Problème à deux corps

[invitec001a56c]

Bonjour,
est-il possible de paramétrer l'orbite d'un des deux corps en (r(t),théta(t))
(par exemple dans le cas d'un corps décrivant une ellipse dont le Soleil est un des foyers, r désignera la distance Soleil-corps et théta l'angle entre le périhélie et ce corps). En effet, on connaît exactement la trajectoire des deux corps, mais peut-on connaître leur position à une date donnée? Si oui, comment? Et cela est-il possible pour le problème à 3 corps (j'ai entendu parler d'une "solution analytique exacte", d'après wikipédia)
Merci!
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Avec deux corps oui, c'est possible. Vous connaissez les conditions initiales ce qui vous permet de calculer la constante des aires, qui reste constante.
Je n'ai pas trouvé sur wikipedia mention d'une solution analytique pour 3 corps.
Au revoir.

[invitedc2ff5f1]

Bonjour, le problème à trois corps possède bien une solution analytique... sous la forme d'une série infinie lentement convergente. Autant dire que cette solution exacte est dans la pratique inutilisable...

[invite2d8d5438]

Bonjour, le problème à trois corps possède bien une solution analytique... sous la forme d'une série infinie lentement convergente. Autant dire que cette solution exacte est dans la pratique inutilisable...

Bonjour,

Ah ok, je me disais qu'étant donné que pour un problème à 3 corps, une solution est non linéaire, je voyais mal comment trouver une formule qui ne soit pas une itération.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec001a56c]

Rebonjour,
merci pour vos réponses! Comment fait-on LPFR pour trouver le paramétrage (r(t),théta(t)) à partir de mr²thétapoint= cste ???La deuxième équation serait l'équation différentielle régissant le mvt du barycentre des 2 corps.On pourrait par exemple éliminer r pour n'avoir qu'une équation différentielle en théta, mais je crains que l'on est obligé d'avoir recours à une intégration numérique pour connaitre r(t) et théta(t) à une date donnée... Non?
Merci.
PS: regarder la mention "problème à 3 corps" dans l'article de wikipédia concernant le problème à N corps.

[invite6dffde4c]

Re.
En premier lieu, on ne résout pas les deux corps en même temps. Il suffit de résoudre un des deux corps par rapport au barycentre, en mettant, à la place du barycentre la masse qu'il faut.

En éliminant le temps on tombe trouve sur l'équation de la trajectoire:
r = p/(1 + ε.cos(phi + C1))

Si on remplace 'r' dans l'équation:
r²(d phi / dt) = 2c
On se retrouve avec une intégrale sur phi d'un côté et une autre sur 't' de l'autre.
"Yaka", sauf que je ne sais pas si l'intégrale est faisable analytiquement.
Je pense qu'on doit tomber sur une des fonctions "sympathiques" du genre Bessel ou une intégrale elliptique, etc.
A+

[mtheory]

Bonjour, le problème à trois corps possède bien une solution analytique... sous la forme d'une série infinie lentement convergente. Autant dire que cette solution exacte est dans la pratique inutilisable...

???? ben non, ça a été explicitement démontré par Poincaré.

[mtheory]

???? ben non, ça a été explicitement démontré par Poincaré.

Hum...j'ai peut-être parlé trop vite

[invite2d8d5438]

Hum...j'ai peut-être parlé trop vite

Oui je pense.
On peut toujours formuler une itération qui revient à résoudre l'équation différentielle du mouvement par éléments finis, par exemple, et on obtiendra une somme infini, non ?
Je pense que ce que Poincaré à montré, c'est que le problème à 3 corps est non linéaire et que de ce fait on ne peut pas trouver de formule non itérative.

[mtheory]

Oui je pense.
On peut toujours formuler une itération qui revient à résoudre l'équation différentielle du mouvement par éléments finis, par exemple, et on obtiendra une somme infini, non ?
Je pense que ce que Poincaré à montré, c'est que le problème à 3 corps est non linéaire et que de ce fait on ne peut pas trouver de formule non itérative.

Ben je sais pas, j'ai toujours lu que le problème à 3 corps ne possédait pas de solution analytique générale, ce qui ne veut pas dire que dans certains cas une solution n'existe pas. Que l'on puisse faire du calcul numérique avec plus de 2 corps et une précision arbitraire pourvu que la précisions sur les conditions initiales et la puissance de calcul soient arbitrairement grandes n'entrait pas en contradiction avec ce que je croyais savoir. Mais Wikipédia semble dire qu'une solution analytique convergente a été trouvée depuis...1909, sous réserve de conditions initiales formant un ensemble de mesure nulle si j'ai compris. Je suis perplexe...

[invitec001a56c]

ok,?
donc en reprenant les calculs, faudrait intégrer: (p/(1+e*cos phi)²dphi = 2cdt. C'est possible pour un matheux???
Merci!

[mach3]

donc en reprenant les calculs, faudrait intégrer: (p/(1+e*cos phi)²dphi = 2cdt. C'est possible pour un matheux???

wolfram alpha me sort comme primitive pour p=1 et e=1 (impossible de lui faire cracher le morceau sinon, je ne sais pas comment lui faire comprendre qui p et e sont des constantes...), pour p=2 et e=1, par contre ça devient un cauchemar sans nom pour e différent de 1...

m@ch3

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Si, si, c'est faisable. Voir ici.
Je n'ai pas ajouté ni 'p' qui est une constante ni 'C1' qui en est une autre.
Ceci dit, le résultat, tout en étant analytique, n'est pas très sympathique.
Au revoir.

[mach3]

arf ben merci, j'avais pourtant essayé de mettre "int" mais il a jamais rien voulu savoir le méchant!! j'ai l'impression qu'il déconnait hier soir ceci dit, parce que je ne pouvais taper qu'une expression à la fois, il fallait que je quitte le site entre chaque saisie.

félicitation pour ta promotion au fait

m@ch3

[invitec001a56c]

ok pour le lien! Apparemment on ne peut pas isoler x dans cette expression: un paramétrage explicite r(t)=...théta(t)=... est-il encore possible ?
(je m'auto-cite:

paramétrer l'orbite d'un des deux corps en (r(t),théta(t))

à l'aide de

fonctions "sympathiques"

d'après LPFR).
Merci.

[invite6dffde4c]

Re.
Quand on regarde l'horreur donné par wolframalpha, ce semble mal parti. Déjà, coup de chance, on peut mettre 't' en fonction de phi. Je ne pense pas que ce petit miracle se reproduise pour 'r'.
Et si c'était faisable, on retrouverait l'expression dans tous les bouquins de physique.
Or, ils couvrent tous d'un voile pudique cet aspect du problème.
A+

[albanxiii]

Bonjour,

Dans le Landau de mécanique, il y a



C'est bien une équation implicite de en fonction du temps, mais si Landau ne va pas plus loin, c'est que ça n'est pas possible, ou en tout cas, qu'il ne juge pas cela utile.

Bonne soirée.

[invitec001a56c]

Ok.Tant pis alors!
Merci pour vos réponses!!