métrique FLRW avec courbure nulle (donc ici, $E=0$ ), $\Lambda=0$ et $M\neq 0$ (si les 3 sont nuls , tu retrouves Minkowski).
La question de mach ne précisait pas si E était constant ou non. Si oui, on tombe sur une autre solution de la métrique FLRW, celle que j'indiquais dans mon message.

**mach3** · 13/11/2019, 23h57

Un peu plus de temps pour développer...

Repartons de l'expression de la métrique :

$ds^2=d\tau^2 - \frac{A'^2}{1+2E}dr^2 - A^2d\Omega^2$ (je préfère tau comme coordonnée temporelle, vu que c'est le temps propre des comobiles, et je continue avec A pour le rayon aréal)

A fonction de r et tau, E fonction de r.

L'équation d'évolution est $\dot{A}^2 = \frac{2M}{A} + 2E$ , M fonction croissante de r.

Si $M=0$ , on a donc $\dot{A}^2 = 2E$ et la métrique se réécrit :

$ds^2=d\tau^2 - \frac{A'^2}{1+\dot{A}^2}dr^2 - A^2d\Omega^2 =\frac{(1+\dot{A}^2) d\tau^2 - A'^2dr^2}{1+\dot{A}^2} - A^2d\Omega^2$

On peut transformer cette expression via la différentielle de A : $dA=A'dr+\dot{A}d\tau$
--> $A'^2dr^2=dA^2-2\dot{A}dAd\tau+\dot{A}^2d\tau^2 = (1+\dot{A}^2)dA^2-\dot{A}^2dA^2-2\dot{A}dAd\tau+\dot{A}^2d\tau^2$
réintroduit dans la métrique :
$ds^2= \frac{(1+\dot{A}^2) d\tau^2 - (1+\dot{A}^2)dA^2+\dot{A}^2dA^2+2 \dot{A}dAd\tau-\dot{A}^2d\tau^2}{1+\dot{A}^2} - A^2d\Omega^2$
$ds^2= \frac{ d\tau^2 +\dot{A}^2dA^2+2 \dot{A}dAd\tau}{1+\dot{A}^2} -dA^2- A^2d\Omega^2$

$ds^2= \frac{ (d\tau +\dot{A}dA)^2}{1+\dot{A}^2} -dA^2- A^2d\Omega^2$

Le premier terme peut être identifié à dt^2, ce qui donne Minkowski en coordonnées sphériques (ca fixe $A=\tau \sinh r$ et $2E=\sinh^2 r$ ), mais vu ce que tu dis Yves, ce ne serait pas la seule solution. A creuser.

m@ch3

**yves95210** · 14/11/2019, 07h25

Salut,

Envoyé par mach3

Repartons de l'expression de la métrique :

$ds^2=d\tau^2 - \frac{A'^2}{1+2E}dr^2 - A^2d\Omega^2$ (je préfère tau comme coordonnée temporelle, vu que c'est le temps propre des comobiles, et je continue avec A pour le rayon aréal)

A fonction de r et tau, E fonction de r.(...°

$ds^2= \frac{ d\tau^2 +\dot{A}dA^2+2 \dot{A}dAd\tau}{1+\dot{A}^2} -dA^2- A^2d\Omega^2$

Le premier terme peut être identifié à dt^2, ce qui donne Minkowski en coordonnées sphériques (ca fixe $A=\tau \sinh r$ et $2E=\sinh^2 r$ ), mais vu ce que tu dis Yves, ce ne serait pas la seule solution. A creuser.

En fait tout dépend du choix de la fonction $E$ . Ce n'est pas pour rien qu'on parle de deux fonctions arbitraire (voire trois avec t_B)... Et suivant ce choix la métrique LTB décrit des géométries différentes.

J'ai écrit une bêtise en parlant de $E$ constante dans ma réponse à Mailou. En fait, comme je l'avais écrit dans mon message précédent, c'est $2E = \kappa r^2$ , avec $\kappa$ une constante strictement positive. Dans ce cas l'équation d'évolution (avec $M=0$ ) devient
$\dot{A}^2 = \kappa r^2$

$\dot{A} = \sqrt{\kappa} r \;\Rightarrow\; A = \sqrt{\kappa} r (t -t_0) \;\Rightarrow\; A' = \sqrt{\kappa} t$

En prenant t₀ égale à 0 (ça revient juste à choisir l'origine des temps, ça ne change rien physiquement), la métrique s'écrit
$ds^2 = -dt^2 + \kappa t \left(\frac{dr^2}{1+\kappa r^2} + r^2 d\Omega^2\right)$

En prenant $\kappa=1$ (là aussi ça ne change rien physiquement), on obtient la forme usuelle de la métrique de Friedmann-Lemaître avec un facteur d'échelle $a = t$ et $k=-1$ :
$ds^2 = -dt^2 + a(t) \left(\frac{dr^2}{1-k r^2} + r^2 d\Omega^2\right)$

Pas étonnant puisque $M=0$ revient à choisir une densité de matière homogène...

**mach3** · 14/11/2019, 09h29

Le cas limite M=0 m'intéresse en lui-même mais il me semble qu'il sorte du sujet qui est la croissance des trous noirs dans le cadre de la métrique LTB. Yves, que penses-tu de scinder à partir du message 46 pour faire une discussion spécifique sur LTB quand M=0 ?

m@ch3

**yves95210** · 14/11/2019, 10h43

Envoyé par mach3

Le cas limite M=0 m'intéresse en lui-même mais il me semble qu'il sorte du sujet qui est la croissance des trous noirs dans le cadre de la métrique LTB. Yves, que penses-tu de scinder à partir du message 46 pour faire une discussion spécifique sur LTB quand M=0 ?

Tout à fait d'accord.

Remarque : le mieux serait peut-être d'ouvrir un fil général à propos de la métrique LTB et de l'ensemble des solutions qu'on peut en dériver suivant le choix des paramètres M, E et t_B (ce dernier est intéressant aussi !).
Cela pourrait devenir un fil référence, à vocation pédagogique pour des "étudiants avancés" - à commencer par nous.
Et cela ne serait pas du luxe, vu l'absence de littérature facilement accessible sur le sujet (à ma connaissance), hormis les publications en astrophysique ou cosmologie qui ne font qu'exploiter certaines solutions spécifiques, en général en se contentant d'en rappeler les résultats sans les démontrer (si tu veux aller plus loin, faut fouiller dans les références citées par ces publications, puis dans les références de ces références... et tu finis par tomber sur des papiers certainement très intéressants mais pas disponible en ligne, voire introuvables sauf peut-être dans certaines bibliothèques universitaires...)

Mais ça sera "ton" fil, donc je te laisse voir la vocation que tu veux lui donner

**yves95210** · 14/11/2019, 13h29

Envoyé par mach3

$ds^2= \frac{ (d\tau +\dot{A}dA)^2}{1+\dot{A}^2} -dA^2- A^2d\Omega^2$

Le premier terme peut être identifié à dt^2, ce qui donne Minkowski en coordonnées sphériques (ca fixe $A=\tau \sinh r$ et $2E=\sinh^2 r$ ), mais vu ce que tu dis Yves, ce ne serait pas la seule solution. A creuser.

Je réécris volontairement la métrique FLRW avec $R$ à la place de $r$ pour la coordonnée radiale et $\tau$ pour celle de temps, histoire de faire le lien avec tes notations.
$ds^2 = d\tau^2 - a(t)^2 \left(\frac{dR^2}{1+R^2} + R^2 d\Omega^2\right)$

Si $\rho=0$ , on a simplement $a=\tau$

Avec les notations utilisées jusqu'à présent pour la métrique LTB, où $A$ le rayon aréal,
$A=\tau R$ , $A' = \tau$ et $2E=R^2$

En faisant le changement de coordonnées $R = \sinh r$ (possible puisque $\sinh$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ ),

$A=\tau \sinh r$

$2E=\sinh^2 r \quad\Rightarrow 1+2E = \cosh^2 r$

$dR^2 = \cosh^2 r dr^2$

La métrique LTB se réécrit

$ds^2 = d\tau^2 - \tau^2 dr^2 - \tau^2 \sinh^2 r d\Omega^2$

(la suite dans un prochain message, j'avais fait une erreur...)

**yves95210** · 14/11/2019, 13h45

La suite du message précédent. En fait je ne m'étais pas trompé (enfin, pas là où j'avais cru voir une erreur après avoir enregistré le message. C'est la faute du TEX du forum ou celle de mes yeux, mais les $\tau$ ressemblent trop à des $r$ )

Pour essayer de retrouver ton résultat, je calcule :

$dA = \tau \cosh r dr + \sinh r d\tau \quad\Rightarrow\quad d\tau^2 - \tau^2 dr^2 = d\tau^2 - \frac{(dA - \sinh r d\tau)^2}{\cosh^2 r}$

$ds^2 = \frac{\cosh^2 r d\tau^2 - dA^2 + 2\sinh r d\tau dA - \sinh^2 r d\tau^2}{\cosh^2 r} - \tau^2 \sinh^2 r d\Omega^2$

$ds^2 = \frac{d\tau^2 + 2\sinh r d\tau dA}{\cosh^2 r} - \frac{dA^2 }{\cosh^2 r} - \tau^2 \sinh^2 r d\Omega^2$

que je peux réécrire :

$ds^2 = \frac{d\tau^2 + 2\dot{A}dA d\tau}{1+\dot{A}} - \frac{dA^2 }{1+\dot{A}} - A^2 d\Omega^2$

ça ressemble un peu à ton résultat, mais pas tout à fait... Où est l'erreur ?

**yves95210** · 14/11/2019, 14h31

Envoyé par yves95210

Au passage, je corrige, il manquait des ^2 :

$ds^2 = \frac{d\tau^2 + 2\dot{A}dA d\tau}{1+\dot{A}^2} - \frac{dA^2 }{1+\dot{A}^2} - A^2 d\Omega^2$

ça ressemble un peu à ton résultat, mais pas tout à fait... Où est l'erreur ?

En fait il n'y en a pas. Il faut juste regrouper les termes $dA^2$ autrement :

$ds^2 = \frac{(d\tau + \dot{A}dA)^2 - \dot{A}^2dA^2}{1+\dot{A}^2} - \frac{dA^2 }{1+\dot{A}^2} - A^2 d\Omega^2$

$ds^2 = \frac{(d\tau + \dot{A}dA)^2}{1+\dot{A}^2} - \frac{\dot{A}^2dA^2 + dA^2 }{1+\dot{A}^2} - A^2 d\Omega^2$

$ds^2 = \frac{(d\tau + \dot{A}dA)^2}{1+\dot{A}^2} - dA^2 - A^2 d\Omega^2$

J'arrive donc bien au même résultat que toi !

Effectivement, en prenant comme coordonnée radiale le rayon aréal, ça ressemble à Minkowski...

**yves95210** · 14/11/2019, 15h02

Bon, j'ai compris... En remplaçant les $A$ par des $r$ , j'y vois plus clair

$dt^2 = \frac{(d\tau + \frac{dr}{d\tau}dr)^2}{1+ \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2}$

$\frac{dt^2}{d\tau^2} = \frac{\left(1 + \left[\frac{dr}{d\tau}\right]^2\right)^2}{1+ \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2}$

$\frac{dt^2}{d\tau^2} = 1 + \left[\frac{dr}{d\tau}\right]^2$

$dt^2 = d\tau^2 + dr^2$

En notant $\frac{dr}{dt} = v$ pour mettre les points sur les i, $dt^2(1-v^2) = d\tau^2$

(et comme on a pris c=1, tout va bien)

Tout ça pour ça

**mach3** · 14/11/2019, 16h15

J'ai ajouté une introduction au sujet (voir premier message)

m@ch3

**yves95210** · 14/11/2019, 18h41

Je reviens sur l'analogie un peu trompeuse entre LTB avec M=0 et Minkowski dans le cas non trivial où E>0.

Certes on retrouve une métrique qui "ressemble" à celle de Minkowski, mais avec comme coordonnée radiale le rayon aréal des 2-sphères ayant pour centre l'origine du système de coordonnées spatiales. E étant strictement positif, on a affaire à un espace-temps dont toutes les hypersurfaces spatiales (orthogonales au flux comobile LTB) ont une courbure intrinsèque négative. Ce n'est qu'en apparence, grâce au choix des coordonnées, que la géométrie de ces hypersurfaces est euclidienne.
Et l'équation d'évolution $\dot{A}^2=2E$ montre bien qu'aucun objet non accéléré ne peut rester immobile en un point situé à une distance propre fixe de l'origine. On a bien affaire à un modèle d'espace-temps en expansion. Ce n'est pas vraiment ce à quoi on s'attend dans un espace-temps décrit par la métrique de Minkowski...

Mais ce n'est sans-doute pas là que tu voulais en venir ?

**mach3** · 14/11/2019, 23h02

E étant strictement positif, on a affaire à un espace-temps dont toutes les hypersurfaces spatiales (orthogonales au flux comobile LTB) ont une courbure intrinsèque négative. Ce n'est qu'en apparence, grâce au choix des coordonnées, que la géométrie de ces hypersurfaces est euclidienne.

La géométrie de ces hypersurfaces (de tau constant), ne sont justement pas euclidiennes mais hyperboliques. C'est l'espace-temps de Minkowski, mais au lieu de prendre des tranches spatiales plates et orthogonales à des droites de genre temps toutes parallèles, on prend des tranches spatiales hyperboliques et orthogonales à des droites de genre temps toutes issues d'un unique évènement. En fait c'est un découpage qui se limite au cône futur (ou passé) de l'évènement considéré. Les évènements d'une même hypersurface sont distant de l'évènement d'origine du même intervalle.

Et l'équation d'évolution montre bien qu'aucun objet non accéléré ne peut rester immobile en un point situé à une distance propre fixe de l'origine. On a bien affaire à un modèle d'espace-temps en expansion. Ce n'est pas vraiment ce à quoi on s'attend dans un espace-temps décrit par la métrique de Minkowski...

Si $\dot{A}^2=2E$ , cela signifie que le long d'une droite issue de l'évènement origine, qui est étiquetée par une certaine coordonnée r constante, avec une valeur 2E constante associée à r, le rayon aréal varie de façon constante avec le temps propre. Il s'agit donc d'une vitesse constante. Les comobiles sont des mouvements rectilignes uniformes issus d'un même évènement (ou aboutissant à un seul évènement).
Pour être comobile, il suffit donc d'avoir le bon mouvement rectiligne uniforme.

m@ch3

**mach3** · 14/11/2019, 23h19

Par ailleurs, cas particulier dans le cas particulier, si E=0, on obtient

$ds^2=d\tau^2 - A'^2dr^2 - A^2d\Omega^2$

et $\dot{A} = 0$

Du coup $dA = A'dr + \dot{A} d\tau = A'dr$ , et on obtient :

$ds^2=d\tau^2 - dA^2 - A^2d\Omega^2$

la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques. Cette fois les comobiles sont des mouvements rectilignes uniformes tous parallèles.

Je note un point de détail intéressant en revenant sur le cas $\dot{A}^2 = 2E$ , je ne me pas m'empêcher de le voir comme : $E = \frac 1 2 \dot{A}^2$ , expression qui rappelle l'énergie cinétique classique, et cela fait la connexion avec les cas particuliers (sur lesquels on reviendra plus tard) M=cst, 2E=-1/(1+r²) (Schwarzschild en Novikov) ou M=cst, 2E=0 (Schwarzschild en Lemaitre) où E, au moins par son signe, rappelle l'énergie mécanique classique qu'aurait les comobiles. Cela doit être très capillotracté, mais pour moi ce n'est pas par hasard que E se comporte ainsi, et cela pourrait servir de guide pour appréhender les divers cas.

m@ch3

**mach3** · 15/11/2019, 00h06

Autre remarque, il semblerait que pour les cas vides (Minkowski M=0 et Schwarzschild M=cst), le choix de E n'impacte pas la géométrie, mais seulement l'ensemble de comobiles considéré.
J'intuite que c'est dû au fait que dans ces cas vides les lignes d'univers comobiles considérées sont "inoccupées", non parcourues par des poussières, donc peu importe leur choix, on décrit le même espace-temps vide.
Dans un cas non vide, on postule justement qu'il y a une poussière sur chaque ligne comobile des zones où M' est non nul, et qu'il n'y a aucune poussière sur des lignes autres que comobile. Si changer E change les lignes comobiles comme je commence à en avoir l'intuition, alors dans le cas non vide, cela change aussi le tenseur énergie-impulsion et donc la géométrie.

m@ch3

**yves95210** · 15/11/2019, 09h54

Envoyé par mach3

Je note un point de détail intéressant en revenant sur le cas $\dot{A}^2 = 2E$ , je ne me pas m'empêcher de le voir comme : $E = \frac 1 2 \dot{A}^2$ , expression qui rappelle l'énergie cinétique classique, et cela fait la connexion avec les cas particuliers (sur lesquels on reviendra plus tard) M=cst, 2E=-1/(1+r²) (Schwarzschild en Novikov) ou M=cst, 2E=0 (Schwarzschild en Lemaitre) où E, au moins par son signe, rappelle l'énergie mécanique classique qu'aurait les comobiles. Cela doit être très capillotracté, mais pour moi ce n'est pas par hasard que E se comporte ainsi, et cela pourrait servir de guide pour appréhender les divers cas.

Oui, on en a déjà parlé dans l'autre fil.

Mais ce n'est pas surprenant : de manière générale (dans un espace-temps empli d'un fluide sans pression, mais pas seulement dans les solutions à symétrie sphérique), lorsqu'on découpe l'espace-temps en hypersurfaces orthogonales au flux comobile, on retrouve l'équation d'évolution sous la forme:
$\frac{1}{2}R + \frac{1}{3}\theta^2-\sigma^2 = 8\pi G\rho+\Lambda$
où $R$ est le scalaire de Ricci de l'hypersurface spatiale, $\theta$ le taux d'expansion (du volume), $\sigma^2$ le taux de cisaillement. Ces deux taux étant définis à partir du tenseur de courbure extrinsèque $K_{ij}$ ou du tenseur d'expansion $\Theta_{ij}$ (le même au signe près) par
$-K_{ij}=\Theta_{ij}=\sigma_{ij}+\frac{1}{3}\theta g_{ij}$
où $g_{ij}$ est la 3-métrique de l'hypersurface, $\sigma_{ij}$ est le tenseur de cisaillement, sans trace, et $\theta=-K$ .

(cf. les cours ou publications sur le formalisme 3+1 de la RG, fondé sur un papier publié par Arnowitt, Deser et Misner en 1962 et qui a été réédité sur arxiv, et connu sous le nom "formalisme ADM"). J'avais découvert ça dans les 3 ou 4 premières pages de https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9906015v2.pdf; elles expliquent de manière assez accessible la démarche conduisant aux équations ci-dessus à partir de l'expression des équations d'Einstein dans le formalisme ADM. Celui-ci conduit à un système d'équation dont la première est assez parlante :
$\frac{1}{2}\left(R+K^2-K^i_jK^j_i\right) = 8 G\rho + \Lambda$
Elle montre que le tenseur (4D) d'Einstein peut s'exprimer à partir des deux tenseurs de courbure 3D, l'un intrinsèque, l'autre extrinsèque.

Dans le cas d'un espace-temps dont toutes les hypersurfaces orthogonales au flux comobile sont de symétrie sphérique, le taux de cisaillement doit être nul (intuition... mais basée sur le fait qu'un petit volume comobile va s'étirer de manière différente suivant la direction radiale et les directions ortho-radiales, mais pas se déformer autrement). Et en prenant aussi $\Lambda=0$ , on obtient simplement
$\frac{1}{2}R + \frac{1}{3}\theta^2 = 8\pi G\rho$
où $R$ représente la courbure intrinsèque et $\theta$ la courbure extrinsèque de l'hypersurface spatiale. Il s'agit bien d'une équation courbure(4D) = densité d'énergie.

En identifiant $R$ à $-2E/A^2$ et $\theta$ à $3 \dot{A}$ , on retrouve donc l'équation d'évolution dérivée de la métrique LTB.
Suivant le système de coordonnées choisi, $\dot{A}^2/2$ peut être assimilée à l'énergie cinétique d'une particule comobile de masse unitaire, et $E$ à l'énergie mécanique classique en même temps que (avec un facteur $A^{-2}$ ) à la courbure spatiale.

J'ai suivi un chemin tortueux pour expliquer ça à partir du formalisme ADM, mais je suppose que ça serait tout aussi clair si on faisait l'effort de retrouver l'équation $\dot{A}^2 - 2M/A = 2E$ à partir de la métrique LTB et de l'équation d'Einstein - démarche qu'ont suivi Lemaître et Tolman, bien plus simple même si moins générale... Le papier de Tolman (1934) est disponible en ligne. Je n'ai malheureusement pas trouvé celui de Lemaître (1933).

**mach3** · 15/11/2019, 10h15

Envoyé par yves95210

Dans le cas d'un espace-temps dont toutes les hypersurfaces orthogonales au flux comobile sont de symétrie sphérique, le taux de cisaillement doit être nul (intuition... mais basée sur le fait qu'un petit volume comobile va s'étirer de manière différente suivant la direction radiale et les directions ortho-radiales, mais pas se déformer autrement). Et en prenant aussi $\Lambda=0$ , on obtient simplement
$\frac{1}{2}R + \frac{1}{3}\theta^2 = 8\pi G\rho$
où $R$ représente la courbure intrinsèque et $\theta$ la courbure extrinsèque de l'hypersurface spatiale. Il s'agit bien d'une équation courbure(4D) = densité d'énergie.

En identifiant $R$ à $-2E/A^2$ et $\theta$ à $3 \dot{A}$ , on retrouve donc l'équation d'évolution dérivée de la métrique LTB.

Je n'y parviens pas. Si je fais la substitution, ça me donne :

$\frac{1}{2}(-2E/A^2) + \frac{1}{3}(3 \dot{A})^2 = 8\pi G\rho$
$-\frac{E}{A^2} + 3 \dot{A}^2 = 8\pi G\rho$
$\dot{A}^2 = \frac 8 3 \pi G\rho+\frac{E}{3A^2}$

Je suis un peu perdu pour arriver à $\dot{A}^2 = \frac{2M}{A} + 2E$

m@ch3

**yves95210** · 15/11/2019, 10h31

Envoyé par mach3

Autre remarque, il semblerait que pour les cas vides (Minkowski M=0 et Schwarzschild M=cst), le choix de E n'impacte pas la géométrie, mais seulement l'ensemble de comobiles considéré.
J'intuite que c'est dû au fait que dans ces cas vides les lignes d'univers comobiles considérées sont "inoccupées", non parcourues par des poussières, donc peu importe leur choix, on décrit le même espace-temps vide.

Oui, et seulement une partie de cet espace-temps, les cônes passé et futur de l'événement choisi comme origine du référentiel. Et la courbure spatiale dépend de ce choix.
Contrairement au cas FLRW avec M=0 où l'origine du référentiel est en $\tau=0$ pour tout le monde et où la courbure spatiale en un point de l'hypersurface à $\tau$ constant est la même quelle que soit l'origine du référentiel spatial, choisie arbitrairement.

Dans un cas non vide, on postule justement qu'il y a une poussière sur chaque ligne comobile des zones où M' est non nul, et qu'il n'y a aucune poussière sur des lignes autres que comobile. Si changer E change les lignes comobiles comme je commence à en avoir l'intuition, alors dans le cas non vide, cela change aussi le tenseur énergie-impulsion et donc la géométrie.

Ou dit autrement, par analogie avec la mécanique classique, E représente bien alors l'énergie mécanique (cinétique + potentielle). Et en présence de sources de gravitation, cette énergie potentielle n'est pas nulle - ce qui s'exprime en RG par le tenseur énergie-impulsion, ici réduit à sa composante T₀₀ compte-tenu des hypothèses (symétrie sphérique et coordonnée de temps $\tau$ mesurant le temps propre des comobiles).

**mach3** · 15/11/2019, 12h26

Je reviens là dessus, avant d'envisager de conclure sur le cas M=0 :

Envoyé par mach3

$ds^2=d\tau^2 - \frac{A'^2}{1+2E}dr^2 - A^2d\Omega^2$ (je préfère tau comme coordonnée temporelle, vu que c'est le temps propre des comobiles, et je continue avec A pour le rayon aréal)

A fonction de r et tau, E fonction de r.

L'équation d'évolution est $\dot{A}^2 = \frac{2M}{A} + 2E$ , M fonction croissante de r.

Si $M=0$ , on a donc $\dot{A}^2 = 2E$ et la métrique se réécrit :

$ds^2=d\tau^2 - \frac{A'^2}{1+\dot{A}^2}dr^2 - A^2d\Omega^2$

On a proposé deux solutions :
1) $A=\tau \sinh r$ --> $A' = \tau \cosh r$ et $\dot{A} = \sinh r$
2) $A=\tau r$ --> $A' = \tau$ et $\dot{A} = r$

Dans le cas de la solution 1), on obtient :
$ds^2=d\tau^2 - \frac{\tau^2 \cosh^2 r}{1+\sinh r^2}dr^2 - \tau^2 \sinh^2 r d\Omega^2$

Soit au final :

$ds^2=d\tau^2 - \tau^2 dr^2 - \tau^2 \sinh^2 r d\Omega^2$

Dans le cas de la solution 2), on obtient :

$ds^2=d\tau^2 - \frac{\tau^2}{1+r^2}dr^2 - \tau^2 r^2 d\Omega^2$

Si on pose R tel que $\sinh (R) = r$ , la solution 2) se réécrit :

$ds^2=d\tau^2 - \tau^2 dR^2 - \tau^2 \sinh^2 R d\Omega^2$ (rappel $\frac{dr}{\sqrt{1+r^2}} = d \textrm{argsinh}(r)$ )

c'est la même expression métrique que la solution 1, r étant remplacé par R. Les deux solutions sont donc bien équivalentes.

La question que je me pose est : y a t'il d'autres solutions (avec A dépendant de \tau) qui ne serait pas équivalentes ? Est-ce que poser M=0 dans le cadre LTB condamne à trouver la géométrie de Minkowski (enfin un morceau de) ?

m@ch3

**yves95210** · 15/11/2019, 12h36

Désolé, je n'avais pas vu ton message.

Envoyé par mach3

Je n'y parviens pas. Si je fais la substitution, ça me donne :

$\frac{1}{2}(-2E/A^2) + \frac{1}{3}(3 \dot{A})^2 = 8\pi G\rho$
$-\frac{E}{A^2} + 3 \dot{A}^2 = 8\pi G\rho$
$\dot{A}^2 = \frac 8 3 \pi G\rho+\frac{E}{3A^2}$

Je suis un peu perdu pour arriver à $\dot{A}^2 = \frac{2M}{A} + 2E$

C'est ma faute, je me suis emballé en rédigeant mon message et j'ai (comme d'hab) écrit des bêtises, même si l'idée était là...

En FRLW $R=6 \frac{k}{a^2}$ avec $k=\pm 1$ (ou 0 si pas de courbure), et l'équation d'évolution est
$\frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi}{3} G\rho$
Pour une densité de matière uniforme, ça donne (en notations LTB)
$2E = \frac{\dot{A}^2}{A^2} -\frac{2M}{A^3} = -\frac{k}{A^2} = -\frac{R}{6}$
Donc
$E = -\frac{R}{12}$

Le A² que j'avais mis au dénominateur était une réminiscence malheureuse du k/a². Encore une fois, désolé si je t'ai fait faire des calculs pour rien...

C'est donc une identification énergie totale = courbure spatiale, à un coeff numérique près.

Mais plus généralement, pour passer de l'équation locale $\frac{1}{2}R + \frac{1}{3}\theta^2 = 8\pi G\rho$ à l'équation d'évolution de la métrique LTB, ce n'est pas si simple, puisque $\rho$ n'est pas homogène, $\theta$ n'est le taux d'expansion que d'un volume élémentaire local, et idem pour le scalaire de courbure.
Donc j'ai fait un raccourci un peu rapide en identifiant les deux équations. Il faut intégrer de 0 à R pour retrouver E, A et M.

Je vais essayer d'approfondir ça.

**yves95210** · 15/11/2019, 13h28

Envoyé par mach3

Je reviens là dessus, avant d'envisager de conclure sur le cas M=0 :

On a proposé deux solutions :
1) $A=\tau \sinh r$ --> $A' = \tau \cosh r$ et $\dot{A} = \sinh r$
2) $A=\tau r$ --> $A' = \tau$ et $\dot{A} = r$

(...)

c'est la même expression métrique que la solution 1, r étant remplacé par R. Les deux solutions sont donc bien équivalentes.

La question que je me pose est : y a t'il d'autres solutions (avec A dépendant de \tau) qui ne serait pas équivalentes ? Est-ce que poser M=0 dans le cadre LTB condamne à trouver la géométrie de Minkowski (enfin un morceau de) ?

Ben non, puisque avec E>0 on retrouve la géométrie de Friedmann-Lemaître avec courbure spatiale négative. Et tu vas avoir du mal à me démontrer que ces deux géométries sont les mêmes. Pour cela, il faudrait que toutes les lignes d'univers de l'espace-temps de Minkowski s'intersectent en un événement particulier, permettant d'utiliser la même coordonnée de temps $\tau$ (avec la même origine $\tau_0$ ) le long de ces lignes, et de définir des hypersurfaces à $\tau$ constant couvrant tout l'espace - comme dans le modèle de Friedmann-Lemaître, où toutes les lignes d'univers convergent en $t=0, r=0$ , le temps cosmique $t$ étant le temps propre de tous les comobiles.

**yves95210** · 15/11/2019, 15h21

Envoyé par yves95210

Mais plus généralement, pour passer de l'équation locale $\frac{1}{2}R + \frac{1}{3}\theta^2 = 8\pi G\rho$ à l'équation d'évolution de la métrique LTB, ce n'est pas si simple, puisque $\rho$ n'est pas homogène, $\theta$ n'est le taux d'expansion que d'un volume élémentaire local, et idem pour le scalaire de courbure.
Donc j'ai fait un raccourci un peu rapide en identifiant les deux équations. Il faut intégrer de 0 à R pour retrouver E, A et M.

Je vais essayer d'approfondir ça.

Avec les notations utilisées pour la métrique LTB,
$8\pi\rho = 2\frac{M'}{A'A^2} = 2\frac{M}{A^3} + \frac{\dot{A}'\dot{A} - E'}{A'A}$

$\theta$ est le taux d'expansion du volume élémentaire. Dans le cas de la métrique LTB, diagonale,
$dV =\sqrt{\det(g_{ij})}dR d\theta \sin\theta d\phi = \frac{A'A^2}{\sqrt{1+2E}}d \theta \sin\theta d\phi$ .

$\theta = \frac{\dot{dV}}{dV} = \frac{\dfrac{\dot{A'}A^2+2A' \dot{A}A}{\sqrt{1+2E}}}{\dfrac{A'A^2}{\sqrt{1+2E}}} = \frac{\dot{A'}}{A'} + 2\frac{\dot{A}}{A}$

En fait $\theta$ n'est égal à $3 \dot{A} / A$ que dans le cas isotrope ET homogène. A bien y réfléchir c'est d'ailleurs évident.
Je suis d'autant plus désolé d'avoir oublié ça que j'avais déjà fait ce calcul autrefois...

Dans le cas général d'une symétrie sphérique (et en supposant que je n'ai pas tort de supposer que $\sigma^2=0$ ),
l'équation $\frac{1}{2}\mathcal{R} + \frac{1}{3}\theta^2 - \sigma^2 = 8\pi \rho$ devient

$-\frac{1}{2}\mathcal{R} = \frac{1}{3}\left(\frac{\dot{A'}}{A'} + 2\frac{\dot{A}}{A}\right)^2 - 2\frac{M}{A^3} - \frac{\dot{A}'\dot{A} - E'}{A'A}$

C'est moins sympathique, mais ça doit pouvoir s'arranger un peu pour donner une expression de $E$ plus "lisible".

A suivre...

**mach3** · 15/11/2019, 15h25

Envoyé par yves95210

Ben non, puisque avec E>0 on retrouve la géométrie de Friedmann-Lemaître avec courbure spatiale négative. Et tu vas avoir du mal à me démontrer que ces deux géométries sont les mêmes.

En posant $A=\tau r$ , ça donne

$ds^2=d\tau^2 - \tau^2(\frac{1}{1+r^2}dr^2 - r^2 d\Omega^2)$

C'est donc FLRW avec $k=-1$ et $a=\tau$ . On a donc $\dot{a} = 1$ et $\ddot{a} = 0$ . Cela donne un tenseur et un scalaire de Ricci nuls ( si on applique les formules ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Friedm...al_coordinates ), donc un espace-temps plat. J'en déduit que FLRW avec $k=-1$ et $a=\tau$ <=> Minkowski

Pour cela, il faudrait que toutes les lignes d'univers de l'espace-temps de Minkowski s'intersectent en un événement particulier, permettant d'utiliser la même coordonnée de temps $\tau$ (avec la même origine $\tau_0$ ) le long de ces lignes, et de définir des hypersurfaces à $\tau$ constant couvrant tout l'espace - comme dans le modèle de Friedmann-Lemaître, où toutes les lignes d'univers convergent en $t=0, r=0$ , le temps cosmique $t$ étant le temps propre de tous les comobiles.

Ben il semble que c'est le cas. $\tau$ est le temps propre des objets se mouvant à $r, \theta, \phi$ constant. Quand $\tau=0$ le rayon aréal est nul pour tout r : tous les comobiles sont en un unique évènement. Que $A=\tau r$ ou $\tau \sinh(r)$ , pour un r donné le rayon aréal augmente linéairement avec tau.

m@ch3

**yves95210** · 15/11/2019, 16h35

Envoyé par mach3

En posant $A=\tau r$ , ça donne

$ds^2=d\tau^2 - \tau^2(\frac{1}{1+r^2}dr^2 - r^2 d\Omega^2)$

C'est donc FLRW avec $k=-1$ et $a=\tau$ . On a donc $\dot{a} = 1$ et $\ddot{a} = 0$ . Cela donne un tenseur et un scalaire de Ricci nuls ( si on applique les formules ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Friedm...al_coordinates ), donc un espace-temps plat. J'en déduit que FLRW avec $k=-1$ et $a=\tau$ <=> Minkowski

Bon, je me rends... Tu as raison.

Pour en revenir à un modèle plus physique, ça signifie qu'en l'absence de constante cosmo tout espace-temps de Friedmann-Lemaître "ouvert" (avec courbure spatiale négative) tend vers l'espace-temps de Minkowski quand $\tau$ tend vers l'infini, et peut être approximé par Minkowski dès que $\Omega_m$ devient négligeable par rapport à $\Omega_k$ .
Finalement c'est logique, puisque la courbure (en a^-2) devient elle aussi de plus en plus faible, et le taux d'expansion H tend vers 0. Maintenant que je l'ai écrit, je me rappelle avoir déjà lu ça...

(et ce modèle n'est pas si absurde, c'est celui qui était privilégié par beaucoup de cosmologistes avant d'une part la découverte de l'accélération de l'expansion - et donc la réintroduction de $\Lambda > 0$ , d'autre part les observations du CMB suffisamment précises pour les convaincre de la "platitude" de l'espace-temps)

**yves95210** · 15/11/2019, 16h58

Envoyé par mach3

Ben il semble que c'est le cas. $\tau$ est le temps propre des objets se mouvant à $r, \theta, \phi$ constant. Quand $\tau=0$ le rayon aréal est nul pour tout r : tous les comobiles sont en un unique évènement. Que $A=\tau r$ ou $\tau \sinh(r)$ , pour un r donné le rayon aréal augmente linéairement avec tau.

Ce qui me troublait, c'est que pour couvrir tout l'espace-temps, il faut une infinité d'événements "initiaux" séparés spatialement pour que leurs cônes passés s'intersectent en un temps (passé) fini. Mais dans un espace-temps qui a toujours été de Minkowski le temps passé peut tendre vers l'infini (il n'y a pas de big bang! Normal, il n'y a pas de matière ni de rayonnement, donc pas de densité d'énergie tendant vers l'infini), et effectivement les cônes passés d'événements séparés spatialement s'intersectent forcément.

Remarque, c'est rigolo d'avoir déduit ça de la métrique LTB, mais ça peut se déduire directement de la métrique FLRW. C'est juste que, avec cette notion (mal nommée) de big bang gravée dans un coin de mon cerveau, j'avais du mal à accepter cette idée...

Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Croissance des trous noirs

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Croissance des trous noirs

Re : Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Re : Croissance des trous noirs

Discussions similaires

Effet Ehrenfest-Tolman (La masse produit-elle de la chaleur)

petite précision sur la loi de Hubble-LeMaître

Lemaitre Vs Hubble

Mort d'Herman Bondi

Essais de cosmologie : Friedmann et Lemaître