Problème à deux corps

[Mailou75]

Bonsoir,

Il est admis que tout corps, peu importe sa masse, du moment qu'il n'est pas soumis à quelconque résistance, tombe à la même vitesse qu'un autre corps.

Par exemple, sous vide, une plume et une boule de bowling tombent à la même vitesse sur Terre.
Sur Mars, la plume et la boule de bowling tombent également à la même vitesse, mais plus lentement que sur Terre.

Mais du coup, que se passe-t-il si on lâche Mars sur Terre (ou la Terre sur Mars) ?

Cette question a suscité de houleux débats qui ont conduit à la fermeture du fil. Je tente ici d'y répondre simplement.
D'après les sources que j'ai pu consulter, le problème à deux corps n'est pas plus compliqué mathématiquement que le problème à un corps + particule test.

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On part de deux corps de masses différentes M1 > M2 (pour les calculs j'ai pris M1=Mt masse terrestre et M2=Mt/2)

On commence par définir le demi grand axe de la trajectoire d'une particule test en orbite autour d'un corps de masse M = M1 + M2 situé en G (c'est l'ellipse grise)

J'ai pris au pif T = 34min et la troisième loi de Kepler nous dit que



on trouve le demi grand axe de l'ellipse a ~ 3980 km soit un grand axe 2a ~ 7960km

J'ai pris au pif une excentricité e = 0,7 (position du foyer) qui nous donne le demi petit axe ~2842km

On peut ensuite ponctuer la trajectoire à chaque minute (points sur l'ellipse) en faisant varier le paramètre dans la formule



ce qui revient à appliquer la loi des aires (tous les "triangles" ont la même surface)

Enfin pour revenir à nos deux corps, on fait une homothétie de la grande ellipse avec des coefficients M2/M=0,333 et M1/M=0,666 mais la période T reste inchangée !

.....

Pour répondre à la question, en radial, l'ellipse plate est un cas particulier : la formule de chute libre depuis Rmax

avec

Si on prend Rmax = 7960km (2a) on trouve qu'un objet test chute en T = 17min vers une masse M

De la même façon on peut faire une homothétie selon r de la courbe de chute libre de gris en conservant T, on voit alors comment se déplacent les deux corps par rapport à G.

J'ai dessiné un rayon Rt/20~318km pour M1 et Rt/40~159km pour M2, ce qui définit leur point d'impact, un poil avant 17min (la valeur numérique importe peu).

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Comme d'hab, je tourne mon discours en réponse mais : Est-ce que c'est juste ? Le problème à deux corps est il si simple que ça ?

Merci d'avance

Mailou
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[Mailou75]

Z’etes des vilains de me laisser en plan... c’est une question classique évidente pour qui a la réponse

[mach3]

Pour vérifier si c'est juste regarde si les lois de conservation sont correctement vérifiées dans le référentiel où le centre de masse est immobile. Cela semble évident pour la quantité de mouvement à cause de l'homothétie (elle va être nulle tout le temps). Pour l'énergie il faut calculer la somme des deux énergies cinétique et de l'énergie potentielle et voir si ça reste constant. Enfin pour le cas où l'ellipse n'est pas dégénérée (chute non radiale) il faut vérifier que le moment cinétique total reste constant.

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci

Pour vérifier si c'est juste regarde si les lois de conservation sont correctement vérifiées dans le référentiel où le centre de masse est immobile. Cela semble évident pour la quantité de mouvement à cause de l'homothétie (elle va être nulle tout le temps). Pour l'énergie il faut calculer la somme des deux énergies cinétique et de l'énergie potentielle et voir si ça reste constant. Enfin pour le cas où l'ellipse n'est pas dégénérée (chute non radiale) il faut vérifier que le moment cinétique total reste constant.

Je vais te faire des réponses de normand, je ne vois pas trop comment "démontrer" ces égalités

Quantité de mouvement

Elle se définit par p=mv
M1 va à une vitesse V1
M2 vaut la moitié de M1 soit M2=M1/2
M2 parcourt une distance deux fois plus longue en une durée T égale, elle va donc deux fois plus vite soit V2=2*V1
C'est vrai de manière générale pour une révolution mais aussi à tout instant sur les trajectoires
On a donc pour bilan de la quantité de mouvement, puisque les vecteurs vitesse on une direction identique et des sens opposés

p = M1*V1 - M2*V2 = M1*V1 - (M1/2)*(2*V1) = 0 comme tu le disais.

Moment cinétique

Il vaut A=v*r*sin(B) où B est l'angle entre la radiale et le vecteur vitesse, c'est une constante, voir https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post5740339
On voit que la position symétrique des objets définira un angle avec la tangente à l'ellipse (vitesse) identique pour les deux.
Si la distance au foyer G de M1 vaut R1 alors celle de M2 vaut R2=2*R1, à tout moment, puisque G est le centre de gravité.
Et on a vu que V2=2*V1 on aura donc un moment cinétique A1 pour M1 qui vaut 4 fois celui de M2, par exemple à l'apoG où sin(B)=1

A1 = V1*R1 et A2=V2*R2=(2*V1)*(2*R1)=4*A1 et donc un moment cinétique total (conservé par définition) A=A1+A2=5*A1

Energie mécanique

La conservation de l'énergie mécanique est justement ce qui permet tout ces calculs, ce n'est pas une conséquence mais un prérequis Em=Ec+Ep soit

(1) qui donne la vitesse instantanée (2)
que l'on peut vérifier à tout instant avec le paramétrage de l'ellipse donnant (3)

Cette vitesse v est celle de la particule test, les facteurs M2/M=0,333 et M1/M=0,666 (où M=M1+M2) s'appliquent soit V1=0,33.v et V2=0,66.v à tout instant

L'application numérique de Ec1=M1*V1²/2, Ec2=M2*V2²/2 et Ep=-G*M1*M2/r avec les v et r définis par (2) et (3) en fonction de
montre qu'à tout instant Ec1+Ec2+Ep=cste, cette constante valant -G*M1*M2/2a ce qui vérifie bien l'égalité (1) avec deux énergies cinétiques, mais je ne saurais le démonter...

.....

Merci pour ton aide

Mailou

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

En fait en faisant le développement pour l'énergie mécanique de Em-Ep=Ec1+Ec2 et comme r =R1+R2 on trouve



avec M=M1+M2 on retombe rapidement sur la définition de la vitesse de la particule test (2)

mais je ne sais pas si ce raisonnement ne se mord pas la queue...

[Mailou75]

Salut,

En fait ce sujet pose des questions amusantes :

1 - Comment se comportent les objets eux même ? Imaginons que ce sont des yeux, regardent-ils toujours le foyer G ? J’ai envie de penser que oui en regardant la lune... Supposons maintenant qu’on augmente progressivement M1 par rapport à M2 en tendant vers M1>>M2 (négligeable). Juste avant M1 sera sur une orbite très petite autour de G. Si l’objet continue de «regarder» le foyer G, de loin... c’est pratiquement comme si il tournait sur lui même. En poussant à M2 négligeable, M1 arrête de «tourner» ? (puisqu’il n’est pas indiqué dans les manuels que la masse centrale regarde la particule test).

2 - Supposons la particule test grise en orbite autour de G. La masse est sous forme de trou noir, invisible. Un observateur extérieur arrive à déterminer la présence de la masse M en fonction de la trajectoire de la particule. Ensuite on lui montre le système M1+M2, dans lequel deux orbites différentes ont une periode identique T (34min). Qu’est ce qui l’empèche de supposer qu’il y a toujours un trou noir de masse M mais que des objets massiques ont une orbite réduite homothétiquement, le total des facteurs appliqués vallant 1 (0,66+0,33)?

3 - Sans pour autant faire l’interprétation précedente, a-t-on le droit d’extrapoler le principe à tout systéme en équilibre ? Imaginons 4 objets formant une croix centrée sur G. Tous orbitent (ou chutent) me manière identique, la croix tourne autour de G et se rétrécit à l’approche du periG, mais reste en croix, donc en équilibre. Et par extension de l’extrapolation on peut mettre N objets symétriques par rapport à G (en cercle quoi...), cercle mesurant 2a/N pourqu’ils chutent (ou parcourent une demi ellipse) en 17min. Enfin c’est la condition que j’ai posée mais on pourrait en choisir une autre... Bref, is it possible ? a-t-on le droit de faire ça ?

Merci

[increa]

Bonjour,
ça a un rapport lointain avec ton sujet mais je suis sûr que ça t'intéressera

[Mailou75]

Je ne vois pas trop ce que ça peut représenter ? Si ça parle des trous noirs c’est un peu hors sujet, je n’en parle que de façon anecdotique, le fil trate de physique classique

[ThM55]

Bonjour. Je confirme que le problème des deux corps se réduit formellement au problème à 1 corps dans un champ central fixe (le mouvement relatif est alors celui d'une masse unité autour d'un corps qui a la somme des masses, on parle aussi de masse réduite). Cette approche est très classique, on la trouve à la page 1 ou 2 de tout traité de mécanique céleste et elle permet de tout calculer facilement. Je ne comprends donc vraiment pas pourquoi cette question revient périodiquement et donne lieu à tant de discussions.

[manukatche]

Bonjour,

Mais du coup, que se passe-t-il si on lâche Mars sur Terre ?

Mars va se crasher sur la Terre

(ou la Terre sur Mars) ?

Mars va se crasher sur la Terre

L'objet le plus léger va se crasher sur l'objet le plus lourd.

[Mailou75]

Salut et merci,

Je confirme que le problème des deux corps se réduit formellement au problème à 1 corps dans un champ central fixe (le mouvement relatif est alors celui d'une masse unité autour d'un corps qui a la somme des masses, on parle aussi de masse réduite).

Ok, c’est ce que je voulais savoir, merci. Est-ce que le principe marche toujours pour un système de N masses symétriques par rapport à G ?

Cette approche est très classique, on la trouve à la page 1 ou 2 de tout traité de mécanique céleste et elle permet de tout calculer facilement. Je ne comprends donc vraiment pas pourquoi cette question revient périodiquement et donne lieu à tant de discussions.

Ben désolé, je n’ai pas reçu de formation dans le domaine. Quand on sait pas ben on sait pas...

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Mais du coup, que se passe-t-il si on lâche Mars sur Terre ?

Mars va se crasher sur la Terre (ou la Terre sur Mars) ?

Si t’avais lu le contenu du fil avant de répondre tu aurais compris que les deux masses s’écrasent sur le point G (et que du point de vue de chacune c’est comme si elle avait toute la masse et qu’elle voyait l’autre chuter/orbiter comme une particule test)