Maths=certitude; sciences=approximations?

[Gandhi33]

Bonjour,

Comme tout le monde, je peux me tromper mais voici une de mes réflexions. Quel est votre avis la concernant?

Les connaissances en Mathématiques ne font-elles que croître, je veux dire par là que à partir d'axiomes et de définitions on construit une théorie dont on est certain; et donc au fur et à mesure que les années passent on ne fait qu'ajouter des résultats que l'on démontre et dont on est ainsi certain, on ne fait qu'agrandir les connaissances mais non les modifier dans leurs fondements?

J'ai l'impression que la science (en particulier la chimie) évolue et ce aussi dans ce qui était considéré comme acquis, change aussi dans ses fondements (je pense en particulier au modèle de l'atome). Qu'en pensez-vous? Une "démonstration" scientifique par des expériences est elle moins certaine qu'une démonstration mathématique? Peut-on avoir la prétention de comprendre un phénomène naturel sur des observations, des constatations et justifier une hypothèse non pas par un raisonnement logique irréfutable mais en utilisant des notions qui, pour certaines d'entre elles, sont loin d'être l'évidence-même puisqu'elles sont constamment en changement.

Doit-on être absolument certain des mathématiques du fait de la rigueur logique utilisée pour démontrer? Doit-on douter des sciences? Une démonstration scientifique a-t-elle oui ou non moins de "poids" qu'une démonstration mathématique?(bien sur, les mathématiques et les sciences sont très liées). En sciences, découvrir quelque chose qui semble vrai car constaté (par exemple lors d'expériences) et approuvé par la communauté scientifique, n'est-ce pas inutile est potentiellement faux/inexact puisque, dans plusieurs années, on va peut être montrer le contraire? Une telle situation peut elle se produire en mathématiques dans le cadre d'un résultat démontré?

La science est-elle une approximation? Les mathématiques sont elles irréfutables, intemporelles et absolues?

Vos commentaires et avis sont tous les bienvenus. J'espère que j'ai été clair.

Merci

Gandhi
-----

[Dynamix]

Salut
On ne peut pas comparer mathématique abstraites et sciences concrète .
Les maths n' ont pas besoin d' être confronté à l' expérience .
D' autre part l' évolution de la science ne se fait pas par des avancées et des reculades mais plutôt par affinage .
La relativité n' a pas tué les principes de Newton . Au contraire elle les justifie .

[Médiat]

Bonjour,

Les connaissances en Mathématiques ne font-elles que croître, je veux dire par là que à partir d'axiomes et de définitions on construit une théorie dont on est certain

Personnellement, je ne comprends l'expression en gras, que veut dire "être certain de la théorie des groupes" ?

Sinon, en mathématiques les seuls retours-arrière viennent de la détermination d'une erreur dans une démonstration (très très rare, car très surveillé, mais cela peut arriver)

on ne fait qu'agrandir les connaissances mais non les modifier dans leurs fondements?

Il y a pourtant eu une révolution au 19/20 ième siècle avec la théorie des ensembles

Doit-on être absolument certain des mathématiques du fait de la rigueur logique utilisée pour démontrer?

Les mathématiques respectent des règles du jeu, ces règles sont appliquées avec une rigueur absolue, mais on peut toujours questionner les règles (Brouwer et Heyting par exemple)

Une telle situation peut elle se produire en mathématiques dans le cadre d'un résultat démontré?

On peut cesser de s'intéresser à une théorie car elle n'apporte pas grand-chose ni aux physiciens ni aux mathématiciens, cela ne la rend pas fausse pour autant.

Les mathématiques sont elles irréfutables, intemporelles et absolues?

Qu'est-ce qui pourrait réfuter une démonstration mathématique sinon une autre démonstration mathématique mettant en évidence une erreur dans la première ? Certainement pas une expérience.

[Amanuensis]

La science est-elle une approximation?

Ben oui ; cela fait partie du fond méthodologique, d'ailleurs. En quoi cela pose-t-il un problème?

Il n'y a pas de démonstration dans les sciences du concret (physique, chimie, biologie, ...). Il y a des corroborations, et il y a des réfutations (observations contraires aux prédictions).

Les maths sont utilisés en science pour faire des déductions, c'est à dire montrer que certaines hypothèses doivent avoir telles ou tells conséquences "logiques". Mais les hypothèses restent des hypothèses.

Souvent le langage utilisé (en vulgarisation, dans l'enseignement) est proche de celui des maths, avec des "axiomes" pris comme "vrais". Mais c'est juste pour éviter de fastidieuses répétitions genre "Dans le cadre de cette théorie ...". Cela n'a pas le même sens qu'en maths.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

La relativité n' a pas tué les principes de Newton . Au contraire elle les justifie .

Si on parle des principes, les théories modernes ont bien tué les "principes de Newton", c'est à dire certaines des hypothèses utilisées comme fondement de la mécanique de Newton, comme le temps absolu.

Par contre cela n'a pas tué l'intérêt ou les applications de la théorie dérivée de ces principes "tués". Certains de ces principes sont connus comme erronés en toute généralité, mais restent "vivants" dans la mesure où on continue à utiliser la mécanique de Newton pour des applications dont on sait que l'erreur engendrée est sans conséquence, l'intérêt étant la moindre complexité des modélisations de système et des calculs.

Et les théories nouvelles n'ont pas justifié les principes de Newton (au contraire), mais ont permis d'en cerner certaines limites, et donc d'améliorer l'usage qui est en fait en pratique. Elles permettent aussi, mais c'est accessoire, de "justifier" (d'expliquer) pourquoi les théories anciennes avaient été élaborées, pourquoi leurs principes pouvaient paraître corrects, faute d'instruments suffisamment précis par exemple.

(T. Kuhn est en général cité pour avoir combattu, avec succès, l'idée d'un progrès des sciences par "affinage", dans "La Structure des révolutions scientifiques".)

[PlaneteF]

Il y a pourtant eu une révolution au 19/20 ième siècle avec la théorie des ensembles

Bonjour,

Et d'ailleurs, de manière peut-être moins révolutionnaire, la question des "fondements" reste un sujet bien vivant aujourd'hui avec par exemple la théorie des catégories, ou encore la théorie homotopique des types.

Cordialement

[noir_ecaille]

Peut-on avoir la prétention de comprendre un phénomène naturel sur des observations, des constatations et justifier une hypothèse non pas par un raisonnement logique irréfutable mais en utilisant des notions qui, pour certaines d'entre elles, sont loin d'être l'évidence-même puisqu'elles sont constamment en changement.

Si c'est irréfutable, surtout en sciences expérimentales, ce n'est pas scientifique.
Quand aux sciences analytiques comme les mathématiques, les conjectures remplacent les hypothèses expérimentales, mais là encore elles sont réfutables -- par la démonstration au lieu de l'observation

Doit-on être absolument certain des mathématiques du fait de la rigueur logique utilisée pour démontrer?

J'ai pas compris la question

Doit-on douter des sciences?

C'est une des bases (cartésianisme) de la démarche scientifique. À creuser côté épistémologie.

Une démonstration scientifique a-t-elle oui ou non moins de "poids" qu'une démonstration mathématique?

Les mathématiques étant des sciences, encore une fois je ne comprends pas la question. S'agit-il d'exclure les mathématiques en tant que sciences non expérimentales ? Ou bien ne comprenez-vous pas le mot science ? |

(bien sur, les mathématiques et les sciences sont très liées).

C'est comme dire que l'humain et les primates sont très proches...

En sciences, découvrir quelque chose qui semble vrai car constaté (par exemple lors d'expériences) et approuvé par la communauté scientifique, n'est-ce pas inutile est potentiellement faux/inexact puisque, dans plusieurs années, on va peut être montrer le contraire?

Quoi être inutile ? (Sauvez des vies : utilisez la grammaire et la ponctuation !)
Mettons que vous parlez de la communauté scientifique, c'est au minimum insultant, voire ça dénote une méconnaissance flagrante des sciences dans leur fonctionnement comme leur finalité.
Si vous parlez des découvertes, encore une fois cela dénote une méconnaissance de l'épistémologie.

Une telle situation peut elle se produire en mathématiques dans le cadre d'un résultat démontré?

CF réponse de Médiat.

La science est-elle une approximation? Les mathématiques sont elles irréfutables, intemporelles et absolues?

Il faut vraiment, VRAIMENT que vous vous penchiez sur ce qu'est l'épistémologie...


Cordialement

[c_icla]

Les mathématiques reposent sur des axiomes qui sont en quelque sorte les règles du jeu. Ces axiomes doivent respecter certaines contraintes (être complets, cohérents...) et doivent permettre des développements intéressants (pour au moins une personne).

Finalement le poker (ou la belote) ressemble un peu aux mathématiques: des règles du jeu suffisament solides pour dérouler des parties et en évaluer le résultat sans ambiguïté. Ce sont les joueurs qui développent ensuite des théories et des stratégies concernant ce jeu.

Gandhi33, si tu relis ton message en remplaçant "mathématiques" par "pokéristique" et "axiomes" par "règles du jeu", il deviendra comique. C'est une caricature bien sûr, je ne prétend pas que les deux messages soient équivalents. Mais il y a quand-même un petit fond de vérité.

[Médiat]

Bonjour,

Ces axiomes doivent respecter certaines contraintes (être complets, cohérents...) et doivent permettre des développements intéressants (pour au moins une personne).

Cohérents : Oui et non, on ne sait pas si certaines certaines théories très répandues sont cohérentes ou non, par contre il est impératif de ne pas savoir qu'elles sont incohérentes (ce qui les condamerait)

Complets : Non, beaucoup de théories, des plus "simples" (théorie des groupes) aux plus complexes (Arithmétique de Peano, ZF, ...)

Développements intéressants : Oui, dans le pire des cas, si on n'intéresse personne, on s'est bien amusé

[PlaneteF]

Les mathématiques reposent sur des axiomes (...)

On peut préciser qu'en amont les mathématiques reposent sur une logique formelle, la plus répandue étant la logique classique du premier ordre qui a le bon goût d'être une logique cohérente et complète en vertu du théorème de complétude de Gödel.

Cordialement

[Médiat]

une logique cohérente et complète en vertu du théorème de complétude de Gödel.

Merci, merci, merci

J'ai la faiblesse de penser que le théorème de complétude de Gödel est bien plus fondamental que les théorèmes d'incomplétudes, par ailleurs si mal connus, si mal cités, si mal utilisés.

[PlaneteF]

Merci, merci, merci

Je sais ce que Futura Science va t'offrir pour ton Noël : Une pétition pour la réhabilitation du théorème de complétude avec 500 signatures, ... et le théorème de compacité dans la foulée ! Allez je suis le premier signataire

J'ai la faiblesse de penser que le théorème de complétude de Gödel est bien plus fondamental que les théorèmes d'incomplétudes, (...)

Selon moi c'est même factuel : Le théorème de complétude pose les fondements de la logique classique du premier ordre, donc tout ce qui peut venir ensuite est de fait moins fondamental.

(...) par ailleurs si mal connus, si mal cités, si mal utilisés.

... voire massacrés, n'ayant pas peur des mots ! ... Mais pour faire du sensationalisme quel magnifique candidat : "Le théorème de Gödel ou la preuve irrefutable de l'existence d'un mystère à jamais inaccessible dans la connaissance fondamentale de l'Univers". Prochainement sur vos écrans. Personnellement j'attends Le Hobbit 3 : La bataille des cinq armées


Cdt

[PlaneteF]

"Le théorème de Gödel ...

N.B. : Je n'ai volontairement pas mis "le premier et le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel" pourtant plus précis, parce que c'est le racourci que l'on lit (trop) souvent et qui ici claque beaucoup mieux pour une bonne annonce publicitaire !

[PlaneteF]

N.B. : Je n'ai volontairement pas mis "le premier et le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel" pourtant plus précis, parce que c'est le racourci que l'on lit (trop) souvent et qui ici claque beaucoup mieux pour une bonne annonce publicitaire !

En me relisant je trouve ce message pas clair ... Same player shoot again :

On lit/entend souvent "Le théorème de Gödel" en guise de raccourci pour "Le premier et le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel". Ce raccourci sonne très bien pour faire la bande d'annonce du blockbuster que j'évoquais, mais il a le gros défaut de risquer de laisser penser que l'on a là, L-E théorème, T-H-E theorem, alors que, comme indiqué précédemment, le théorème fondamental c'est bien "Le théorème de complétude de Gödel".

Cdt

[Médiat]

Selon moi c'est même factuel : Le théorème de complétude pose les fondements de la logique classique du premier ordre, donc tout ce qui peut venir ensuite est de fait moins fondamental.

Nous avons bien la même analyse, et je sais (pour l'avoir lu sous son clavier) que pelkin la partage aussi.

[polo974]

...

(bien sur, les mathématiques et les sciences sont très liées).

C'est comme dire que l'humain et les primates sont très proches...
...
Cordialement

heu, c'est tout de même donner un trop beau rôle aux humains, non ? ? ?

[noir_ecaille]

Vous en êtes sûr ?

Essayez avec un peu plus d'ironie