découverte de Pi

[inviteec581d0f]

Bonjour à tous,

En lisant récemment un article sur le chiffre Pi, je me suis demandé si un jour, grâce à l'évolution des ordinateurs et du cerveau humain, on pourra déterminer toutes les décimales de Pi.

Je parle de possibilité mathématique.
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[Médiat]

Bonjour à tous,

En lisant récemment un article sur le chiffre Pi, je me suis demandé si un jour, grâce à l'évolution des ordinateurs et du cerveau humain, on pourra déterminer toutes les décimales de Pi.

Je parle de possibilité mathématique.

D'abord n'est pas un chiffre, mais un nombre.
Ensuite, si on parle de possibilité mathématique, donc sans tenir compte des contraintes de temps (infini), d'espaces, de moyens etc., c'est possible depuis longtemps.

[inviteec581d0f]

Merci, donc c'est possible (dsl pour "chiffre") mais pourquoi cela n'a-t-il pas encore été fait ??

[erik]

Pi possède un nombre infini de décimales et on sait montrer que ce développement décimal n'est pas périodique (comme par exemple 5/7=0,71428571428571428571428571428571... ). Pour un nombre comme 5/7 il est facile de connaitre toutes les décimales (bien qu'ils y'en ait une infinité) puisque le même motif se répète, ce n'est pas le cas pour pi.

On peut sans problème calculer les n premières décimales de pi, évidemment plus n est grand plus cela prend du temps, donc calculer toutes les décimales de pi demanderai un temps infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je parle de possibilité mathématique.

mais pourquoi cela n'a-t-il pas encore été fait ??

La réponse à ta deuxième question est contenue dans ta première question.
Comme je l'ai écrit dans ma réponse (et confirmé par erik), il faudrait un temps infini (sans parler des moyens...)

[invite786a6ab6]

Pi possède un nombre infini de décimales et on sait montrer que ce développement décimal n'est pas périodique (comme par exemple 5/7=0,71428571428571428571428571428571... ). ....

Mais je crois que l'on n'a pas encore démontré que c'était un "nombre univers" (qui contient n'importe quelle suite de chiffres).

[erik]

A part certain nombres construit de manière ad'hoc (comme 0.12345 ...) je crois qu'on ne connait pas des masses de nombres univers.

On ne sait pas si , e, sont des nombres univers.

[invite7863222222222]

Mais je crois que l'on n'a pas encore démontré que c'était un "nombre univers" (qui contient n'importe quelle suite de chiffres).

de ce que j'ai lu : ce n'est pas parce que le développement décimal n'est pas périodique que le nombre est un nombre univers, mais je ne sais pas si on a déjà trouvé un contre exemple.

[Médiat]

de ce que j'ai lu : ce n'est pas parce que le développement décimal n'est pas périodique que le nombre est un nombre univers, mais je ne sais pas si on a déjà trouvé un contre exemple.

Tu prends et tu remplaces tous les 9 du développement décimal par 0, et tu es sur de ne pas avoir un nombre univers.

[invite8613985e]

Bonjour à tous,

En lisant récemment un article sur le chiffre Pi, je me suis demandé si un jour, grâce à l'évolution des ordinateurs et du cerveau humain, on pourra déterminer toutes les décimales de Pi.

Je parle de possibilité mathématique.

Pi a un nombre infini de décimales, c'est donc de toute façon impossible, ça n'a pas vraiment de sens de se poser cette question.

Par contre, on peux se poser la question suivante : existe t il une loi unique qui permettrai de retrouver autant de décimales de Pi qu'on souhaite ?

Sur ce genre de question les ordinateurs ne sont pas d'une grande utilité.

[erik]

Que veux tu dire par "retrouver autant de décimales de Pi qu'on souhaite" ?

[inviteec581d0f]

Bonjour,

Je trouve que c'est une question comme une autre, si l'on a cherché à démontrer l'irrationnalité de racine de 2 c'est qu'un jour, quelqu'un c'est posé la même question.

Mais moi je voulais juste savoir si celà était possible, par curiosité. (la curiosité est un vice )

[invite8613985e]

Que veux tu dire par "retrouver autant de décimales de Pi qu'on souhaite" ?

j'ai dis ça pour ne pas dire "calculer toutes les décimales de Pi" puisque c'est impossible (il y en a une infinité). Tout ce qu'on pourrai faire c'est en calculer un très grand nombre (le nombre qu'on souhaite).

[Médiat]

Mais moi je voulais juste savoir si celà était possible, par curiosité.

Oui, mais quoi doit être possible ? La possibilité mathématique, comme dans ton premier post, ou la possibilité physique comme on peut le comprendre dans le deuxième ?

existe t il une loi unique qui permettrai de retrouver autant de décimales de Pi qu'on souhaite ?

Il existe des dizaines, voire des centaines de méthodes permettant de trouver autant de décimales que l'on veut (toujours sans tenir compte des problèmes de temps et de moyens, bien sur)

[invité576543]

Que veux tu dire par "retrouver autant de décimales de Pi qu'on souhaite" ?

Quand on dit que l'on connaît toutes les décimales de 1/7, ce n'est pas tout à fait vrai. Il est impossible de les lister, même si elles se répètent, parce qu'il y en a un nombre infini.

Donc on peut dire que ça n'a pas de sens de demander de lister toutes les décimales d'un nombre, quel qu'il soit, y compris 1!

Par contre, ce qu'on sait faire avec 1/7 ou tout rationnel, c'est donner une méthode de calcul simple de la nième décimale. Dire que 1/7 a un développement cyclique avec un cycle de 6, c'est dire que la valeur de la décimale de position n ne dépend que de n modulo 6, ce qui donne un calcul simple de la nième décimale.

La bonne question à poser sur pi ou tout nombre est s'il est possible de calculer la nième décimale de son développement pour tout n. C'est, à mon sens, la même question de "si on peut retrouver autant de décimales que l'on souhaite".

Pour pi la réponse est oui, et rares sont les nombres qui sont à la fois définis et pour lesquels la réponse est non (nombre de Chaitin, peut-être?).

La question plus intéressante, àmha, qui distingue réellement pi de 1/7, est la complexité minimale du calcul permettant de donner la nième décimale pour un n donné quelconque.

A-t-on des idées sur le sujet, sur une borne inf ou sup par exemple?

Cordialement,

[invite8613985e]

Il existe des dizaines, voire des centaines de méthodes permettant de trouver autant de décimales que l'on veut (toujours sans tenir compte des problèmes de temps et de moyens, bien sur)

C'est exact, mais ce n'est pas de ce genre de méthode dont je voulais parler. A ma connaissance les méthodes qu'on utilise reposent toutes sur une fonction majorante et une autre minorante, et suivant la différence entre les 2 fonctions on en déduit le nombre de décimales justes qu'on a obtenu.

Mais comme je dis, ce n'est pas de ce genre de fonction que je voulais parler, c'est pour ça que j'ai parlé de "loi unique".

[Médiat]

Mais comme je dis, ce n'est pas de ce genre de fonction que je voulais parler, c'est pour ça que j'ai parlé de "loi unique".

Il existe même une méthode pour calculer directement la n-ième décimale (en base 2 ou 16) (Bailey-Borwein-Plouffe)

[invite8613985e]

Il existe même une méthode pour calculer directement la n-ième décimale (en base 2 ou 16) (Bailey-Borwein-Plouffe)

Sur quel principe est elle basée ?
Permet elle de calculer autant de décimales qu'on veut ?

Merci

[Médiat]

Oui, autant de décimales que l'on veut

[inviteec581d0f]

Oui, autant de décimales que l'on veut

Donc Pi a déjà été calculé en entier sachant qu'on a une formule qui le définit.. (ou plutôt qui définit toutes ces décimales) non ??

[erik]

Donc Pi a déjà été calculé en entier

Non, ça c'est impossible puisqu'il y' a une infinité de décimales, on ne peut pas le calculer en entier.

On peut juste calculer autant de décimale que l'on veut (mais pas une infinité de décimales, il faudrait pour ça un temps infini)

J'ai l'impression qu'il y'a un truc qui t'échappe, mais je n'arrive pas à cerner exactement sur quoi tu bloques.

[Médiat]

Donc Pi a déjà été calculé en entier sachant qu'on a une formule qui le définit.. (ou plutôt qui définit toutes ces décimales) non ??

Pour insister sur ce qu'a écrit erik : c'est comme si tu demandais quel est le plus grand des nombres entiers.

[invite786a6ab6]

C'est un peu comme le problème de savoir si l'on sait tracer un cercle parfait :
- oui, puisque qu'il est parfaitement défini mathématiquement : R=Cte
- Non, car aucun tracé n'a la précision suffisante pour le faire.

Dans les curiosités de PI il y a aussi cette incroyable formule qui permet de calculer directement n'importe quel chiffre de PI placé en position n sans avoir besoin de calculer les précédents ! Malheureusement ce n'est vrai que si PI est exprimé en base 2, mais avec une telle formule, on a un peu l'impression d'avoir la vision sur TOUS les chiffres de PI.

[invité576543]

avec une telle formule, on a un peu l'impression d'avoir la vision sur TOUS les chiffres de PI.

Si le fait de savoir que les décimales de 1/7 sont cycliques te donne beaucoup l'impression d'avoir la vision de toutes les décimales de 1/7, alors avec ladite formule tu dois aussi avoir beaucoup l'impression d'avoir la vision de tout le développement de pi en binaire.

En effet, quel est la différence?

Cordialement,

[Médiat]

Dans les curiosités de PI il y a aussi cette incroyable formule qui permet de calculer directement n'importe quel chiffre de PI placé en position n sans avoir besoin de calculer les précédents ! Malheureusement ce n'est vrai que si PI est exprimé en base 2, mais avec une telle formule, on a un peu l'impression d'avoir la vision sur TOUS les chiffres de PI.

C'est la formule dont j'ai déjà parlé, elle permet d'avoir la décimale en position n en base 2 et en base 16, pour la base 10 il est aussi possible d'y arriver (cf. Plouffe), mais l'algorithme est si peu performant qu'il vaut mieux calculer toutes les décimales précédentes.

[invité576543]

en base 2 et en base 16

Et en base 4, et en base 8, et en base trente-deux, et en base soixante-quatre, ...

Cordialement,

[invite786a6ab6]

Y'a pas d'mérite, ces bases sont équivalentes, pour la base 16 par exemple il suffit juste de calculer quatre chiffres de la base 2

[Médiat]

Y'a pas d'mérite, ces bases sont équivalentes, pour la base 16 par exemple il suffit juste de calculer quatre chiffres de la base 2

Et pour la base 10 ?

[invite786a6ab6]

Et pour la base 10 ?

Je ne crois pas dire de bêtise en disant que pour convertir une base binaire (2, 4, 8...) en base 10, il faut avoir tous les chiffres précédents donc c'est très différent.

[invité576543]

Et pour la base 10 ?

La différence est que s'il y a un algo en complexité C(n) pour la base 2, il est trivial de trouver un algo en C(n) pour la base 2^k, alors que l'algo trivial pour passer de la base 2 à la base dix amène au total un algo en nC(n) ou guère mieux.

Cordialement,