Bilan regime instationnaire

[aite33]

Bonjour avant de me lancer dans les exercices de la dernière partie des bilans de matière et d'énergie vu cette année, j'aimerais m'assurer de bien comprendre le cours
Globalement je pense l'avoir compris mais il y'a un point que je n'ai pas compris
Voici l'énoncé d'un exercice et après je vous mettrais le passage de la correction que je n'ai pas compris:
Un réacteur agité (considéré comme un mélangeur parfait) contient a l'instant initial 100 kg d'une solution aqueuse de NA2SO4 à 50% massique. On alimente avec un débit massique de 12 kg/h d'une solution de NA2SO4 à 15% massique. Le débit de sortie est de 10 kg/h, qu'elle sera la fraction (ou titre ) massique x dans le bac au bout de 10h00?
Résolution
A t=0, m0=100 kg
NA2SO4 en titre massique =50%
Bilan global: m(t) = 100+2t avec 2t qui correspond a l'accumulation dans le réacteur a l'instant (t0+dt)
Hypothèse: le réacteur est parfaitement agité donc la fraction en NA2SO4 dans le réacteur est égale a la fraction de Na2SO4 en sortie
Bilan partiel sur le NA2SO4:
Me=Ms +dM/dt
x*Me=Ms*x+d(x*M)/dt
12*0,15=10*x +d/dt *(x*(100+2t))
1,8=10x +x*d/dt*(100+2t)+(100+2t)*dx/dt
1,8=10x+2x +(100+2t)*dx/dt
Après une intégration on trouve x=0,26
La ou je bloque, c'est que je ne comprends pas le passage de la ligne 3 a la ligne 4
Et je ne comprends pas aussi pourquoi on a fait apparaître l'accumulation entre la ligne 3 et la ligne 4
Pouvez vous m'expliquer ?
Merci d'avance
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[jeanne08]

A l'instant t (en H) il y a 100 +2t kg dans le réacteur et la fraction massique de S ( S= Na2SO4) est x donc on a (100+2t) *x kg de S dans le réacteur
Pendant le temps dt : x varie de dx donc la quantité de S dans le réacteur varie de d ((100+2t)*x) = x *d(100+2t) +(100+2t)*dx =
x *2dt+ (100+2t)*dx
Maintenant pendant dt il entre 12*0,15 dt de S et il sort 10*x dt de S donc x*2dt+(100+2t)*dx = 12*0,15 dt -10 x dt ... ce qui est ta dernière ligne de calcul

[aite33]

Je ne suis pas trop sur d'avoir compris mais voyons voir:
La masse dans le réacteur de NA2So4 a l'instant t est de m(T)=x*(100+2t)

Mais ceci est valable pour 1h00 donc pour dt, la masse varie de.... Au fait je ne comprends pas trop quand vous dites x varie de xs a l'instant dt et que donc
d((100+2t)*x)=x*d(100+2t)+(100 +2t)*dx
Pouvez vous m'expliquer (me reexpliquer )?
Merci d'avance

[jeanne08]

- quand on a une fonction de plusieurs variables F(x,y) la différentielle dF est dF = F'x* dx +F'y*dy avec F'x la dérivée de F par rapport à x en supposant y fixée et F'y la dérivée de F par rapport à y en supposant x fixée


Revenons au réacteur au temps t qui contient q =(100+2t )* x kg de S . On va regarder ce qui se passe alors pendant le temps dt : x varie alors de dx et la quantité de S dans le réacteur varie de dq =x* 2 dt + (100+2t)*dx
Cette quantité dq peut aussi se calculer en regardant ce qui entre 12*0,15 *dt et ce qui sort 10*dt de S

note : q = (100+2t)* x : la dérivée de q par rapport à t est 2x et la dérivée de q par rapport à x est (100+2t) d' où la différentielle dq

[A voir en vidéo sur Futura]

[aite33]

bonjour, j'ai pratiquement compris l'exercice. je bloque juste un peu sur la résolution mathématique.
l'expression finale que je trouve est x=(4,2/(100+2t)^6 +1,8)*1/12
et au bout de 10h ,je trouve une composition en NA2SO4 de 0,15 or, la réponse finale est censée être 0,26
l'expression finale du titre en sortie (mais aussi dans le réacteur à l'instant t) est elle correct ?
merci d'avance

[jeanne08]

Tu as mal calculé x(t) .
dx/(1,8-12x) =dt/(100+2t) s'intègre par -1/12 Ln abs(1,8 -12x ) = 1/2 Ln (100+2t) + CSTE avec abs = valeur absolue et comme x varie de 0,50 (à t=0) à 0,15 ( pour t infini) alors abs(1,8-12x) = 12x-1,8 ... ensuite aller bien doucement sur les calculs, en particulier pour la constante d'integrattion... moi je trouve ( à vérifier !)
x = 1/12 * ( 1,8 + 4,2 *(100/(100+2t) )^6 )

[aite33]

Ah oui effectivement j'avais oublier la constante d'intégration.par ailleurs, je ne comprends pas au fait pourquoi sur l'un des membres de l'égalité, on avait mis une valeur absolue ?
Enfin, il est possible que je me sois tromper mais je crois que la
Encore on trouve 0,15......

[jeanne08]

numériquement, avec l'expression que je te donne je trouve x = 0,27

La primitive de I/x est Ln abs(x) ... c'est comme cela donc quand on intègre 1,8-12x on a -1/12 *Ln abs(1,8-12x ) et comme x ne peut varier que de 0,50 à 0,15 on 1,8 -12x <0 donc abs (1,8-12x) = 12x-1,8

[aite33]

Dans ce cas je vais reprendre tranquillement tout cela en lisant bien les conseils que vous m'avez donner
Merci beaucoup pour votre aide

[jeanne08]

Il faut effectivement y aller très doucement pour faire les calculs et bien faire attention ...
Se méfier aussi quand on calcule la primitive de 1/(a-b x ) ... c'est (1/(-b)) *Ln (abs(a-bx) ) ... et en cinétique chimique on rencontre finalement cette intégration assez souvent ...