Je n'ai pas été assez précis, j'ai cherché à faire correspondre LTB et Schwarzschild sans spécifier à l'avance que M est constant, et le fait d'imposer cette correspondance exige que M soit constant (ou que E<-0,5 donc un grr de mauvais signe impliquant me semble t'il des comobiles de genre espace, i.e. supraluminiques).
J'ai dû, comme toi, m'y reprendre à plusieurs fois pour ne pas faire d'erreurs (et il faut que je vérifie une dernière fois).
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Désolé, je n'avais pas compris...
Je reverrai mon calcul demain. Le résultat semble cohérent au coeff numérique près.
Le paramètren'est pas libre pour autant puisqu'il est contraint par l'équation d'évolution
NB : le paramètre
C'est le papier de Bondi qui m'a ouvert les yeux à ce sujet : il utilise un paramètre
Bon, attention, cambouis...
On veut trouver à quelle condition on a bien
alors on repart de :
Il est utile pour la suite d'utiliser l'équation d'évolution pour réécrire ces expressions :
Afin de limiter les risques d'erreurs, nous allons calculer les différentielles de termes simples de ces expressions, afin d'en extraire les dérivées partielles nécessaires.
________________
Donc
on obtient donc :
________________
________________
Nous avons maintenant toutes les pièces du puzzle. Dérivons
Dérivons
On a donc
Soit
Soit
Pfiou...
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Comme tu dis ! Mais vu le résultat, je te fais confiance pour les calculsEnvoyé par mach3
De mon côté j'ai fait beaucoup plus simple en imposant M'=0 dès le début. Mais tu as raison, je n'ai pas démontré que la seule solution avec M constante est celle de Schwarzschild. Et je n'ai pas encore trouvé l'erreur... Sans elle, le développement ci-dessous revient à montrer que, si on prend M'=0, il n'y a pas d'autre contrainte que l'équation d'évolution, puisque en dérivant celle-ci par rapport à t, on aboutit directement au même résultat.
En remarquant que
Alors qu'en fait on devrait trouver (en dérivant l'équation d'évolution)
il me semble que ce doit être un moins entre les deux termes du numérateur.
Montrer qu'il y a correspondance en supposant M'=0 d'entrée démontre que le cas M'=0 de LTB est forcément la géométrie de Schwarzschild, cela est acquis (et effectivement plus simple à faire). Mais effectivement, cela n'empêche pas, a priori, qu'il puisse exister au moins un cas avec M non constant qui serait quand même de la géométrie de Schwarzschild (intuitivement on conjecture aisément ça ne doit pas être possible, mais ce n'est pas suffisant). En n'imposant rien sur M' on montre par contre que la correspondance ne marche que si M'=0 (ou si on viole la définition de E). Pour le coup on est sûr qu'il n'existe aucun cas LTB "légal" avec M non constant qui serait de la géométrie de Schwarzschild.De mon côté j'ai fait beaucoup plus simple en imposant M'=0 dès le début. Mais tu as raison, je n'ai pas démontré que la seule solution avec M constante est celle de Schwarzschild.
Pour aller un peu plus loin, cela fonctionne en général dans tout domaine vide d'une solution LTB. Par exemple si on imagine un univers avec des coquilles de poussières concentriques séparées par du vide, la métrique dans chaque "inter-coquille" vide est celle de Schwarzschild, avec comme paramètre M la masse des coquilles qui sont en-dessous. Ce genre de cas de figure doit d'ailleurs être très intéressant à étudier dans le cadre de la croissance d'un trou noir sur lequel des coquilles sphériques tomberaient successivement, il me semble avoir vu un cas ce genre dans un des articles que tu as cité dans l'autre fil (un papier sur les horizons ou sur les MTT je ne sais plus). J'ai hâte d'en arriver à maîtriser un tel cas, on va apprendre beaucoup de choses! même si cela ne reste qu'un modèle très idéalisé et très loin de la réalité, c'est largement plus intéressant qu'un trou noir statique.
Je reviens là dessus :
L'expression de la métrique LTB avec M'=0 semble réglée par deux paramètres qui ont un rôle bien différent :Le paramètre
-le paramètre M permet de choisir une géométrie de Schwarzschild, c'est un choix physique
-la fonction E permet de choisir sous quel angle on "regarde" cette géométrie de Schwarzschild (c'est le choix d'un ensemble de géodésiques radiales qu'on prend comme comobiles). Contrairement à des cas avec M non constant, ce choix n'a pas d'impact sur la physique dans ce cas particulier : il n'y a aucune poussière dont la dynamique va être pilotée par E et qui va donc impacter toute la géométrie. On note que c'est similaire au cas M=0, où, quelque soit E, c'est la géométrie de Minkowski.
E et M conditionnent la forme de A qui doit être solution de l'équation d'évolution.
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Oui. J'avais bien compris ta démarche (même si pas du premier coup...). En fait, tu as trouvé une nouvelle démonstration du théorème de Birkhoff.
Bien d'accord. Et effectivement c'était dans le papier sur les MTT.Pour aller un peu plus loin, cela fonctionne en général dans tout domaine vide d'une solution LTB. Par exemple si on imagine un univers avec des coquilles de poussières concentriques séparées par du vide, la métrique dans chaque "inter-coquille" vide est celle de Schwarzschild, avec comme paramètre M la masse des coquilles qui sont en-dessous. Ce genre de cas de figure doit d'ailleurs être très intéressant à étudier dans le cadre de la croissance d'un trou noir sur lequel des coquilles sphériques tomberaient successivement, il me semble avoir vu un cas ce genre dans un des articles que tu as cité dans l'autre fil (un papier sur les horizons ou sur les MTT je ne sais plus). J'ai hâte d'en arriver à maîtriser un tel cas, on va apprendre beaucoup de choses! même si cela ne reste qu'un modèle très idéalisé et très loin de la réalité, c'est largement plus intéressant qu'un trou noir statique.
Sans oublier le paramètre t0(r)...L'expression de la métrique LTB avec M'=0 semble réglée par deux paramètres qui ont un rôle bien différent :
-le paramètre M permet de choisir une géométrie de Schwarzschild, c'est un choix physique
-la fonction E permet de choisir sous quel angle on "regarde" cette géométrie de Schwarzschild (c'est le choix d'un ensemble de géodésiques radiales qu'on prend comme comobiles). Contrairement à des cas avec M non constant, ce choix n'a pas d'impact sur la physique dans ce cas particulier : il n'y a aucune poussière dont la dynamique va être pilotée par E et qui va donc impacter toute la géométrie. On note que c'est similaire au cas M=0, où, quelque soit E, c'est la géométrie de Minkowski.
E et M conditionnent la forme de A qui doit être solution de l'équation d'évolution.
Avant que tu commences tes développement j'avais imaginé partir de Schw avec des observateurs en chute libre lâchés avec une vitesse initiale nulle depuis une "distance" r0 (ou A0) quelconque et à un instant t0 quelconque, et utiliser le temps propre de ces observateurs pour passer à la métrique LTB.
mince, j'avais pas remarqué! c'est plutôt cool! mais ne serait-ce pas une preuve limitée au cas sans pression? un genre de sous-théorême de Birkhoff, moins général?
Piste intéressante. Je ne sais pas trop dans quelle direction partir pour l'instant. Peut-être commencer par les cas Lemaitre et Novikov, histoire de rester sur du connu. Il y a un cas qui m'intéresse beaucoup aussi (et ça plaira peut-être à Mailou), une sorte d'anti-Novikov : Novikov ce sont des chuteurs avec culmination (énergie mécanique négative), Lemaitre ce sont des chuteurs dont la vitesse à l'infini est nulle (énergie mécanique nulle), mais ça donne quoi pour des chuteurs dont la vitesse à l'infini est non nulle (énergie mécanique positive) ?Avant que tu commences tes développement j'avais imaginé partir de Schw avec des observateurs en chute libre lâchés avec une vitesse initiale nulle depuis une "distance" r0 (ou A0) quelconque et à un instant t0 quelconque, et utiliser le temps propre de ces observateurs pour passer à la métrique LTB.
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
C'est déjà ça ! D'ailleurs je ne savais pas que le théorème s'appliquait au cas avec pression (ce que je viens de vérifier dans le bouquin de Ellis et Hawking, dont j'ai trouvé le lien en réf dans la page wikipedia sur le théorème de Birkhoff).
Est-ce que la question a un sens physique ?... (déjà j'ai un peu de mal avec l'idée de chuteurs partant de l'infini, comme d'ailleurs avec l'idée d'observateur à l'infini - sauf comme approximation -, raison pour laquelle il me semblait plus physique de raisonner dans le cas que je décrivais)Piste intéressante. Je ne sais pas trop dans quelle direction partir pour l'instant. Peut-être commencer par les cas Lemaitre et Novikov, histoire de rester sur du connu. Il y a un cas qui m'intéresse beaucoup aussi (et ça plaira peut-être à Mailou), une sorte d'anti-Novikov : Novikov ce sont des chuteurs avec culmination (énergie mécanique négative), Lemaitre ce sont des chuteurs dont la vitesse à l'infini est nulle (énergie mécanique nulle), mais ça donne quoi pour des chuteurs dont la vitesse à l'infini est non nulle (énergie mécanique positive) ?
oui, parce qu'en définitive, on se moque de ce qui se passe à l'infini finalement, on s'intéresse au point de vue (c'est pour ça que ça intéresserait mailou) de chuteurs plus ou moins proches de l'horizon, dont les vitesses radiales sont soit "faibles" (cumination = Novikov), soit de libération (culmination à l'infini = Lemaitre), soit supérieures à la libération ("anti-Novikov"), avec un cas entrant et un cas sortant pour les deux derniers.
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Oui ça a un sens. Si on ne veut pas traiter avec l’infini il suffit de considérer que c’est une chute depuis Rmax avec une vitesse initiale supérieure à Vlib. (Lemaitre c’est pour Vlib ou départ avec vitesse nulle à l’infini).
Edit : croisement mais on dit la même chose
Dernière modification par Mailou75 ; 17/12/2019 à 13h10.
Trollus vulgaris
Oui, je suis d'accord (avec vos deux messages). Mais mon idée revenait au même : il "suffit" de faire tendre r0 vers l'infini dans les équations, ou, ce à quoi j'avais pensé aussi, autoriser une vitesse radiale non nulle en t0.Oui ça a un sens. Si on ne veut pas traiter avec l’infini il suffit de considérer que c’est une chute depuis Rmax avec une vitesse initiale supérieure à Vlib. (Lemaitre c’est pour Vlib ou départ avec vitesse nulle à l’infini).
Edit : croisement mais on dit la même chose
Ceci dit, ce n'est pas forcément le cas M=constante qui m'a motivé à m'intéresser à la solution de Lemaître-Tolman
(et je ne suis toujours pas passionné par ce qui est supposé se passer à l'intérieur d'un trou noir, du moins tant qu'on se limite à la description qu'en donne la RG avec ses solutions plus ou moins "singulières". Mais je suis quand-même curieux de voir si le fait de ne pas se limiter un espace vide de matière conduit à des résultats différents, y compris sous l'horizon apparent. Il me semble que non, sauf en cas de "croisement des coquilles" de matière; mais dans ce cas la solution LTB n'est plus applicable)
Le deuxième terme est (au facteur 1+2E près) la dérivée de
Mais alors il y a la même erreur de signe dans le numérateur de l'autre dérivée... Je vais remettre ça au propre.
Correction du message #94 :
En remarquant que
CQFD, même si ça ne sert à rien
Si ce n'est à prouver que, une fois fait le choix M'=0, il n'y a pas d'autre contrainte que celles générales de la solution LTB, puisqu'on retrouve le résultat qu'on aurait obtenu directement en dérivant par rapport à t l'équation
A toutes fins utiles (pour éviter peut-être un paquet de lignes d'équations), je rappelle les solutions générales :
Pour
Pour
avec dans les deux cas
Pour
Bien sûr elles s'appliquent au cas particulier
Dernière modification par mach3 ; 17/12/2019 à 16h33. Motif: t remplacé par tau
Et comme je les ai déjà en magasin, voici les expressions des dérivées utiles, ça évitera de les recalculer :
Pour E < 0 :
(suite ci-après)
Dernière modification par mach3 ; 17/12/2019 à 16h36. Motif: t remplacé par tau
Pour E > 0 :
Dernière modification par mach3 ; 17/12/2019 à 16h37. Motif: t remplacé par tau
Autre chose que j'ai aussi en magasin : une feuille de calcul (sous OpenOffice Calc, mais elle doit aussi marcher sous LibreOffice et sans-doute aussi sous Excel) et une macro Basic fournissant les fonctions renvoyant
Comme, vu la forme des solutions, ça devient vite indémerdable (pour moi en tout cas) de résoudre les équations analytiquement (par exemple pour s'assurer que A' reste positif), ça peut servir...
Si ça vous intéresse, je dois pouvoir la mettre en PJ, avec quelques explications. Mais pour le moment je n'y ai pas encore essayé le cas
Première incursion dans le cas Lemaitre (E=0). On a comme solution :
La différentielle de A est :
Donc
La métrique s'écrit donc :
Ou encore :
Or l'équation d'évolution est
Dans la littérature (wikipédia anglais), la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Lemaitre est donnée par :
Cela suppose donc
Reste à voir ce qui se passe si on choisit un
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Pour Lemaître, il suffit de remplacer Rs par 2M dans l'expression de la métrique donnée par wikipedia et c'est ni plus ni moins que la solution LTB pour E = 0 et M' = 0. Les coordonnées de Lemaître sont d'ailleurs plus simple à obtenir à partir de cette solution qu'à partir de Schwarzschild. La condition E = 0 est imposée par le fait que, quand r tend vers l'infini, M/A tend vers 0 et
Oups : désolé pour le croisement.
Dernière modification par yves95210 ; 17/12/2019 à 17h22.
Comme il s'agit d'un espace vide, les particules-test sont de masse négligeable et on n'a pas affaire à des coquilles de matière dont la contraction modifierait la géométrie de l'espace-temps. Donc le fait de choisir une autre valeur pourPremière incursion dans le cas Lemaitre (E=0).
(...)
Cela suppose donc
Reste à voir ce qui se passe si on choisit un
Il faut que je creuse un peu plus, mais il semble que le choix de
Si
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Là aussi je pense que tu vas retomber sur des choses déjà étudiées. Cf. cette référence trouvée un peu par hasard en cherchant Novikov sur google, et les coordonnées de Lake-Martel-Poisson ("time coordinates are adapted to observers who start at infinity with non-zero initial inward velocity").
Reste à voir si le fait de partir du cas le plus général (LTB) apporte un éclairage supplémentaire, ou au moins simplifie l'approche...
Merci pour la ref, ça semble super intéressant !
m@ch3
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Petite réflexion du jour,
m@ch3
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Oui, effectivement dans ce cas A' s'annule.Petite réflexion du jour,
m@ch3
Remarque, dans le cas M'=0 et E non nulle, il faut aussi éviter que
Mais c'est logique : dans ce cas
Je récapitule l'ensemble de la démarche (débarrassé des scories inutiles) à partir du message #116 :
On s'intéresse au cas M=constante (géométrie de Schwarzschild, comme mach3 l'a brillamment démontré (messages #87 et #93).
Pour des "chuteurs" partant d'une sphère de rayon aréal A quelconque avec une vitesse radiale v quelconque (mais dans certaines limites : voir ci-dessous), on peut choisir comme coordonnée radiale r le rayon aréal de la sphère depuis laquelle il faudrait qu'ils aient été lâchés avec une vitesse radiale nulle pour atteindre A avec la vitesse v (si v est négative) ou de la sphère qu'ils atteindront avec une vitesse nulle (si v est positive).
Cela limite v à l'intervalle entre la vitesse (négative) atteinte en A par un chuteur lâché depuis l'infini avec une vitesse nulle, et la vitesse positive en A permettant d'atteindre l'infini avec une vitesse nulle.
On a alors
Le chuteur partant de la sphère de rayon aréal
Si
D'autre part,
Lorsque le chuteur (re)tombe vers l'origine,
---------------------------
En particulier, pour
On a donc retrouvé à partir de la métrique de Lemaître-Tolman le premier système de coordonnées qui mettait en évidence (dès 1921 par Painlevé et 1922 par Gullstrand) le fait que la singularité en
C'est d'ailleurs Lemaître qui a reconnu le premier (dans le fameux papier de 1933 sur lequel je n'arrive pas à mettre la main) que cette solution est bien la solution de Schwartzschild à un changement de coordonnées près. Je suppose qu'il a suivi une démarche analogue.
----------------------------
Revenons au cas général :
Dans le message #87, mach3 avait établi une expression générale de
En l'appliquant au cas défini au début de ce message, lorsque
et en injectant
Remarque : ce changement de coordonnée temporelle utilise
Mais dans le cas présent, en définissant
Il en serait de même si on s'intéressait à la ligne d'univers d'une particule-test ayant une vitesse radiale non nulle par rapport au flux comobile dans le cas général de la métrique LTB avec M(r) quelconque.
Dernière modification par mach3 ; 29/12/2019 à 21h21. Motif: correction à la demande de l'auteur
ça mérite quand-même d'être vérifié... Pour ceux qui douteraient, voici le développement :et en injectant
Dans l'expression de la métrique,
on développe les termes en
et ça a le bon goût de se simplifier en faisant disparaître le terme non diagonal et les facteurs
Beaucoup de calculs pour arriver finalement au résultat prévu(*) :
(*) dont il n'y avait pas de raison de douter au moins pour la partie établie par mach3 (l'expression de
Dernière modification par yves95210 ; 27/12/2019 à 14h07.
Salut, je vais bientôt avoir du temps pour te lire autrement qu'en diagonal.
A+
m@ch3
Dernière modification par mach3 ; 29/12/2019 à 21h22.
Never feed the troll after midnight!
Je te laisse le temps de lire et commenter le message #130 avant de passer à la suite :
Il y a certainement des choses à approfondir(*). Puis il restera à traiter le cas d'un chuteur partant de l'infini avec une vitesse radiale strictement négative, ou (ce qui revient au même) partant d'une sphère de rayon aréal A0 fini avec une vitesse v0 telle que s'il était parti de l'infini il aurait fallu qu'il ait une vitesse initiale non nulle.
(*) en particulier mon choix de coord radiale ne permet pas de différencier deux chuteurs, l'un partant de A1 avec une vitesse v1 et l'autre de A2>A1 avec une vitesse v2 telle que la vitesse qu'il aura lorsqu'il atteindra A1 soit égale à v1.
Une remarque quand-même :
Dans l'expression de la métrique,
il vaut mieux remplacer
