Densité trou noir et fusion nucléaire

[invite06459106]

J'ai trouvé ça:
https://arxiv.org/pdf/0801.1734.pdf
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[mach3]

C'était une hypothèse (cf. messages plus anciens), mais elle est réfutée simplement parce qu'ils donnent la forme métrique avec laquelle ils travaillent, et c'est clairement celle de la géométrie de Schw. Ce qui fait qu'a priori l'idée de masse en effondrement n'a pas d'effet sur le calcul. A priori, parce que c'est peut-être à l'origine de la limitation, sauf que je ne vois pas pourquoi.
[...]
Je ne vois pas de quel modèle il s'agit! La métrique est celle de la géométrie de Schw.. Ils semblent opposer deux modèles avec la même métrique, l'autre étant appelé «de Kruskal». C'est cette opposition qu'il faudrait comprendre, et cela m'échappe: comme dit précédemment si on prend le modèle complet, alors la limitation est incompréhensible (et ils disent eux-mêmes qu'appliquée au «TN de Kruskal» le max est infini--ça c'est clair pour moi), et si on prend une sous-partie de la région II avec la métrique en question, ce n'est pas complet ; ce qui enlève des possibilités, c'est la limitation en question. Mais il paraît arbitraire de virer une partie qui rende incomplet, quand il s'agit de calculer un max!

quand on considère un trou noir issu d'un effondrement plutôt qu'un trou noir (éternel) de Schwarzschild est-ce qu'il n'y aura pas un morceau de la singularité (de t=-infini jusqu'à un t d'une certaine valeur finie) qui se retrouverait exclu (les zones III et IV sont exclue dans ce cas, pourquoi pas un morceau de la II) ? Attention, ce que je dis n'a peut-être absolument aucun sens...

m@ch3

[shub22]

Ça a l'air plutôt compliqué. Finalement cette phrase d'Aurélien Barrau, c'est carrément un sujet d'étude!
Et qui n'a rien d'évident sur les plans des maths .
Bon je continue de suivre ce sujet, ça m'intéresse

[invite06459106]

Finalement cette phrase d'Aurélien Barrau, c'est carrément un sujet d'étude!

Il me semble que le sujet n'est pas ce que dit A.B, mais le papier de CH et R.

[Amanuensis]

quand on considère un trou noir issu d'un effondrement plutôt qu'un trou noir (éternel) de Schwarzschild est-ce qu'il n'y aura pas un morceau de la singularité (de t=-infini jusqu'à un t d'une certaine valeur finie) qui se retrouverait exclu (les zones III et IV sont exclue dans ce cas, pourquoi pas un morceau de la II) ? Attention, ce que je dis n'a peut-être absolument aucun sens...

Aucune idée. Ce n'est pas une solution du vide, donc ce ne devrait pas être partout la géométrie de Schw. Mais dans le texte n'apparaît nulle part une autre métrique. Ils parlent d'une coquille massive de genre temps qui s'effondre, ce qui implique quelque chose de «non Schw.» pour les lignes d'Univers issues de cette coquille, mais cela semble ne pas intervenir dans leur calcul.

Mais la difficulté que je soulève (cf. mes MP) est la complétude, et je ne vois pas comment elle est résolue même en invoquant l'effondrement d'une coquille massive.

Comme déjà dit, cela m'échappe, et n'amène que des messages non constructifs, donc sans intérêt, de ma part.

[mach3]

J'ai trouvé ça par exemple :

http://jila.colorado.edu/~ajsh/bh/collapse.html

Cela semble confirmer ma supposition. Si c'est correct, alors dans ce cas là, on ne peut pas aller chercher un point arbitrairement loin sur la singularité et donc le volume ne peut pas être arbitrairement grand. Apparemment sur les diagrammes du lien, toute la partie où il n'y a pas l'étoile (sous entendu à symétrie sphérique) est considérée comme vide et donc la métrique de Schwarzschild s'y applique, mais l'autre partie est non-vide (donc c'est de l'étoile), donc métrique non-Schwarzschild et le r=0 de cette partie n'est pas de la singularité mais du centre d'étoile en effondrement. On peut donc même prendre si nécessaire un r=0 qui n'est pas sur la singularité mais dans la partie non-Schwarzschild pour appuyer l'hypersurface.

m@ch3

[Amanuensis]

On peut obtenir un volume fini en exigeant que soit délimité par deux sphères, Sv et Su, une sur chacun des deux horizons sortants.[/I]"
Mais personnellement je ne saisis pas ce que sont "les deux horizons sortants"

Si on s'intéresse à la solution maximale (c'est-à-dire complète, telle que toutes les géodésiques de genre temps aboutissent (tant passé que futur) soit en temps propre infini, soit sur une singularité), elle contient 4 horizons, deux entrants, deux sortants. Les entrants sont resp. entre la région IV et la région I; et entre la IV et la III. De même les deux sortants sont resp. entre la région I et la région II; et entre la III et la II. (Rappelons que la I est le lieu des «observateurs extérieurs» et la II le trou noir, les deux autres apparaissant par complétude.)

La régiin II aboute sur la I et la III, ils prennent un volume aboutant sur l'un d'un côté et sur l'autre de l'autre.

, donc pourquoi ils prennent cette approximation?

Pas une approximation, juste un choix sans justification. Une restriction dont le seul intérêt semble que le résultat soit un volume fini. C'est évident que si un volume est infini, on peut fabriquer des volumes finis dedans! La seule information est que cette construction donne un volume maximal fini, ce qui est ce qu'on attend sans faire le calcul (le contraire aurait été intéressant!). (Et l'utilité de cette propriété est encore moins claire que le résultat principal du papier...)

[Amanuensis]

Cela semble confirmer ma supposition. Si c'est correct, alors dans ce cas là, on ne peut pas aller chercher un point arbitrairement loin sur la singularité

Mais si, en allant vers X croissant. (Et ce n'est pas «arbitrairement loin» qui est nécessaire, mais «arbitrairement longuement à r constant», en ligne avec ce qu'ils indiquent à un moment. En incluant les lignes en X croissant, on peut rester indéfiniment à r constant.)

Cela demande une sorte de «demi-tour» apparent, qui nécessite de passer dans la zone centrale (éventuellement non Schw). Mon problème est là: ils excluent les solutions avec «demi-tour apparent», alors que pour moi elles existent nécessairement (par argument de complétude), quel que soit ce qu'il se passe au centre. Exclure le passage dans la zone centrale a deux effets : 1) ne pas prendre en compte les solutions avec demi-tour apparent, 2) permettre le calcul, car alors on peut se restreindre à la métrique de Schw.

Tout est là: pourquoi les solutions à demi-tour apparent (qui permettent de faire fuir X vers +inf, et d'obtenir un volume sans borne) sont-elles exclues? Et je n'arrive pas à voir un seul argument pour qu'elles n'existent pas.

Pour comprendre ce que j'appelle un demi-tour apparent, prendre une représentation (t, r) de l'espace-temps de Minkowski, avec r positif, et prendre une ligne x = -kt, y et z nuls, k positif : la ligne pour t négatif est représentée par r=-kt ; mais quand elle arrive à t=0, r=0, elle «rebondit» pour repartir comme r=kt (parce que r=|x| et non r=x). Le demi-tour n'est qu'apparent, la ligne va toujours tout droit. Ce demi-tour apparent (et la non dérivabilité apparente) est un artefact du choix de coordonnées.

[Amanuensis]

Je peux tenter de justifier l'argument de complétude. Si on prend le diagramme conforme fig.1 de l'article, il est clair qu'il y des lignes spatiales (angle faible par rapport à l'horizontale) partant de l'horizon avec r décroissant sans atteindre la singularité, donc aboutissant dans un premier temps à la ligne frontière à gauche de la figure. Si on la continue (la complète, possible par hypothèse de complétude) où va-t-elle? Elle ne peut pas arriver sur la ligne centrale et ensuite atteindre la singularité: elle ne serait plus spatiale. Et cela s'applique en fait à tout le cône passé de l'intersection entre la singularité et la ligne centrale: une ligne spatiale y entrant ne peut pas atteindre la singularité (1). La ligne va dont ressortir de la partie centrale avec r croissant, ce qui ne pose aucun problème de par le choix de coordonnées dû à la symétrie sphérique (cf. mon message précédent). Et on a donc un demi-tour apparent, et la possibilité de continuer jusqu'à X infini.

(1) Il reste une «possibilité», que la ligne centrale soit exclue, et qu'y aboutir fasse partie de «aboutir à la singularité» ; mais cette limite serait alors partiellement de genre temps, et j'ai du mal à comprendre comment cela peut avoir un sens. Mais c'est peut-être là la voie de sortie...

[mach3]

Mais si, en allant vers X croissant. (Et ce n'est pas «arbitrairement loin» qui est nécessaire, mais «arbitrairement longuement à r constant», en ligne avec ce qu'ils indiquent à un moment. En incluant les lignes en X croissant, on peut rester indéfiniment à r constant.)
[...]

Je ne comprends pas bien.

Si on veut calculer le volume d'une hypersurface de genre espace s'appuyant sur une sphère d'horizon situé en u=v=k>0, et que cette hypersurface s'appuie sur la singularité à l'autre bout, alors le point de la singularité sur lequel elle s’appuie est vers les u négatifs, donc vers les t négatifs, et suffisamment négatifs, sinon l'hypersurface ne sera pas de genre espace. Si non, pourquoi?

Ensuite, j'ai l'impression qu'il n'y a pas besoin de considérer les demi-tours apparents. Soit le point r=0 est dans la région non vide, et dans ce cas en allant de la sphère d'horizon (r=2m) au centre de l'astre en effondrement (r=0) on a couvert tout le volume (pour faire le volume d'une sphère, on intègre toutes les surfaces de r=R à r=0, on ne continue pas au-delà), soit r=0 est dans la région vide, c'est un point de la singularité et il n'est pas possible d'aller plus loin. Dans les deux cas, faire le demi-tour apparent fait que l'hypersurface coupe une nouvelle fois des lignes d'univers qu'elle a déjà coupé. Est-ce que ça tient debout? si non, pourquoi?

C'est encore bien nébuleux.

m@ch3

PS : croisement, message de 15h23 non encore lu

[Amanuensis]

Si non, pourquoi?

C'est ce que j'essaye d'expliquer! Lire mes messages, le plus gros est dedans...

Ensuite, j'ai l'impression qu'il n'y a pas besoin de considérer les demi-tours apparents.

Ben moi si.

au centre de l'astre en effondrement (r=0)

Qu'est-ce que cela signifie au juste? Qu'est-ce que couvre exactement r=0 en termes de coordonnées conformes, celles utilisées pour la fig.1, ainsi qu'en terme de coordonnées complètes (avec θ et φ) ?

Dans les deux cas, faire le demi-tour apparent fait que l'hypersurface coupe une nouvelle fois des lignes d'univers qu'elle a déjà coupé.

Quelle importance ? (Il me semble même qu'elle pourrait s'auto-intersecter, mais là encore, quelle importance? À part de compliquer encore ce qu'ils appellent le volume d'une surface s'appuyant sur une sphère de l'horizon!)

[Amanuensis]

Tiens, dans le genre de questions intéressantes sur la ligne centrale (la verticale à gauche, la ligne centrale au sens de la symétrie sphérique).

Prenons le point de départ de l'horizon sur la ligne centrale. Que représente-t-il? Les points de la ligne diagonale représentant l'horizon représentent des sphères d'événements, de surface (propre) constante 4 πRs², non nulle. Les points de la ligne avant ce point de départ sont dans la partie Minkowskienne, et a priori représentent chacun un unique événement, la limite d'une sphère, une sphère d'aire 0 (r=0 est une singularité de coordonnées pour des coordonnées sphériques de R³, ou des coordonnées polaires de R², pareil, ...).

On est en présence d'une discontinuité, ce qui n'est pas acceptable pour une variété différentielle. Comment résoudre ce problème?

(Physiquement, la question est celle des événements «à l'intérieur» de la sphère matérielle en effondrement. Le diagramme doit être modifié, faut faire partir l'horizon d'un autre point que la ligne verticale, il me semble me souvenir d'un dessin le montrant dans le MTW, pas le temps de regarder maintenant... Encore une fois, r n'est pas une coordonnée, mais un attribut d'un événement.)

[mach3]

Quelle importance ? (Il me semble même qu'elle pourrait s'auto-intersecter, mais là encore, quelle importance? À part de compliquer encore ce qu'ils appellent le volume d'une surface s'appuyant sur une sphère de l'horizon!)

un point de vue possible est que quand on calcule le volume contenu dans la surface fermée d'un objet "normal", on considère que l'hypersurface dont on calcule le volume, et qui s'appuie sur la surface fermée ne s'auto-intersecte pas, et n'intersecte pas plusieurs fois les lignes d'univers des points de l'objet.
Bon, on ne parle pas ici d'un objet normal. Soit. Mais le parti-pris de Christodoulou et Rovelli semble être de vouloir considérer une définition de volume inclu dans une sphère qui soit assez générale pour s'appliquer à une sphère d'horizon (l'utilité de faire cela restant à discuter).

Qu'est-ce que cela signifie au juste? Qu'est-ce que couvre exactement r=0 en termes de coordonnées conformes, celles utilisées pour la fig.1, ainsi qu'en terme de coordonnées complètes (avec θ et φ) ?

Je ne comprends pas bien leur figure 1, par contre avec les figures de ce lien : http://jila.colorado.edu/~ajsh/bh/collapse.html , je crois comprendre quelques trucs. Dans ces figures, r=0 est la ligne bleu claire dans la zone non vide et la ligne cyan dans la zone vide. Dans le premier cas, c'est le centre de l'astre en effondrement, dans le second c'est la singularité. Au moins dans la zone non vide, les valeurs de thêta et phi ne sont pas définies en r=0 pour un t donné (c'est un point). Je ne me prononce pas pour la zone vide...

Du coup, en suivant le point de vue du premier paragraphe de ce post (point de vue qui vaut ce qu'il vaut, je suis pas l'avocat de Christodoulou, j'essaie seulement de comprendre son article), il y a une certaine logique à s'arrêter en r=0 et ne pas faire de demi-tour apparent.

m@ch3

PS : croisement, encore, message de 16h14 non encore lu

[Amanuensis]

faut faire partir l'horizon d'un autre point que la ligne verticale

Je précise: l'horizon démarre sur la sphère matérielle là où sa surface (qui est continument décroissante selon la coordonnée temporelle du diagramme) atteint πRs².

[Amanuensis]

un point de vue possible est que quand on calcule le volume contenu dans la surface fermée d'un objet "normal", on considère que l'hypersurface dont on calcule le volume, et qui s'appuie sur la surface fermée ne s'auto-intersecte pas, et n'intersecte pas plusieurs fois les lignes d'univers des points de l'objet.

Pourquoi? Cela paraît totalement arbitraire quand il s'agit de calculer un max, juste une autre version de la limitation dont je ne vois pas de justification.

Ça ou dire qu'on ne considère pas les hypersurfaces avec demi-tour apparent c'est pareil.

Virer les cas infinis et conclure à l'existence d'un max de valeur finie n'est pas très informatif.

Je ne comprends pas bien leur figure 1, par contre avec les figures de ce lien : http://jila.colorado.edu/~ajsh/bh/collapse.html

Au passage c'est du même auteur qu'on doit les diagrammes page http://jila.colorado.edu/~ajsh/bh/schwp.html, avec l'erreur (énorme à mon sens, mais très courante) de l'accolement vertical des régions I et II en coordonnées de Schw., erreur que j'ai discutée dans le temps, il y a peut-être un an ou deux.

[Amanuensis]

j'essaie seulement de comprendre son article), il y a une certaine logique à s'arrêter en r=0 et ne pas faire de demi-tour apparent.

Je ne comprends pas cette logique.

Comme je l'ai déjà dit, je n'ai pas de proposition constructive, et mes messages n'ont au fond pas d'intérêt. Je ne fais part que de mon incompréhension, un reproche qu'il m'arrive d'adresser à d'autres. Si d'autres comprennent, se satisfassent d'une logique que je n'arrive pas à voir, c'est très bien pour eux, je n'ai rien à y opposer.

J'arrête là. (Même raison de fond qui m'ont fait me retirer d'autres discussions...)

[mach3]

(Physiquement, la question est celle des événements «à l'intérieur» de la sphère matérielle en effondrement. Le diagramme doit être modifié, faut faire partir l'horizon d'un autre point que la ligne verticale, il me semble me souvenir d'un dessin le montrant dans le MTW, pas le temps de regarder maintenant... Encore une fois, r n'est pas une coordonnée, mais un attribut d'un événement.)

ce serait pas ça le dessin en question?

http://almerja.com/medea/images/image008_154.png

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Prenons le point de départ de l'horizon sur la ligne centrale. Que représente-t-il? Les points de la ligne diagonale représentant l'horizon représentent des sphères d'événements, de surface (propre) constante 4 πRs², non nulle.

Ce n’est pas exactement comme ça que je l’interprète, mais vos doutes ne sont pas pour rassurer mes convictions, qui n’en sont d’ailleurs pas... je m’explique. En coordonnées de Kruskal le point de coordonnées X=T=0 désigne l’horizon r=Rs au t=0 de Schw. Ensuite si on fait le parallèle avec des accélérés de Rindler (les trajectoires r=cst) alors le point défini ci-avant désigne l’horizon Rs à t=0 et rien d’autre, ce point n’a ni passé ni avenir. La diagonale à 45° (rayon lumineux) nous dit qu’aucun observateur stationnaire (r=cst) ne verra jamais ce point. Ce n’est donc pas pour moi un ensemble d’évènements, le futur de Rs, mais il n’y a au contraire aucun évènements pour personne à moins de considérer que t=infini ait un sens... Le passage en coordonnées de Rindler est l’équivalent des coordonnées de Schw : la verticale n’est pas les positions de Rs à différents t mais un rayon lumineux, le point, devenu origine du repère (Rindler ou zone I), reste l’événement Rs à t=0.

(...) avec l'erreur (énorme à mon sens, mais très courante) de l'accolement vertical des régions I et II en coordonnées de Schw., erreur que j'ai discutée dans le temps, il y a peut-être un an ou deux.

Ca a été ma première réponse sur ce fil mais j’ai l’impression de parler dans le vent. Quelqu’un pourrait m’indiquer les violons svp j’ai une une grosse envie de pisser ?

Bye

[mach3]

Je vais résumer dans ce message ce que je crois comprendre de ce papier de Christodoulou et Rovelli, et si quelqu'un d'assez calé passe par ici, qu'il n'hésite pas à donner son avis.

1) le volume d'une sphère en espace-temps plat.

Les auteurs donnent deux méthodes pour définir le volume contenu dans une sphère en espace-temps plat :
-la sphère considérée défini un hyperplan de simultanéité et la partie de cet hyperplan qui est incluse dans la sphère a le volume de la sphère
-on prend toutes les hypersurfaces de genre espace à symétrie sphérique s'appuyant sur la sphère, on calcule leurs volumes et on cherche le maximum, qui est Le volume de la sphère
On note que les deux méthodes donnent le même résultat (l'hypersurface s'appuyant sur une sphère ayant le plus grand volume en espace-temps plat 1+3 est un morceau d'hyperplan).
Petit commentaire en passant : la symétrie sphérique des hypersurfaces s'appuyant sur la sphère n'est pas nécessaire a priori en espace-temps plat pour que la 2e méthode fonctionne, à symétrie sphérique ou non, l'hypersurface de volume maximal donnera le volume contenu dans la sphère.

2) le volume d'une sphère en espace-temps courbe.

La définition d'un volume à l'intérieur d'une surface fermée est beaucoup plus complexe en espace-temps courbe : il n'y a pas d'hypersurface de simultanéité définie de façon univoque. La première méthode échoue (elle donne autant de volumes que d'hypersurfaces de simultanéité imaginables). La 2e méthode, pour peu qu'on soit dans une géométrie à symétrie sphérique, reste applicable.

C'est le parti pris des auteurs de l'article. Ils définissent, dans le cadre d'une géométrie à symétrie sphérique, le volume d'une sphère (respectant la symétrie sphérique de la géométrie cadre) comme le volume maximal que peut atteindre une hypersurface de genre espace à symétrie sphérique s'appuyant sur cette sphère. C'est une définition qui est arbitraire, mais c'est suivant cette définition qu'est mené leur travail.

3) représentation d'une sphère (respectant la symétrie sphérique de la géométrie cadre) et d'une hypersurface de genre espace à symétrie sphérique en 1D+1D.

Dans cette représentation chaque point est une sphère de rayon r, r étant un champ scalaire >=0 respectant la symétrie sphérique de la géométrie. Une ligne de genre espace allant d'un point à r=0 jusqu'à un point à r=R décrit l'intégralité d'une hypersurface de genre espace à symétrie sphérique s'appuyant sur la sphère représentée par le point en r=R.

Note : compte-tenu de leur définition du volume d'une sphère, les cas d'hypersurfaces avec demi-tour apparent n'ont pas à être considérées.

4) le problème posé

On veut, dans le cadre d'un astre à symétrie sphérique en effondrement, déterminer le volume contenu dans une sphère d'horizon, en suivant la définition considéré en 2)

5) la résolution proposée

On cherche, parmi toutes les lignes allant d'un point donné de r=2m (une sphère d'horizon) à un point quelconque de r=0, celle qui correspond à l'hypersurface de genre espace à symétrie sphérique de volume maximal s'appuyant sur la sphère horizon choisie.

Il est évident pour les auteurs que dans le cas d'un trou noir éternel (espace-temps vide de Schwarzschild), ce volume est infini. En effet, les seuls points de r=0 sur lesquels peuvent finir des lignes partant d'un point de r=2m (sur l'horizon I<->II uniquement) sont sur la singularité, et portent une coordonnée T de Kruskal-Szekeres (KrSz) suffisamment négative pour être de genre espace. La singularité s'étendant de -infini à +infini en T de KrSz, on peut choisir un point de la singularité de coordonnée T de KrSz arbitrairement élevé en valeur absolue, ce qui mènera à un volume arbitrairement élevé.

En revanche, dans le cas d'un astre en effondrement, la singularité ne s'étend pas à l'infini dans les T de KrSz négatifs. L'étude du modèle d'Oppenheimer-Snyder (effondrement d'une étoile de poussières = pas de pression), montre par exemple que la ligne r=0 possède deux parties, une première, où elle est de genre temps et est le centre de l'astre, et une deuxième, où elle est de genre espace et est la singularité. Vu en coordonnées de KrSz, la valeur de T le long de la ligne r=0 possède une borne inférieure. Comme on ne peut plus choisir un point de T KrSz négatif arbitrairement élevé en valeur absolu, le volume ne peut plus être arbitrairement grand.

Les auteurs n'utilisent pas le modèle d'effondrement d'Oppenheimer-Snyder, mais un modèle encore plus simple : ils considèrent une coquille sphérique d'énergie m qui s'effondre suivant des géodésiques nulles. A l'intérieur de la coquille, la métrique est celle de Minkowski, et à l'extérieur, c'est celle de Schwarzschild. Lorsque la coquille passe sous r=2m, on a création d'un horizon.

Ils choisissent ensuite de ne pas s'intéresser à la partie des hypersurfaces (de genre espace à symétrie sphérique s'appuyant sur une sphère horizon) qui est dans la zone plate car sa contribution devient négligeable pour des sphères d'horizon tardives, et se focalisent sur comment le volume trouvé évolue pour des sphères d'horizon tardives.


Voilà ce que je crois avoir compris.

Merci de m'avoir lu et de commenter si vous avez les compétences.

m@ch3

[Amanuensis]

Une réponse possible aux questions que je me pose, même si elles sont considérées sans intérêt:

Une représentation du type de la figure 1 (diagramme conforme avec symétrie sphérique) du texte peut concerner un espace-temps tel que la ligne verticale à gauche, l'axe de symétrie sphérique est tel que r=0 partout, c'est alors, pour les coordonnées du diagramme, une singularité de coordonnée, à l'instar du cas de l'espace-temps de Minkowski si représenté ainsi. La singularité est la frontière horizontale, avec r tendant vers 0 quand on s'y approche par une ligne temporelle. Je note X la coordonnée spatiale d'un tel diagramme, X=0 à la verticale gauche ; T la coordonnée temporelle avec T=1 à la singularité.

Il y a des lignes de genre espace qui atteignent la ligne X=0 pour T<1, ces lignes se prolongent de manière différentiable en une ligne partant de même point et de dérivée inversée, ce prolongement étant avec X croissant. (La non différentiabilité apparente de la la ligne totale est un effet de la singularité de coordonnée.)

Le volume correspondant à une telle ligne une fois rajoutées les deux coordonnées θ et φ est comme un cylindre avec un point d'étranglement, ou comme un cône complet. Je vais appeler cela un cône sphérique.

Les auteurs, pour une raison ou une autre, ont décidé de ne considérer que la partie s'arrêtant à l'étranglement pour définir le volume de ce cône sphérique délimité par une section (dans le cas précis du papier, une section sur l'horizon). Autrement dit, la définition «the volume inside a two-sphere S is the volume
of the largest spacelike spherically-symmetric surface Σ bounded by S.» est incomplète, elle ne précise pas qu'on ne considère que les volumes qui ne sont pas déconnectés quand on enlève un point, ou encore dont l'intérieur est connexe (c'est un exemple de choix de condition supplémentaire, il y en a d'autres avec même conséquence).

[Je ne suis pas intéressé par les raisons de ce choix ; ce qui m'importe c'est qu'il y a une alternative, et qu'une branche de l'alternative a été choisie implicitement (l'autre branche, tout aussi acceptable a priori, amène à un max infini). Comme s'il s'agit de maths, on peut choisir d'étudier ceci ou cela, la contrainte est de le définir rigoureusement.

Par ailleurs, il existe des volumes spatiaux infinis inclus dans la région II, y compris dans le cas d'un effondrement. La valeur finie proposée dans l'article ne correspond pas au volume propre maximal que l'on peut loger dans la région II, «dans un trou noir». Qu'un choix particulier d'une famille de volumes donnant un max fini soit tel qu'il soit très grand n'est pas plus surprenant que le fait plus simple à démontrer qu'on peut loger un volume aussi grand que l'on veut.]

[Amanuensis]

En relisant, je réalise que je n'avais pas compris que la maximisation portait sur l'aire de la frontière, et non sur le volume lui-même dans la définition: « the volume inside a two-sphere S is the volume of the largest spacelike spherically-symmetric surface Σ bounded by S.» J'imagine que cela revient au même...

Cela ne change rien à mes questions et aux réponses que j'y propose. Mais cela rend l'expression de la contrainte implicite plus longue à écrire.

[mach3]

Oui, leur définition manque de rigueur. Ils considèrent implicitement un seul côté du cône sphérique, car c'est ce qui correspond au volume de la sphère quand l'espace-temps est plat.

Et, oui, même dans le cas d'un effondrement (que ce soit leur modèle simplifié ou celui d'oppenheimer-snyder), on peut trouver des hypersurfaces de volume infini incluses dans la region II.

m@ch3

[Amanuensis]

Message bien compris, j'obtempère et quitte la discussion. Désolé de l'avoir troublée.

[Universus]

Bonjour à tous,

Je remercie tout d'abord m@ch3 pour avoir attiré mon attention sur ce fil et en particulier sur cet intriguant papier de Christodoulou et de Rovelli. Parce que m@ch3 me l'a demandé, je vais glisser quelques remarques sur ma propre compréhension des aspects de leur papier qui s'avèrent problématiques pour les intervenants de ce fil. Je tiens néanmoins à faire quelques mises en garde. Premièrement, je n'ai lu que de manière très superficielle les dix pages de ce fil ; je m'excuse auprès de quiconque dont j'aurais mal compris les interventions. Deuxièmement, je n'ai pas sérieusement réfléchi ou étudié la relativité générale depuis quelques années (trop d'années...), ma compréhension de celle-ci demeurant ainsi relativement élémentaire. Il me semble heureusement que les enjeux de ce fil ne portent pas tant sur la physique de la RG que sur des aspects plus mathématiques et « méta-RG », ce qui me donne une chance de fournir ici des commentaires un tant soit peu pertinents.

Les auteurs se concentrent sur des TN à symétrie sphérique qui existent depuis un temps fini. Leur but premier est de donner, « à chaque instant », un sens précis et « naturel » de ce que pourrait être le volume (spatial 3D) délimité par l'horizon 2D (à « cet instant ») du TN. Un deuxième but est d'estimer la valeur de ce volume longtemps après la formation du TN. Un calcul précis de ce volume est difficile pour des raisons que j'effleurerai plus bas ; un tel calcul aurait probablement un intérêt assez faible pour eux, d'autant plus que leur modèle de formation de TN (une coquille mince de masse m s'effondrant à la vitesse de la lumière) est idéalisé, de sorte que les valeurs quantitatives qu'ils calculent ne sont viables qu'à l'ordre dominant.

En raison de la symétrie sphérique de la situation considérée, on peut restreindre l'essentiel de notre attention à une tranche d'espace-temps (r,t) avec r>0. On cartographie cette tranche d'espace-temps à l'aide des coordonnées d'Eddington-Finkelstein (r,v) où v=constante décrit une trajectoire de genre lumière dirigée (radialement) vers l'intérieur. En fait, l'horizon des événements (une fois le TN formé) correspond à la valeur r = 2Gm constante (c'est-à-dire indépendante de v), v pouvant alors servir de « temps » le long de cette hypersurface r=2Gm. La coordonnée (de Schwarzschild) r est appelée pour simplifier « rayon ».

Par choix des coordonnées, v=0 correspond à la trajectoire de l'effondrement de la coquille mince. Ainsi, dans la région v > 0, l'horizon des événements est r = 2Gm ; cette portion de l'horizon est un cylindre C feuilleté de sorte que où sont des sphères rondes de rayon r = 2Gm (indépendant de v). Puisque les coefficients de la métrique ne dépendent pas de v, l'aire des divers est constante, valant ; en ce sens, la frontière du TN, telle que « perçue » par un observateur extérieur, demeure constante une fois le TN formé.

Notons néanmoins qu'il y avait un horizon des événements déjà un peu avant v=0 (voir la ligne verte dans la figure 5 du papier), délimitant une région (minkowskienne dans l'idéalisation du papier) qui, du fait que la coquille s'avère plus tard sombrer sous le rayon de Schwarzschild (moment où on dit que le TN est formé), ne communiquera plus jamais avec un observateur extérieur à cette région. Cette partie initiale de l'horizon ne me semble pas représentée dans le diagramme conforme (figure 1) du papier ; il faudrait décaler la diagonale v=0 un peu plus haut dans le diagramme conforme. Notons aussi que la singularité du TN est formée pour v > 0, donc il me semble dans la figure 1 que la diagonale v=0 devrait passer par le coin supérieur gauche (de sorte que le diagramme conforme serait en quelque sorte la juxtaposition du diagramme pour (une portion de) l'espace-temps minkowskien et du diagramme conforme pour (une portion de) l'espace-temps de Schwarzschild.

Venons-en au but des auteurs. Tout observateur tombé sous l'horizon des événements atteint la singularité en un temps propre fini ; cela laisse très peu de temps pour que des observateurs à l'intérieur du TN n'établissent une notion de simultanéité (si seulement c'est possible). Bref, il semble difficilement y avoir une façon « physique expérimentale/protocolaire » de feuilleter l'intérieur du TN en hypersurfaces de genre espace, alors que c'est toujours en un sens envisageable à l'extérieur du TN. Pourtant, feuilleter l'espace-temps nous permet de l'interpréter comme « un problème d'évolution », « un problème de Cauchy ».

La quête d'un tel feuilletage peut paraître arbitraire voire insensée à certains égards, mais force est de constater que pratiquement tous les espaces-temps que nous parvenons à interpréter possèdent des feuilletages relativement « naturels » et que ces feuilletages jouent beaucoup dans notre faculté à pouvoir interpréter lesdits espaces-temps. Je lis donc personnellement le papier de Christodoulou et de Rovelli avec en filigrane cette quête à un feuilletage « naturel » à l'intérieur du TN.

La voie « physique » semble incapable de fournir un feuilletage « naturel » à l'intérieur du TN, mais la voie « géométrique » l'est possiblement. Chaque sphère borde une infinité d'(hyper)surfaces 3D de genre espace, mais celles de volume maximal sont géométriquement distinguées (pour autant qu'elles existent). En bons physiciens, Christodoulou et Rovelli anticipent que les surfaces de volume maximal se trouveront parmi des surfaces vérifiant un certain nombre de propriétés (que de bons mathématiciens tenteraient de déduire) et concentrent donc leurs recherches parmi les surfaces vérifiant ces propriétés. Une telle propriété est la symétrie sphérique de la solution (l'espace des solutions est clairement invariant sous les rotations, mais cela ne signifie pas pour les mathématiciens que les solutions elles-mêmes ont cette symétrie).

Un certain contre-coup de leur méthode (r=0 ne fait jamais partie de la carte, même avant la formation de la singularité) est qu'ils doivent imposer deux conditions frontières, l'une étant évidemment que l'hypersurface est bordée à l'extérieur par , l'autre étant de fixer à quelle valeur de v l'hypersurface intersecterait r=0. Une bonne partie de leur argument mène à l'idée que parmi les valeurs , c'est vraisemblablement avec v=0 en r=0 que l'hypersurface maximise son volume. Or, il se pourrait qu'un « vrai » maximiseur atteigne v < 0 pour r=r_0 > 0, dans quel cas l'hypersurface maximisante aurait une portion comprise à l'intérieur de la coquille en effondrement, là où la métrique spatio-temporelle est minkowskienne et donc l'hypersurface y serait plate ; cette portion plate contribuerait au volume total de l'hypersurface la valeur , ce qui est négligeable (dans la limite où la coordonnée v du bord extérieur tend vers l'infini) par rapport au volume de la portion ayant v > 0. Ainsi, même si les « vrais » maximiseurs pourraient passer dans la région v < 0, aux fins de calculer l'ordre de grandeur principal du volume des maximiseurs, nous pouvons supposer restreindre notre attention aux hypersurfaces ayant partout v > 0, les maximiseurs parmi celles-ci vérifiant vraisemblablement v=0 en r=0.

Du coup, les hypersurfaces que les auteurs obtiennent vivent dans l'époque post-formation de la singularité, de sorte que les « demi-tours apparents » que mentionnent Amanuensis n'ont pas lieu d'être : r=0 ne fait pas partie de l'espace-temps. De plus, unicité des géodésiques oblige, les hypersurfaces obtenues par les auteurs feuilletent l'intérieur du TN ; voir figure 5.

Tout ceci étant dit, la grande question est de savoir interpréter ce feuilletage « physiquement ». A-t-il une certaine signification pour les observateurs tombés dans le TN ? Sans prolonger l'espace-temps « au-delà de la singularité », je vois bien mal comment y parvenir ; j'interprète la discussion des auteurs dans la section VIII comme menant à ce même constat. Inversement, l'existence de ce feuilletage « orphelin d'interprétation classique » pourrait servir d'indice « classique » pour ce que devrait être la théorie quantique à viser. Par contre, la possibilité que les hypersurfaces maximisantes aient une portion minkowskienne pourrait compliquer toute interprétation de ce feuilletage. Une étude de la courbure spatiale des hypersurfaces maximisantes seraient aussi judicieuses il me semble.

Cordialement,
Universus

[mach3]

Merci Universus pour cette réponse que je dois maintenant prendre le temps de digérer.

Je n'arrivais justement pas à bien comprendre certains points de la figure 1. S'il se trouve qu'elle n'est pas tout à fait exacte, je comprends mieux mes difficultés.

m@ch3

[pascelus]

Merci Universus pour cet éclairage clair et avisé!

[Mailou75]

Merci Universus pour cette réponse que je dois maintenant prendre le temps de digérer.

Alors pas completement... c’est qu’il faudrait nous faire un petit retour

Merci Universus pour cet éclairage clair et avisé!

J’aurais dit «avis éclairé», ça se discute...

(Bon je sors x2)

[pascelus]

J’aurais dit «avis éclairé»...

Bah je n'ai pas dit que tout était clair pour moi, loin de là, mais c'est quand même moins obscur... Je n'en suis pas à la "digestion" mais déjà le met à meilleure allure...

[mikaelgarand]

D'après ce que j'ai lu et je peux comprendre un trou noir n'est pas nécessairement dense . J'ai lu sur pbs science que un certain trou noir de plusieurs millions de masse solaire avait environs la densité de l'eau

[mach3]

Attention, ça c'est une densité apparente, celle qu'il aurait avec cette taille et cette masse si l'espace était euclidien. Les choses sont beaucoup plus compliquées que ça, comme la lecture du fil complet peut le montrer.

m@ch3