Exploration de la métrique de Lemaitre-Tolman-Bondi

[yves95210]

message supprimé
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[yves95210]

Avec les notations utilisées pour la métrique LTB,


(...)

Encore une boulette : il manque un facteur 2 dans la première équation, et du coup dans la dernière :

[mach3]

La question que je me pose est : y a t'il d'autres solutions (avec A dépendant de \tau) qui ne serait pas équivalentes ? Est-ce que poser M=0 dans le cadre LTB condamne à trouver la géométrie de Minkowski (enfin un morceau de) ?

J'ai avancé sur cette question. Revenons à l'expression :



que l'on peut obtenir en réarrangeant après avoir poser

Pour avoir le droit d'assimiler à , avec t un champ scalaire, peu importe lequel, il faut que (avec d compris dans son sens opérateur de dérivée extérieure). En effet pour une 1-forme construite à partir de la dérivée extérieure d'un champ scalaire , on a . Si pour une 1-forme donnée, , alors il existe un champ scalaire tel que est obtenue par dérivée extérieure de ce champ.

En bref, si , alors est bien la dérivée extérieure d'un champ scalaire. J'ai fait le calcul au brouillon et je tombe bien sur 0, le point essentiel étant que .

D'une manière équivalente, on peut écrire et chercher à montrer que , mais il semble que ce soit plus difficile (j'ai essayé deux fois et ça a donné un truc immonde différent à chaque fois, alors que l'approche avec dd=0 a été plus rapide même si j'ai dû m'y reprendre à deux fois).

Si ma preuve est correcte, on peut alors bien écrire :



qui est la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques. L'écriture de t en fonction de tau et r dépendra simplement de l'écriture de A en fonction de tau et r choisie. Pour n'importe quelle fonction A de r et tau telle que , on trouvera une fonction t de r et tau satisfaisante.

m@ch3

[yves95210]

Si ma preuve est correcte, on peut alors bien écrire :



qui est la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques. L'écriture de t en fonction de tau et r dépendra simplement de l'écriture de A en fonction de tau et r choisie. Pour n'importe quelle fonction A de r et tau telle que , on trouvera une fonction t de r et tau satisfaisante.

En tout cas, dans le modèle d'espace-temps de Friedmann-Lemaître avec , on a bien quelle que soit la valeur de (qui ne peut alors être que 0 ou - 1).

Cela ne constitue pas une preuve, mais au moins ce n'est pas un contre-exemple

[yves95210]

Encore une boulette : il manque un facteur 2 dans la première équation, et du coup dans la dernière :

Bon, après cette correction, en regroupant les termes autrement, ça donne



C'est plus rassurant : dans le cas homogène, avec , on obtient

et

à comparer avec (pour FLRW avec courbure négative, k=-1) , d'où

En se rappelant que, dans ce cas, on obtient , et

Mais, contrairement à ce que j'avais cru deviner, ne représente pas la courbure spatiale, puisque celle-ci est bien présente dans l'équation avec le scalaire de Ricci 3D. Le fait que les deux termes aient la même forme est plutôt une coïncidence due à la symétrie.

à suivre...

[mach3]

Bon,

Démontrons . Après ça, il nous restera quelques petits points de détails à aborder avant de passer à la suite (le cas M=constant avec diverses valeurs de 2E, puis les cas FLRW, avant d'attaquer des cas non-homogènes), notamment des contraintes sur A et E.

D'abord introduisons quelques relations qui seront utiles :







Ensuite développons :







CQFD

m@ch3

[mach3]

Bon, je me fais des noeuds au cerveau sur la forme que E(r) (et donc \dot{A}(r) ) à le droit d'avoir ou pas pour qu'il ne soit pas absurde physiquement. Les deux possibilités exhibées sont croissantes monotones, mais est-ce forcément le cas. Pourquoi pas décroissante monotone? pourquoi pas non monotone. A creuser.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

Bon, je me fais des noeuds au cerveau sur la forme que E(r) (et donc \dot{A}(r) ) à le droit d'avoir ou pas pour qu'il ne soit pas absurde physiquement. Les deux possibilités exhibées sont croissantes monotones, mais est-ce forcément le cas. Pourquoi pas décroissante monotone? pourquoi pas non monotone. A creuser.

Tu en es toujours au cas M=0 ? (sinon, les cas décroissants ou non monotones sont parfaitement envisageables.)

Si oui, ça ne me paraît pas très productif : la métrique LTB a été établie pour représenter la géométrie d'un(e portion d') espace-temps emplie de "poussière", donc avec M non nulle. Et il faut partir d'hypothèses physiques aussi réalistes que possible pour se donner des fonctions M, E et t_b permettant d'aboutir à une forme particulière de la solution.

Par exemple, un profil de densité isotrope tendant vers la densité moyenne de l'univers pour les grandes valeurs de R, et une "vitesse" radiale des comobiles (dérivée par rapport au temps du rayon aréal) tendant vers celle de de l'espace-temps "moyen" représenté par la métrique FLRW. Avec encore un choix à faire : soit décrire tout l'espace-temps avec LTB, FLRW n'étant que la limite à l'infini spatial, soit décrire avec LTB une boule de volume fini et "recoller" soigneusement les deux métriques à la surface de la boule (c'est là-dedans que je me suis lancé et ce n'est pas si simple, car pour représenter une zone de sur-densité il faut nécessairement qu'elle soit entourée d'une zone de sous-densité pour que la densité moyenne de l'ensemble des deux zones soit égale à celle de l'espace-temps FLRW. Et au-delà d'un certain rayon, E peut (doit ?) change de signe, et avec elle la forme de la solution).

Ou à la rigueur, une boule de volume fini, de surface S, dont la densité tend vers 0 quand le rayon aréal tend vers racine(S/4pi), plongée dans un espace-temps vide. Donc Schwarzschild à l'extérieur de la boule. Voire, pourquoi pas, des coquilles sphériques de matière concentriques, séparées par des portions d'espace-temps vide.

Bref, il y a beaucoup de situations "physiques" à explorer, permettant d'aboutir à des résultats intéressants pour l'astrophysique et la cosmologie. Avec des problèmes pas simples à résoudre, comme celui des horizons dynamiques et de leur genre.

Quand au cas M=0, E>0, à part le fait qu'il permet de retrouver Minkowski dans un système de coordonnées spatialement sphérique, utilisant comme coordonnée de temps le temps propre et comme coordonnée radiale le rayon aréal des "comobiles" : à moins d'imaginer un univers (approximativement) vide de matière et de rayonnement hormis des particules de masse négligeable toutes lancées (comment?) avec une vitesse relative non nulle les unes par rapport aux autres, je ne vois pas à quoi il pourrait correspondre physiquement
(si ce n'est, comme déjà proposé, le cas limite d'une portion d'espace-temps décrite par la métrique FLRW avec courbure négative, lorsque la densité de matière y devient négligeable par rapport à la "densité de courbure" ; situation pas si irréaliste, car elle correspond probablement à la fin de l'évolution des vides cosmiques, dont au moins la partie centrale est approximativement homogène).

[mach3]

Tu en es toujours au cas M=0 ? (sinon, les cas décroissants ou non monotones sont parfaitement envisageables.)

le questionnement est parti de ce cas oui, mais il se veut plus général.

Je vais poster une synthèse sur le cas M=0 pour le conclure quand j'aurais le temps, et on pourra passer au cas M=constante.

m@ch3

[mach3]

Je vais poster une synthèse sur le cas M=0 pour le conclure quand j'aurais le temps, et on pourra passer au cas M=constante.

pas encore de synthèse, mais j'ai eu l'idée d'une autre configuration des comobiles dans l'espace-temps Minkowski qui satisferait LTB (encore à démontrer proprement). On considère que les comobiles en mouvement rectiligne uniforme étant au rayon aréal pour étaient au rayon aréal 0 pour (avec \beta la vitesse du comobile). De cette façon, les comobiles ont tous le même age en t=0 si on considère qu'ils avaient le même age quand ils étaient au rayon aréal 0. Cela signifie qu'ils ne partent pas tous en même temps de A=0. Apparemment dans ce cas la courbure de l'espace varie au fur et à mesure (étant 0 en t=0).

Je pense que c'est la pièce qui me manquait, car la forme générale de est et je ne voyais pas trop à quoi correspondait g(r). En effet, dans les solution ou déjà examinées, g(r)=0 et les départs de (ou arrivée à) A=0 se font au même évènement. Poser g(r) non nul permettrait de faire partir les comobiles d'évènements différents...

Il faut que je développe cela un peu plus et après je pourrais faire une synthèse vraiment complète de ce cas particulier M=0

m@ch3

[mach3]

Je pense que c'est la pièce qui me manquait, car la forme générale de est et je ne voyais pas trop à quoi correspondait g(r). En effet, dans les solution ou déjà examinées, g(r)=0 et les départs de (ou arrivée à) A=0 se font au même évènement. Poser g(r) non nul permettrait de faire partir les comobiles d'évènements différents...

j'ai trouvé, et c'est encore plus subtil que ce que je pensais.

On considère la tranche radiale de l'espace-temps de Minkowski en coordonnées sphériques . On considère dans cette tranche un ensemble de droites de genre temps, chacune portant une étiquette r. Chaque droite est paramètrée par , le temps propre le long le long de la droite :


avec , , et des fonctions de r, l'étiquette de la droite, tels que :
est le cosinus hyperbolique de l'angle entre l'axe A=0 et la droite r
est la tangente hyperbolique de l'angle entre l'axe A=0 et la droite r
sont les coordonnées de l'évènement choisi comme origine sur la droite r
Suivant les cas, on pourra considérer des demi-droites, voire des segments plutôt que des droites, afin d'éviter d'avoir des comportements "bizarres".
On peut réécrire ce système paramétré :


avec l'angle hyperbolique entre la droite r et l'axe A=0.
Si on suppose que , et sont des fonctions de r continues et (suffisamment) dérivables, alors r et \tau devraient former de "gentils" champs scalaires, propres à servir de coordonnées de Lemaitre-Tolman-Bondi.

On a donc :



et la métrique s'écrit :




Pause...

m@ch3

[mach3]

Bon, il y avait un truc qui clochait.

La métrique LTB est telle que est obligatoire de genre temps (le coefficient devant est toujours ) et est obligatoirement de genre espace (le coefficient devant est un rapport de grandeurs positives vu que ).

Or, en choisissant et indépendamment l'un de l'autre pour définir les droites r de paramètre , on peut se retrouver avec de genre espace dans certaines régions. Par exemple choisir et fait que est de genre espace quand il est <<1.

Je suis donc revenu sur la condition démontrée en #36 qui garranti l'équivalence entre la géométrie de Minkowski et la géométrie de LTB avec M=0 :

On peut la réécrire :

Donc :



D'un côté on a :

Ce qui impose :
et donc , et
et donc

cela doit être compatible avec :


Or, cette dernière impose :



Pour pas de souci : , par contre pour :


On doit avoir

Une fois choisi , doit donc être tel que .

A suivre.

m@ch3

[yves95210]

Salut mach3,

Je me pose une question un peu éloignée de tes préoccupations du moment, mais qui a plus sa place ici que dans l'autre fil (croissance des trous noirs). Je suppose que dans ta démarche méthodique c'est un sujet prématuré puisque tu procèdes pas à pas en commençant par le cas M=0, puis M=constante, donc tu n'es pas près d'arriver aux cas qui m'intéressent .
Mais même dès maintenant tu seras peut-être capable de me donner un avis.

Pour modéliser une situation physique réelle avec la métrique LTB, on doit choisir les trois fonctions arbitraires de la coordonnée radiale M, E et t_B de manière aussi représentative que possible du phénomène étudié.
Il est tentant de commencer par choisir M en définissant un profil de densité (par exemple en cloche si on utilise la métrique LTB pour modéliser une portion de l'espace-temps présentant une densité plus élevée que la moyenne). Ou E, en décidant d'office qu'elle doit être positive pour une zone de sur-densité ou négative pour une zone de sous-densité, et tendre vers la courbure moyenne de l'univers quand la coordonnée radiale augmente.

Mais l'un ou l'autre des deux choix ne supprime que l'un des trois degrés de liberté, ou des deux si on fait également l'hypothèse que t_B=0 (ce que j'ai fait jusqu'à présent dans mon modèle et dans la discussion). Ensuite, qu'on ait choisi en premier une fonction M ou une fonction E, les deux fonctions sont reliées par l'équation . On voit donc que pour choisir la deuxième fonction on peut aussi bien partir d'une condition sur à un instant quelconque - ce que j'ai fait par erreur dans mon modèle, mais qui peut éventuellement conduire à une approximation raisonnable. Encore faut-il le démontrer...

Par exemple, l'approximation que j'ai faite implicitement consistait à considérer qu'à un instant initial t_ioù la densité est encore "presque" homogène, la vitesse des comobiles est partout égale à celle qu'elle serait dans un espace-temps parfaitement homogène (et "plat"), où est le facteur d'échelle de la métrique de Friedmann et r sa coordonnée radiale. Alors en choisissant la coordonnée radiale de la métrique LTB telle que , si le choix d'un profil de densité conduit à une fonction , R valant 1 à la limite de la boule considérée et M(1) étant la masse constante de cette boule, on obtient pour la fonction E une forme tout aussi simple .

C'est en cherchant un moyen de justifier cette approximation que je me suis rendu compte d'un problème. J'avais pensé légitime de choisir t_B=0 (ou constant ce qui revient au même). Mais dans l'univers réel, si on considère une zone initiale de sur-densité assez grande pour pouvoir donner naissance à une galaxie, même à l'époque du CMB son rayon est de l'ordre du millier d'années-lumière. Et comme l'univers réel n'ajoute pas instantanément de la masse dans cette zone comme on le fait "à la main" dans le modèle en prenant t_B constant, il faut plutôt penser au phénomène comme à une vague qui se propage (en fait c'est à l'origine une fluctuation du plasma primordial, une oscillation "acoustique"). Autrement dit, il faut tenir compte du délai de propagation d'une telle vague entre le centre de la zone et son bord, qui se compte en milliers d'années. Et des milliers d'années à une époque où la densité d'énergie de l'univers était 10⁹ fois plus élevée qu'aujourd'hui, ça peut faire une différence non négligeable entre les valeurs de au centre et au bord de la zone.
Je comprends mieux maintenant pourquoi certaines publications (que je n'avais parcourues qu'en diagonale) utilisent une fonction non constante.

Qu'est-ce que tu en penses ?

[mach3]

Dans l'univers réel, LTB n'est une bonne approximation pour certaines régions qu'à un moment de leur histoire ou rayonnement et pression sont négligeables. La métrique LTB décrivant ces régions sur cette période n'a a priori aucune raison d'avoir tB=0 ou constante pour tout r : si on remonte le temps, on fini par arriver dans une région de l'espace-temps non décrite par LTB. Si on veut décrire tout un univers à partir de sa naissance avec LTB (donc un univers sans pression ni rayonnement, un univers qui n'est donc pas le nôtre), il peut-être sensé de partir de tB=0 pour tout r (et encore, si on imagine un univers ressemblant à la géométrie de Schwarzschild, on a un trou blanc comme origine pour certaines géodésiques, alors que d'autres pourraient arriver de l'infini spatial passé, difficile de penser tB=constante dans ce cas...), mais sinon ?

Ce que j'intuite pour l'instant c'est que poser tB=0 pour tout r n'est peut-être compatible qu'avec une homogénéité parfaite, donc FLRW (il s'agit par ailleurs d'une version "light" de FLRW, une version sans pression et sans rayonnement).

m@ch3

[yves95210]

Dans l'univers réel, LTB n'est une bonne approximation pour certaines régions qu'à un moment de leur histoire ou rayonnement et pression sont négligeables. La métrique LTB décrivant ces régions sur cette période n'a a priori aucune raison d'avoir tB=0 ou constante pour tout r : si on remonte le temps, on fini par arriver dans une région de l'espace-temps non décrite par LTB. Si on veut décrire tout un univers à partir de sa naissance avec LTB (donc un univers sans pression ni rayonnement, un univers qui n'est donc pas le nôtre), il peut-être sensé de partir de tB=0 pour tout r (et encore, si on imagine un univers ressemblant à la géométrie de Schwarzschild, on a un trou blanc comme origine pour certaines géodésiques, alors que d'autres pourraient arriver de l'infini spatial passé, difficile de penser tB=constante dans ce cas...), mais sinon ?

Ce que j'intuite pour l'instant c'est que poser tB=0 pour tout r n'est peut-être compatible qu'avec une homogénéité parfaite, donc FLRW (il s'agit par ailleurs d'une version "light" de FLRW, une version sans pression et sans rayonnement).

Oui, c'est la conclusion à laquelle je suis également arrivé...

(au passage, j'ai vu qu'il existe des développements de LTB avec pression non nulle, mais ça a l'air bien compliqué; et de toute façon, avec t_B=0, ça ne peut décrire notre univers, supposé isotrope en tout point, que si la densité d'énergie y est homogène - et on retombe alors sur FLRW.)

[mach3]

Une fois choisi , doit donc être tel que .

Une solution par exemple :
et (K et L deux constantes quelconques)


Il faut que je vérifie, mais cela pourrait être la plus générale, en effet pour une fonction arbitraire, il y aurait toujours une fonction qui pourrait convenir.

m@ch3

[mach3]

Il faut que je vérifie, mais cela pourrait être la plus générale, en effet pour une fonction arbitraire, il y aurait toujours une fonction qui pourrait convenir.

non, ça ne marche pas, parce qu'en touchant à , on touche à l'autre partie de A et t. Tant pis, pas d'expression générale, mais une recommandation d'utiliser ou pour exprimer , sans quoi pourrait être très dur à trouver.

J'en parlerais plus longuement tout à l'heure, mais c'est en fait encore plus riche que seulement des mouvements rectilignes uniformes radiaux se croisant tous en un évènement : il peuvent se croiser sur une sphère d'évènements !

m@ch3

[Mailou75]

S01-E04 :

Le Professeur Mach revient sur ses propres conclusions dans le cas M=0. Trouvera-il le lien entre M, E et tB, les variables contenues dans les hiéroglyphes découverts par Sir Yves ? Ne manquez le prochain épisode du Mystère LTB !

[yves95210]

S01-E04 :

Le Professeur Mach revient sur ses propres conclusions dans le cas M=0. Trouvera-il le lien entre M, E et tB, les variables contenues dans les hiéroglyphes découverts par Sir Yves ? Ne manquez le prochain épisode du Mystère LTB !

ça y est, Mailou a pété un câble . Comme ça, on est deux. Mais comme c'est l'heure de l'apéro, restons en là pour le moment

et rendez-vous pour l'épisode 5, ainsi que pour la saison 2 du Mystère de la croissance des TN.

[Mailou75]

ça y est, Mailou a pété un câble .

Je ne me moque pas, je suis fan ! Ça me fait un peu le même effet que quand je regardais «Urgences» (avec Clooney), y’avait que des mots qu’on ne comprenait pas ...

Dsl pour le HS

[yves95210]

Dsl pour le HS

Pas de souci : Prof Mach pourra toujours supprimer les derniers messages quand il passera par là

[mach3]

Bon, j'ai failli faire la synthèse du cas M=0 ce week-end, mais en la rédigeant, je me suis rendu compte que je n'y avais pas tout compris. Non seulement les comobiles peuvent se croiser non pas en un seul point de l'espace (celui defini par la symétrie sphérique considérée) mais sur une sphère, mais en plus, ces croisements ne sont pas forcément simultanés (au sens du temps defini par cette symétrie sphérique)!
Ce dernier cas doit donner lieu à des choses "bizarres" mathématiquement, qui vont sûrement mener à son exclusion...

m@ch3

[yves95210]

Salut,

Je n'ai pas abandonné la discussion. Pour le moment je n'arrive pas à résoudre mon problème de choix des fonctions M, E et t_b à partir des conditions initiales, pour étudier l'évolution d'une zone de sur-densité depuis l'époque du CMB (mais j'y reviendrai).

Du coup, pour me changer les idées, j'ai retravaillé un peu plus sérieusement sur l'idée consistant à partir de l'expression de l'équation d'Einstein dans la formulation 3+1 de la RG (cf. messages #21 et suivants). Compte-tenu de la symétrie sphérique, les équations ne sont pas compliquées.

C'est un peu long pour que je donne le détail des calculs ici, donc je mets un pdf en pièce jointe, et ci-dessous juste le résultat :


où est le scalaire de Ricci de l'hypersurface à t constant.

On en déduit :


ça peut se réécrire :


J'ai vérifié dans le cas FLRW, avec et , ça marche.

Bref, il y a bien un lien entre et la courbure spatiale, mais dans le cas général il n'est pas aussi simple qu'en FLRW.

Mais je n'ai trouvé nulle part la formule du scalaire de Ricci dans le cas général LTB, et pour le moment je suis en train de me battre pour le calculer à la main, et j'ai encore un bug

[mach3]

Pour le calcul du ricci, as tu tenté le calcul formel? Maxima (libre) possède un module de calcul tensoriel, ctensor

m@ch3

[yves95210]

Pour le calcul du ricci, as tu tenté le calcul formel? Maxima (libre) possède un module de calcul tensoriel, ctensor

Non, je n'ai pas essayé : ça ne m'arrive pas si souvent de faire joujou avec les coeffs de Christoffel - en fait jamais depuis l'époque où, pour apprendre la RG, j'avais entrepris de retrouver les résultats les plus simples (Schwarzschild, Friedmann-Lemaître) par mes propres moyens.

Je sais que ça existe, mais je craignais que l'apprentissage de ce type d'outil prenne pas mal de temps.
Mais c'est vrai que, dès que le modèle d'espace-temps présente un peu moins de symétries que les deux ci-dessus, ça fait des équations longues comme le bras et que les erreurs sont difficiles à éviter... Les "anciens" (pas tant que ça) avaient bien du courage !

Pour en revenir à la raison pour laquelle je me suis lancé dans ce calcul : en fait c'est certainement inutile, où du moins ça revient à réinventer l'eau chaude. Et (pour autant que ça présente un intérêt), on peut faire la démarche en sens inverse et calculer le scalaire de Ricci à partir de l'équation que j'ai donnée dans mon message d'hier, une fois qu'on a choisi une solution particulière; d'ailleurs il suffit peut-être d'utiliser cette équation pour obtenir des résultats plus instructifs. En tout cas elle permet déjà de se faire une idée moins naïve que celle que je m'étais mise en tête (où E représentait "simplement" la courbure spatiale).

Déjà, en injectant mon résultat d'hier dans l'équation , j'obtiens


On a donc une expression du scalaire de Ricci où n'apparaissent que , composante de la métrique, ses dérivées, et .
Au passage, c'est la première équation à laquelle j'étais arrivé à partir des équations de la RG 3+1, avant d'introduire en exprimant en fonction de . Et d'un point de vue RG elle fait plus sens que sa version avec , puisqu'elle parle uniquement de courbure, de métrique et de densité d'énergie.

D'autre part, comme est le scalaire de Ricci 3D de l'hypersurface à constant, on doit pouvoir l'exprimer uniquement à partir des composantes de la métrique 3D et de leurs dérivées par rapport aux coordonnées spatiales. Donc il doit y avoir un moyen d'éliminer de cette équation.
Peut-être qu'en exprimant et ses dérivées à partir d'une des solutions particulières dépendant du signe de puis en simplifiant, les et les disparaissent de l'expression de . Je vais regarder ça de plus près...

[yves95210]

Trop tard pour corriger, mais là j'ai dit une bêtise :

D'autre part, comme est le scalaire de Ricci 3D de l'hypersurface à constant, on doit pouvoir l'exprimer uniquement à partir des composantes de la métrique 3D et de leurs dérivées par rapport aux coordonnées spatiales. Donc il doit y avoir un moyen d'éliminer de cette équation.
Peut-être qu'en exprimant et ses dérivées à partir d'une des solutions particulières dépendant du signe de puis en simplifiant, les et les disparaissent de l'expression de .

puisque apparaît dans la composante de la métrique LTB. Mais au moins on doit pouvoir faire disparaître les ...

[yves95210]

Décidément j'ai l'art de tourner en rond

L'équation que j'ai donnée hier permet bien d'exprimer le scalaire de Ricci 3D en fonction des composantes de la métrique de l'hypersurface à t constant :

Fallait pas chercher plus loin; et calculer le tenseur puis le scalaire de Ricci à partir des coeffs de Christoffel de la métrique 3D n'apportera rien de plus, si ce n'est une vérification...

[mach3]

En collant ça :

load("ctensor");
dim:3;
cframe_flag:false;
ct_coords:[r,theta,phi];
depends([A,E],r);
lg:matrix([diff(A,r)/(1+2*E), 0, 0], [0, A^2, 0], [0, 0, (A*sin(theta))^2]);
cmetric(false);
scurvature();

ici : http://maxima.cesga.es/

J'obtiens comme scalaire de Ricci



Expression qui doit pouvoir se simplifier (maxima est fainéant sur les simplifications et/ou je ne sais pas assez bien m'en servir...)

m@ch3

[yves95210]

En collant ça :

load("ctensor");
dim:3;
cframe_flag:false;
ct_coords:[r,theta,phi];
depends([A,E],r);
lg:matrix([diff(A,r)/(1+2*E), 0, 0], [0, A^2, 0], [0, 0, (A*sin(theta))^2]);
cmetric(false);
scurvature();

ici : http://maxima.cesga.es/

J'obtiens comme scalaire de Ricci

Merci. ça n'a pas l'air de vouloir s'afficher correctement sur le forum, mais j'ai récupéré l'équation pour la coller dans mon éditeur LaTeX, et une fois réécrit plus simplement, ça donne

[yves95210]

Même en simplifiant ça ne donne pas le bon résultat, mais dans ton code tu as oublié le ^2 sur diff(A,r).

Je vais voir si j'arrive à utiliser maxima.