Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

[yves95210]

Quant au cas d'un chuteur partant de l'infini avec une vitesse radiale strictement négative (ou partant d'une sphère de rayon aréal fini avec une vitesse telle que s'il était parti de l'infini il aurait fallu qu'il ait une vitesse initiale non nulle), il se traite aussi facilement. On n'a même pas besoin de spécifier la coordonnée radiale de la métrique LTB, il suffit de dire que chaque valeur de correspond à une valeur unique de .

Ci-dessous je remplace par parce que le TeX du forum n'a pas l'air d'aimer mes notations...

Alors, pour chaque chuteur,











En utilisant





on obtient :









Remarque : on aurait faire tout le développement de manière commune aux deux cas, en ne remplaçant pas par ou par .
-----

[yves95210]

Encore une remarque : les deux formes de la métrique LTB avec comme coordonnée radiale, obtenues précédemment sont en fait identiques, à condition de les exprimer en fonction des mêmes paramètres, le rayon aréal de la sphère d'où part le chuteur et sa vitesse initiale, négative ou nulle.

La première (pour une vitesse radiale nulle sur une sphère de rayon aréal supérieur à ) :


La deuxième (pour une vitesse radiale à l'infini strictement négative) :


Dans le deuxième cas on a évidemment , ce qui conduit à la même équation que dans le premier cas. En passant cela montre que je n'ai fait que compliquer le problème en distinguant ces deux cas (cela n'était nécessaire qu'à cause du choix de coordonnée radiale que j'avais fait dans le premier; alors qu'on peut se passer de ce choix en faisant disparaître de l'équation).

Mais dans le deuxième cas la courbure spatiale des hypersurfaces à constant est négative, alors que dans le premier elle était positive. Avec comme limite entre ces deux cas la solution de Painlevé-Gullstrand (vitesse radiale nulle à l'infini), où cette courbure est nulle.

Qui plus est, j'aurais pu faire le même développement sans spécifier la fonction , pour aboutir à :

[yves95210]

La forme , avec le rayon aréal de la sphère où la vitesse radiale s'annule, est connue sous le nom coordonnées de Gautreau-Hoffmann (équation 3.18 dans le document déjà cité).

[mach3]

Salut,

En essayant de refaire LTB - "GP-like" - Schwarzschild dans le cas général (E quelconque) dont tu parles dans les messages précédents, je me suis pris les pieds dans le tapis avec des histoires de signes.

En préalable, quelques petites choses doivent être bien posées :

On sait qu'on a :



et



donc



En r constant, la dérivée seconde de A est négative, donc sa dérivée première est forcément décroissante.

* Si E est positif ou nul, la dérivée première de A ne s'annule jamais, cette dérivée est donc soit :
-toujours positive (elle décroit de vers de valeur positive ou nulle), c'est la solution dite sortante : A croit sans arrêt. On choisit donc le signe + pour l'expression de
-toujours négative (elle décroit de , de valeur négative ou nulle, vers ), c'est la solution dite sortante : A décroit sans arrêt. On choisit donc le signe - pour l'expression de

* Si E est négatif, la dérivée première de A s'annule quand A atteint la valeur (positive). Comme cette dérivée première est décroissante, elle doit être positive avant que A atteigne cette valeur, et négative après. A est donc croissante avant d'atteindre cette valeur, puis décroissante ensuite : est un maximum pour A (culmination). Le signe pour l'expression de doit changer à moment donné.

Revenons à un passage particulier du message #87

On peut donc factoriser :



Ce qui donne l'expression suivante pour dt :

en prenant la racine, j'ai été trop vite et sauté une étape ! En fait on a :



et donc soit (1):




soit (2):




Le cas (1) correspond (entre autre, pas fini de décortiquer) à la région I : la coordonnée t de Schwarzschild augmente avec le temps propre du chuteur r. En fonction du signe de , t augmente ou diminue avec r pour un constant.

C'est plus compliqué pour le cas (2), je n'ai pas fini de décortiquer, et ça dépend des conventions sur t dans les autres régions. Il est par ailleurs possible que ce que l'on essaie de faire nécessite de fixer cette convention.

Pour aboutir à l'expression générale de type GP sans se brêler et sans avoir de doute sur les signes, il faut garder tel quel, surtout ne pas prendre la racine. Je repars de Schwarzschild :



et de l'expression de alors établie pour faire coller Schwarzschild et LTB :



On introduit la deuxième dans la première (on laisse tomber la partie angulaire) :













Suivant le signe de , on a soit :

(solution sortante)

soit :

(solution entrante)

Un aspect assez curieux, dans le cas E<0, il y a deux expressions pour la métrique, l'une qui vaut dans une certaine région de l'espace-temps où les chuteurs n'ont pas encore atteint la culmination (qu'on pourrait appeler ascendante) et l'autre dans une autre région où ils ont passé la culmination (qu'on pourrait appeler descendante). A la limite entre ces deux régions, le terme rectangle s'annule.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

En préalable, quelques petites choses doivent être bien posées :

On sait qu'on a :



et



donc



En r constant, la dérivée seconde de A est négative, donc sa dérivée première est forcément décroissante.

* Si E est positif ou nul, la dérivée première de A ne s'annule jamais, cette dérivée est donc soit :
-toujours positive (elle décroit de vers de valeur positive ou nulle), c'est la solution dite sortante : A croit sans arrêt. On choisit donc le signe + pour l'expression de
-toujours négative (elle décroit de , de valeur négative ou nulle, vers ), c'est la solution dite sortante : A décroit sans arrêt. On choisit donc le signe - pour l'expression de

* Si E est négatif, la dérivée première de A s'annule quand A atteint la valeur (positive). Comme cette dérivée première est décroissante, elle doit être positive avant que A atteigne cette valeur, et négative après. A est donc croissante avant d'atteindre cette valeur, puis décroissante ensuite : est un maximum pour A (culmination). Le signe pour l'expression de doit changer à moment donné.

Oui.

Pour établir l'expression de la métrique dans les coordonnées de Painlevé-Gullstrand ou dans celles de Gautreau-Hoffmann à partir de la métrique LTB^(*), je me suis restreint à négative : un chuteur qui tombe depuis l'infini avec une vitesse initiale nulle, ou qui (re)tombe vers l'origine depuis un rayon aréal fini avec une vitesse nulle en ^(**). Je l'ai précisé dans les hypothèses.

Idem dans le cas E>0, j'ai supposé que la vitesse à l'infini était strictement négative : je n'ai pas vu l'intérêt de la choisir positive (ça correspondrait au cas d'un "chuteur" qui s'éloigne indéfiniment - au-delà de l'infini ?)

Je ne prétends donc pas à l'exhaustivité

(*) Je ne voulais surtout pas partir de Schwarzschild. J'ai fini par utiliser l'expression de en fonction de que tu avais établie, mais si je ne m'étais pas mélangé les pinceaux, je serais arrivé au même résultat avec ma méthode, qui consistait à faire un changement de coordonnée temporelle pour éliminer le terme non diagonal de la métrique, et à montrer qu'on retrouvait ainsi les coordonnées de Schwarzschild. En fait je ne suis pas allé jusqu'au bout pour une mauvaise raison : ça me choquait que l'expression de obtenue ainsi dépende de (mais j'avais tort d'être choqué, comme je l'ai expliqué plus tard...).
Finalement, c'est peut-être dommage de ne pas avoir gardé (et corrigé) le message où j'avais procédé ainsi, puisque nos démarches ne sont pas identiques : dans la mienne, on n'a pas besoin de connaître au préalable l'expression de la métrique dans les coordonnées de Schw., on la retrouve "naturellement" à partir de la métrique LTB.

(**) éventuellement après une phase "montante" où est positive, à laquelle je ne me suis pas intéressé en me contentant de supposer qu'elle est symétrique de la phase "descendante": la valeur absolue de en une même valeur de est la même dans les deux phases. Mais effectivement, comme tu l'as montré plus loin dans ton message, la forme de la métrique n'est pas la même, puisque le signe du coefficient de dépend du signe de .

[mach3]

je n'ai pas vu l'intérêt de la choisir positive (ça correspondrait au cas d'un "chuteur" qui s'éloigne indéfiniment - au-delà de l'infini ?)

ce sont de "chuteurs" lancés vers le haut avec une vitesse supérieure à la vitesse de libération

Mais effectivement, comme tu l'as montré plus loin dans ton message, la forme de la métrique n'est pas la même, puisque le signe du coefficient de dépend du signe de .

en fait après réflexion, elle n'est pas la même parce qu'on a voulu absolument exprimer en fonction de A, alors que si on l'exprimait en fonction de , il n'y aurait surement pas de problème, on aurait une expression unique valable partout.

m@ch3

[mach3]

(*) Je ne voulais surtout pas partir de Schwarzschild. J'ai fini par utiliser l'expression de en fonction de que tu avais établie, mais si je ne m'étais pas mélangé les pinceaux, je serais arrivé au même résultat avec ma méthode, qui consistait à faire un changement de coordonnée temporelle pour éliminer le terme non diagonal de la métrique, et à montrer qu'on retrouvait ainsi les coordonnées de Schwarzschild. En fait je ne suis pas allé jusqu'au bout pour une mauvaise raison : ça me choquait que l'expression de obtenue ainsi dépende de (mais j'avais tort d'être choqué, comme je l'ai expliqué plus tard...).
Finalement, c'est peut-être dommage de ne pas avoir gardé (et corrigé) le message où j'avais procédé ainsi, puisque nos démarches ne sont pas identiques : dans la mienne, on n'a pas besoin de connaître au préalable l'expression de la métrique dans les coordonnées de Schw., on la retrouve "naturellement" à partir de la métrique LTB.

bon alors bouclons la boucle, partons de LTB (j'oublie la partie angulaire) :











chose amusante, il semble que rien n'impose M=constante à ce stade... Les expressions de la métrique de GP et les GP-like seraient plus riches et générale qu'elles en auraient l'air? On pourrait les fabriquer pour toute solution LTB? ai-je fait une erreur, ou bien?

m@ch3

[yves95210]

ce sont de "chuteurs" lancés vers le haut avec une vitesse supérieure à la vitesse de libération

Oui.

en fait après réflexion, elle n'est pas la même parce qu'on a voulu absolument exprimer en fonction de A, alors que si on l'exprimait en fonction de , il n'y aurait surement pas de problème, on aurait une expression unique valable partout.

Dans mon idée, il s'agissait d'établir une expression de la métrique utilisant A comme coordonnée radiale (bon, d'accord, j'avais quand-même Schwarzschild dans un coin de la tête...), puis d'effectuer un changement de coordonnée temporelle pour éliminer le terme croisé. ça paraissait donc naturel d'exprimer tous les paramètres en fonction de A, pour finir avec une expression dont les coefficients ne dépendraient aussi que de A (et des conditions initiales A₀, v₀).

PS : je n'ai pas encore lu le message que tu viens de poster.

[yves95210]

bon alors bouclons la boucle, partons de LTB (j'oublie la partie angulaire) :

(...)



chose amusante, il semble que rien n'impose M=constante à ce stade... Les expressions de la métrique de GP et les GP-like seraient plus riches et générale qu'elles en auraient l'air? On pourrait les fabriquer pour toute solution LTB? ai-je fait une erreur, ou bien?

Non, il n'y a pas d'erreur. Jusque-là la solution est la même quelle que soit la fonction M. Dans le cas général (où chaque coquille sphérique comobile a une masse éventuellement non nulle) ça doit correspondre aux équations des géodésiques de particules-test (de masse négligeable) lancées avec une vitesse propre radiale quelconque par rapport au flux comobile.

Ce n'est que lorsqu'on cherche à éliminer le terme croisé (ou, ce qui revient au même, qu'on suppose connue la forme usuelle de la métrique de Schwarzschild) en faisant le changement de coordonnées que la condition M=constante intervient
(quand tu calcules sans faire apparaître de terme en M')

Je m'étais posé la même question et y avais répondu dans un des messages que je t'ai fait supprimer...

[mach3]

Ce n'est que lorsqu'on cherche à éliminer le terme croisé (ou, ce qui revient au même, qu'on suppose connue la forme usuelle de la métrique de Schwarzschild) en faisant le changement de coordonnées que la condition M=constante intervient
(quand tu calcules sans faire apparaître de terme en M')

question que je me pose, à voir pour plus tard, poser M=constante permet de "construire" une coordonnée de type t de Schwarzschild (orthogonale à la coordonnée A, donc pas de terme rectangle dans la métrique), mais est-il impossible de construire une coordonnée de ce genre quand M n'est pas constant ?

m@ch3

[yves95210]

question que je me pose, à voir pour plus tard, poser M=constante permet de "construire" une coordonnée de type t de Schwarzschild (orthogonale à la coordonnée A, donc pas de terme rectangle dans la métrique), mais est-il impossible de construire une coordonnée de ce genre quand M n'est pas constant ?

On peut essayer

[mach3]

On peut essayer

Ok, mais l'année prochaine alors!

Bonne fin d'année

m@ch3

[yves95210]

Ok, mais l'année prochaine alors!

Pareil pour moi.
Mais c'est demain, l'année prochaine, non ? Bon, cette fois c'est promis, j'attendrai d'avoir cuvé avant de poster de nouveaux messages et de nouvelles erreurs.

Bonne fête !

[yves95210]

Salut et bonne année 2020 !

Pour répondre à la question que tu te posais hier :
sans faire aucune hypothèse sur M, on peut chercher un système de coordonnées dont la coordonnée radiale est le rayon aréal et la coordonnée temporelle , et dans lequel la métrique est diagonale. Mais il faut de plus que ses coefficients ne dépendent que de (fonctions de) et .

Posons


Alors la métrique s'écrit


Pour que le terme croisé soit toujours nul, il faut que


dont le signe est l'opposé de celui de .

Alors




En posant on obtient



On retombe donc sur où le signe du terme en est l'opposé de celui de .

Je n'ai réintroduit M dans l'équation qu'à la dernière étape, pour que le résultat soit explicite, mais je ne m'en suis pas servi dans les calculs.

Autrement dit, le changement de coordonnée de temps que tu avais établi en partant de l'expression de la métrique dans les coordonnées de Schwarzschild est le seul^(*) qui permette d'obtenir une forme diagonale de la métrique utilisant A comme coordonnée radiale. Et cette forme est la forme usuelle de la métrique de Schwarzschild (où M est constante), alors que jusqu'ici je n'ai fait aucune hypothèse sur la forme de la fonction M(r).

(*) à un détail près : on n'est pas obligé de poser ; mais ce que je vais dire à propos de M vaut aussi à propos de E :

Si M n'est pas constante, le problème est maintenant d'exprimer M comme fonction des coordonnées t et A (et si on n'élimine pas E de l'équation, il faudra aussi l'exprimer comme fonction de t et A). C'est pas gagné...

A suivre.

[yves95210]

Si M n'est pas constante, le problème est maintenant d'exprimer M comme fonction des coordonnées t et A (et si on n'élimine pas E de l'équation, il faudra aussi l'exprimer comme fonction de t et A). C'est pas gagné...

Mais tu as déjà démontré (message #93) que si, après les changements de coordonnées appropriés, la métrique LTB s'exprime sous la forme usuelle de la métrique de Schwarzschild, M doit être constante. Donc la question ne se pose plus, puisque la coordonnée t que je trouve (en recherchant une forme diagonale de la métrique LTB avec A comme coordonnée radiale, sans supposer a priori qu'il s'agit des coordonnées de Schw.) est la même que la tienne.

[mach3]

Petit formulaire histoire de me simplifier les choses à l'avenir (parce qu'en essayant de refaire ton dernier calcul je me suis brêlé et je pense que ça peut aider d'avoir des raccourcis de ce genre sous la main plutôt que de perdre du temps à essayer de les retrouver à chaque fois) :

Si





alors :

(c'est juste au passage, pas utile pour l'instant je crois)

mais surtout :



donc (décliné de façon multiple) :



m@ch3

[mach3]

Salut,

De mon côté j'ai essayé de généraliser les relations Schwarzschild-like/GP-like/Lemaitre-like afin d'arrêter de me prendre les pieds dans le tapis à chaque fois que je fais quelque chose.

Je pars d'une métrique diagonale générique, qui sera l'expression en coordonnée type Schwarzschild (S) :



Je fais apparaitre dedans les coordonnées type Lemaitre (L) :





Je veux que l'expression en L soit diagonale, donc :





Je peux donc réécrire l'expression en L :









Je veux que le premier coefficient de l'expression en L soit 1, donc :





L'expression en L devient donc :





Enfin je veux que le deuxième coefficient soit :





donc :



On peut donc réécrire les coefficients de la métrique en S :







et la métrique en S s'écrit donc :



ou encore :



ouf, maintenant je vais pouvoir faire le lien avec ce que tu as fait...

m@ch3

[yves95210]

Salut, je n'ai pas encore eu le temps de vérifier, mais c'est assez étrange...

(...)

et la métrique en S s'écrit donc :



ou encore :

Pour retomber sur tes pieds il faut donc que



C'est d'ailleurs bien ce que tu avais trouvé dès le message #87.

Tu étais arrivé à me faire douter quand j'ai bêtement comparé cette expression avec (l'inverse de) celle que j'avais obtenue, .
Mais en fait il n'y a peut-être pas de problème : dans mon cas il s'agit d'une dérivée partielle à constant, alors que dans le tien c'est à constant.

Je te laisse aller jusqu'au bout pour voir si on se rejoint. De mon côté je ne vais pas refaire le calcul une troisième fois : si je me suis trompé les deux premières sans avoir trouvé où, il est probable que j'en fasse à nouveau autant...

[mach3]

Pour retomber sur tes pieds il faut donc que



C'est d'ailleurs bien ce que tu avais trouvé dès le message #87.

oui, et via

on retrouve aussi :



mais ça, c'est si on veut forcer le premier coefficient en S à être , et en faisant cela, on aboutit à des expressions de et qu'on sait incompatible avec le théorème de Schwarz (message 93) quand M n'est pas une constante.

Si on laisse le premier coefficient sous la forme pas de souci, a priori. Mais peut-être pas forcément d'expression analytique pour t qui serait seulement implicite.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

Il y a un point qui me chiffonnait (j'ai failli en parler hier dans ma réponse à Mailou dans l'autre fil mais j'ai évité de le faire pour ne pas l'embrouiller).

Le paramètre utilisé dans nos notations (celles que j'avais trouvées le plus couramment dans les publications) n'est pas la "vraie" masse de la matière contenue à l'intérieur de la sphère de coordonnée radiale r. En effet, en notant cette masse, .
Ce n'est que quand ou que les deux notions de masse coïncident.

Donc la métrique LTB exprimée avec les coordonnées de Gautreau-Hoffmann (pas Painlevé-Gullstrand car dans ce cas E = 0) avec n'est (heureusement) pas équivalente à la métrique de Schwarzschild exprimée avec les mêmes coordonnées.
Ou alors seulement à l'extérieur (dans un espace vide) d'une région centrale où . Cela donne d'ailleurs un moyen de "recoller" le modèle LTB à l'intérieur de cette région avec le modèle de Schw. à l'extérieur, puisque le système de coordonnées de GH permet de couvrir tout l'espace-temps, et que les deux métriques sont identiques à l'extérieur.
Plus tard (quand on passera au cas M non constante...) ça sera peut-être une bonne solution si on cherche à décrire ce que voit un observateur distant de la région où .

[mach3]

Je viens de percuter un truc, et je suis vraiment naze de pas l'avoir vu et compris avant, c'est quand A=2M, c'est la "vitesse" du chuteur quand il est sur l'horizon (dans le cas M=constante).

m@ch3

[yves95210]

Oui, et pas seulement dans le cas M = constante : on avait vu ça dans la discussion sur la croissance des trous noirs.

[yves95210]

Oui, et pas seulement dans le cas M = constante : on avait vu ça dans la discussion sur la croissance des trous noirs.

Mais dans le cas général, il s'agit de l'"horizon apparent", distinct de (et plus petit que) l'horizon des événements tant que M'>0 au-delà de l'horizon apparent (si M'=0 on retrouve évidemment Schwarzschild et les deux horizons coïncident).
Jusqu'à présent je n'ai pas cherché à déterminer le rayon de l'horizon des événements. Peut-être que maintenant on a les outils pour le faire, au moins dans le cas où M' > 0 jusqu'à une valeur r_m de la coordonnée radiale et M' = 0 au-delà de r_m.

[mach3]

Salut,

J'ai essayé de bidouiller des trucs ce week-end et je me suis aperçu que l'expression de A' est toujours problématique : on ne peut pas l'écrire autrement que comme une fonction de A, et on ne peut écrire A explicitement (à moins d'inventer la fonction réciproque à et de son pendant hyperbolique) comme une fonction de r et . Difficile alors d'écrire la métrique LTB avec des coefficients qui sont des fonction explicites de r et . Je comprends mieux pourquoi l'expression de la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Novikov a une sale tête (MTW page 826) et qu'on ne puisse rien faire pour l'arranger.

Il semblerait que cette difficulté se pose moins avec une forme "GP-like", le coefficients de la métrique pourraient tous s'écrire comme fonction de A et (mais la difficulté d'un terme non diagonal se pose), mais je n'ai pas eu le temps d'aller plus loin pour vérifier cela correctement.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

Oui, je suis aussi tombé sur cette difficulté à propos de A'. Et son expression en fonction de A et est effectivement plus sympathique :

et encore plus simple dans le cas où est nul. Au passage, avec M en r³ (choix qu'on a toujours le droit de faire quand M'>0) et E en r² (c'est le modèle de Friedmann-Lemaître, mais c'est sans-doute généralisable dans tous les cas au voisinage de r=0 car sinon les équations divergent), cela conduit simplement à , et donc .

Et ça permet aussi d'obtenir une forme sympathique de :


Mais si on veut utiliser A comme coordonnée plutôt que r, le problème est alors d'exprimer M et E en fonction de A et . J'ai essayé mais ne suis arrivé à rien...

Après, comme tu le dis, rien n'interdit de calculer numériquement comme fonction de et de r (via M et E). C'est ce que j'ai fait dans mes "travaux pratiques"...

Et j'arrive à un résultat correct puisque dans mon petit modèle j'arrive à calculer les différents scalaires locaux de l'équation de Buchert et leurs moyennes sur un domaine spatial comobile, et à vérifier exactement (à plusieurs décimales) son équation moyenne, incluant le fameux terme de backreaction - et à prouver que l'équation de Friedmann sur les scalaires moyens ne donne qu'un résultat plus ou moins approximatif lorsque le domaine considéré n'est "pas assez" homogène et le terme de backreaction non négligeable.

[mach3]

Mais si on veut utiliser A comme coordonnée plutôt que r, le problème est alors d'exprimer M et E en fonction de A et . J'ai essayé mais ne suis arrivé à rien...

cette réflexion m'est venue en lisant le début de ta réponse. Effectivement, il n'y a probablement aucun moyen de s'en tirer. Dommage pour les expressions analytiques. Heureusement qu'on a des ordinateurs.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

Il me semble que depuis quelques messages on est passé insidieusement à l'étude du cas général, M non constante. En fait à partir de ta remarque à la fin du message #127 : "chose amusante, il semble que rien n'impose M=constante à ce stade... Les expressions de la métrique de GP et les GP-like seraient plus riches et générale qu'elles en auraient l'air? On pourrait les fabriquer pour toute solution LTB?"

Mais il semble bien que la réponse à ta question soit non (à cause de l'impossibilité d'exprimer M et E comme fonctions de A et ). Donc autant en revenir aux solutions "classiques" exprimées à l'aide du paramètre .

En particulier, dans le cas E<0, conduisant à une contraction de la coquille de matière de coordonnée dès que , on a déjà parlé de la formation d'un "horizon apparent" dans la discussion sur la croissance des trous noirs. Celui-ci se forme dès que la première coquille atteint la singularité centrale (ou juste avant ? à vérifier). Mais j'ai lu un peu partout qu'il faut distinguer cet horizon (dynamique), sur lequel A=2M, de l'horizon des événements, plus grand.

Je crois comprendre ça intuitivement : un photon suivant une géodésique radiale sortante depuis l'extérieur de l'horizon apparent (mais assez proche de celui-ci) va croiser des coquilles de matière en contraction de plus en plus rapide, et il se peut qu'il rencontre la condition , autrement dit , pour une valeur de supérieure à celle depuis laquelle il a été émis. Dans ce cas il n'atteindra jamais un observateur situé hors de la zone (qui est ou qui sera dans le futur) en contraction.

Reste à formaliser ça mathématiquement, en calculant la valeur de A pour laquelle cette condition se réalise éventuellement. Mais je ne m'en sors pas dans le cas général. Du coup je vais peut-être commencer par traiter cette question dans le cas particulier de Friedmann-Lemaître, où les équations se simplifient largement (cf. ma remarque d'hier).

Au passage : il me semble aussi avoir compris la notion de "marginally trapped tube" (MTT). Comme est toujours négative et déjà proche de -c sur l'horizon apparent, il doit aussi y avoir un horizon intérieur (à l'horizon apparent), qu'un photon émis vers l'origine depuis la région située entre les deux horizons n'atteindra pas (du moins pas avant la singularité centrale).

[yves95210]

Salut,

Je n'ai rien posté ces derniers jours car l'étude du cas particulier Friedmann-Lemaître avec k=1 (autrement dit LTB avec densité homogène et E<0) a fait apparaître des bizarreries que je ne soupçonnais pas (j'en parlerai peut-être plus tard) et qui me font penser qu'il vaut mieux commencer par traiter le cas M'>0, E<0 de manière plus générale pour ne pas aboutir à des conclusions erronées.
En effet, comme on va le voir ci-dessous, le modèle F-L avec k=1 constitue en quelque sorte une limite au-delà de laquelle le modèle LTB n'est pas applicable jusqu'à la fin de la phase de contraction, et donc probablement pas pertinent pour traiter la question des horizons. Et en tant que limite il a peut-être des propriétés particulières, non généralisables.

La solution générale (M non constante) pour E<0 conduit à



Pour ne pas compliquer les choses, au moins dans un premier temps, je me limite au cas constante,


Sans perte de généralité, si la densité de matière est partout non nulle dans le domaine spatial considéré, on peut choisir la coordonnée radiale de manière que . Cela conduit à . La solution ne dépend alors que de la fonction .

La fonction est décroissante sur l'intervalle , vaut 2/3 quand , s'annule en , et tend vers quand tend vers .

Si ,

quand c'est-à-dire avant le début de la phase de contraction de la coquille de coordonnée radiale ,


et quand ,


Si , (où on retrouve "localement" - au voisinage de r - la solution de Friedmann-Lemaître). Alors pour tout .

Si , il y a nécessairement une valeur (supérieure à ) de (et donc de ) à partir de laquelle devient négative et la solution n'est plus applicable. Cela ne veut pas dire que ce cas n'est pas physiquement possible, mais il n'est alors pas possible d'utiliser le modèle de Lemaître-Tolman pour étudier l'évolution d'une boule de poussière en contraction jusqu'au "collapse" en .

A suivre... (mais sans-doute pas avant lundi)

[yves95210]

Salut,

Dans mon dernier message, je disais que le modèle de Friedmann-Lemaître avec k=1 constitue la limite du domaine de validité du modèle LTB avec M'>0 et E<0, si on veut que celui-ci couvre l'ensemble de la région de l'espace-temps considérée (l'évolution d'une boule de "poussière" depuis le big-bang jusqu'au collapse).
Ce n'est vrai que moyennant quelques considérations supplémentaires, que je détaille ci-dessous :

On a vu que, pour que la condition A'>0 soit respectée en tout jusqu'au collapse, il faut que localement (ce qui n'est évidemment contraignant que lorsque E'<0).

D'autre part, étant fini (au plus égal à ), E et E' doivent s'annuler en 0 : en effet . Comme j'ai choisi , si E ou E' ne tendent pas vers 0 lorsque r tend vers 0, cette expression tendrait vers l'infini quel que soit .
Alors, au voisinage de r=0, , avec . En effet, si E'' était également nulle, on aurait avec n>2 l'ordre de la première dérivée de E non nulle en 0, nécessairement négative. Cela conduirait à , contredisant la condition qui garantit que A' reste positive en tout .

Je note . Alors au voisinage de 0, et .
Plus généralement, dans l'intervalle considéré, on peut écrire , avec , et continue (sous réserve qu'on impose que E le soit); alors pour tout r.
Alors . Donc est donc décroissante sur tout l'intervalle, ainsi que .

On en déduit que pour tout r, mais aussi que E varie au plus comme .

Or en posant on retrouve le modèle de Friedmann-Lemaître via un simple changement d'échelle (changement de coordonnée et de facteur d'échelle ).

A suivre...

[yves95210]

Tout ça pour dire que je me propose de limiter (au moins dans un premier temps, mais tu souhaiteras certainement être plus exhaustif) l'étude du cas général E<0, M'> 0 pour tout r dans un intervalle ]0,r₀[ à une fonction E pouvant s'écrire , avec , décroissante sur cet intervalle (mais pas forcément strictement décroissante puisque, à la limite constituée par le modèle de Friedmann-Lemaître, f est constante).

En effet je suis curieux de voir quelle est la condition conduisant à l'évolution (pas si bizarre que ça quand y réfléchit) que j'ai constatée dans le cas homogène, où l'horizon apparent (correspondant à la condition , ) se forme en premier en r_max (en supposant que la boule de densité homogène r < r_max est plongée dans un espace-temps de Schwarzschild), puis voit sa coordonnée radiale décroître, ainsi que son rayon aréal (dans ce cas l'horizon des événements - celui de Schwarzschild - est la sphère de rayon aréal 2M(r_max).
Alors que dans les simulations numériques que j'avais faite dans un autre objectif (avec une fonction E peut-être plus "réaliste" mais un peu pifométrée, atteignant la valeur 0 pour une valeur de la coordonnée radiale r₀), le rayon aréal de l'horizon apparent était croissant.