Problème à deux corps relativiste

[invitebdf515f4]

Bonjour amis physiciens.

Je m'intéresse au "Problème à deux corps relativiste". Il s'agit de l'étude des trajectoires de deux corps soumis à l'interaction gravitationnelle de Einstein (relativité générale). Le cas particulier d'un corps massif et d'un autre beaucoup plus léger m'intéresse en premier lieu.

Une recherche sur internet permet de trouver très rapidement ce genre d'étude dans le cadre de la mécanique classique. On y apprend alors que les trajectoires peuvent être élliptiques, hyperboliques ou paraboliques. On trouve de beaux dessins et même des animations.

Mais, je désespère de trouver une description des trajectoires d'un système à deux corps dans le cadre de la relativité générale. Même pour le cas simplifié d'un corps massif et d'un autre léger.

Est-ce si compliqué que même le cas simplifié ne peut pas être décrit simplement ?
Ou alors, ai-je simplement mal cherché ?
Y a t-il sur la toile des infos accessibles à un novice sur le sujet ?
Merci d'avance.
-----

[invite88ef51f0]

Salut,
Tu peux chercher du côté du calcul de la précession du périhélie de Mercure. C'est quelque chose de très courant en relativité générale et ça devrait répondre un peu à ta question.

[invitebdf515f4]

Je cherche une sorte de "bestiaire" décrivant les différentes trajectoires possibles en fonction de la vitesse et de l'angle d'incidence. Mercure n'est qu'un exemple ... mais c'est déjà ça.

Je serais surpris que personne n'ai fait ce "recencement" jusqu'à présent !
Et il n'y a aucune chance que je me lance dans des calculs de relativité générale ...

[invitebdf515f4]

Bonjour aux physiciens ... et aux autres.

Il semble que le problème à 2 corps, même dans sa version simplifiée ou l'un des deux corps est de masse très faible devant l'autre, soit très peu étudié dans le cadre de la relativité générale.

En tout cas, je n'ai trouvé aucune étude de ce problème sur le Web et je commence à désespérer que quelqu'un me donne des infos sur le sujet.

A part l'orbite de Mercure qui a été étudiée sous toutes ses coutures, je n'ai trouvé aucune approche globale de ce problème.

Quelle peut-être la raison ?
Serait-ce un problème sans intérêt ?
Peut-être s'agit-il d'un problème très complexe, quasi-insoluble ?
Les solutions ont elles la malchance d'être plus ou moins chaotiques ?

Bref, je m'interroge ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[triall]

Bonsoir , il y a eu ici des posts sur le pb à 2 corps classique, et ce n'est déjà pas de la tarte, il y a eu une équation différentielle apparemment résolue, dans le simple cadre d'une chute d'un corps sur l'autre juste avec vitesse radiale.

N'est-il pas possible facilement de mettre "simplement" un temps de retard à la propagation de la force de gravité Newtonnienne ?
Cordialement

[invite80fcb52e]

http://www.luth.obspm.fr/~luthier/go...er/relatM2.pdf

Chapitre 3.5... Bonne lecture!!

[invite60be3959]

Il y a aussi ça : Kepler_problem_in_general_rela tivity.

L'esprit est grosso modo le même que pour le problème de Kepler en mécanique classique, sauf que la métrique est celle de Schwarzschild, et l'équation d'évolution celle des géodésiques.

[triall]

Non, mais cela ne va pas du tout ,Gloubiscrapule, et Vaincent d'accord pour le lien pour ceux qui veulent avoir des infos très élargies (mais pas forcément justes) .
L'intérêt de ce forum, c'est que l'on nous donne des références réduites et précises, vous nous auriez indiqué la page à lire et non les chapitres, soit !
Un résumé de votre part ,aurait été le bienvenu; et aurait démontré que vous maîtrisez le sujet .(ce que je ne prétends pas personellement)
Essayons de retrouver l'équation de chute de 2 corps ,(même chute radiale plus simple) elle est sur ce site, je l'ai vue ; et comme je le disais, ajouter "simplement " un décalage de temps de propagation de la gravité, cela ne doit pas être très très compliqué ! Cela me semblerait être déja une bonne approximation d 'une approche relativiste de l'attraction newtonienne
Cordialement

[invite60be3959]

C'est vrai vous avez raison triall, mais à la fois ça se complique très vite ! Il faut déjà très bien connaître le problème de Kepler en mécanique classique(y'a plus simple !). Après pour apporter des corrections relativistes, on peut commencer avec la relativité restreinte. La loi de la dynamique relativiste est (généralisation de la 2nd loi de Newton) :



où est la quadriforce. La composante spatiale de cette force est la force de gravitation(dans le cas qui nous intéresse) et on peut montrer que . Cette dernière formule montre que les forces dépendent toujours de la vitesse en relativité restreinte, contrairement au cas newtonien, ce qui ne simplifie pas le problème !

Puisque le mieux pour aborder les choses est de résoudre le problème "à la classique" en résolvant l'équation de la même façon que dans sa version newtonienne mais en exprimant le développement limité de au 1er ordre en v/c, pour obtenir une première correction relativiste. C'est déjà sympa, mais ça se fait !

[mariposa]

Bonjour amis physiciens.

Je m'intéresse au "Problème à deux corps relativiste". Il s'agit de l'étude des trajectoires de deux corps soumis à l'interaction gravitationnelle de Einstein (relativité générale). Le cas particulier d'un corps massif et d'un autre beaucoup plus léger m'intéresse en premier lieu.

Une recherche sur internet permet de trouver très rapidement ce genre d'étude dans le cadre de la mécanique classique. On y apprend alors que les trajectoires peuvent être élliptiques, hyperboliques ou paraboliques. On trouve de beaux dessins et même des animations.

Mais, je désespère de trouver une description des trajectoires d'un système à deux corps dans le cadre de la relativité générale. Même pour le cas simplifié d'un corps massif et d'un autre léger.

Est-ce si compliqué que même le cas simplifié ne peut pas être décrit simplement ?
Ou alors, ai-je simplement mal cherché ?
Y a t-il sur la toile des infos accessibles à un novice sur le sujet ?
Merci d'avance.

Bonjour,

Le lien que t'as donné Vincent répond parfaitement, à mon avis, à ta question. La seule restriction est que le corps de masse M n'a pas de moment cinétique.

[mariposa]

Bonjour,

Le lien que t'as donné Vincent répond parfaitement, à mon avis, à ta question. La seule restriction est que le corps de M n'a pas de moment cinétique.

[invitebdf515f4]

Bonjour,

Merci pour les liens, je vais essayer de lire cela attentivement. Après un premier parcours, je trouve qu'il y a beaucoup d'équations (c'est pas mon fort) et peu de dessins de trajectoire. Le seul dessin de trajectoire dans ces deux documents, c'est, comme par hasard, le dessin d'une orbite "à la mercure", montrant l'avance du périastre.

Aucune autre représentation graphique d'une orbite !

Pour les orbites circulaires ou quasi-éliptiques, je comprends, je n'ai pas besoin qu'on me fasse un dessin. Mais, pour les autres orbites originales, je trouve qu'un dessin vaut mieux qu'une explication ou qu'une équation différentielle.

Je vais essayer de faire un dessin moi-même à partir des informations trouvées dans ces documents. J'espère qu'il n'est pas nécessaire de résoudre des équations différentielles, car là, je vais coincer !

Merci néanmoins, car je n'avais même pas réussi à trouver ça pour le moment.

[invite60be3959]

J'espère qu'il n'est pas nécessaire de résoudre des équations différentielles, car là, je vais coincer !

As-tu déjà résolu le problème de Kepler en mécanique classique ? C'est un prérequis absolument nécessaire avant d'aborder la suite (et les maths qui vont avec)

[mariposa]

Bonjour,

Merci pour les liens, je vais essayer de lire cela attentivement. Après un premier parcours, je trouve qu'il y a beaucoup d'équations (c'est pas mon fort) et peu de dessins de trajectoire. Le seul dessin de trajectoire dans ces deux documents, c'est, comme par hasard, le dessin d'une orbite "à la mercure", montrant l'avance du périastre.

Aucune autre représentation graphique d'une orbite !

Pour les orbites circulaires ou quasi-éliptiques, je comprends, je n'ai pas besoin qu'on me fasse un dessin. Mais, pour les autres orbites originales, je trouve qu'un dessin vaut mieux qu'une explication ou qu'une équation différentielle.

Je vais essayer de faire un dessin moi-même à partir des informations trouvées dans ces documents. J'espère qu'il n'est pas nécessaire de résoudre des équations différentielles, car là, je vais coincer !

Merci néanmoins, car je n'avais même pas réussi à trouver ça pour le moment.

Bonjour,

Petites suggestions..

il n'est pas nécessaire que tu suives en détails les calculs, ce qui est important est pourquoi on fait ceci ou cela.

Exemple:

Quand il y a une intégrale, peu importe le calcul du résultat, seul compte le pourquoi de l'intégrale. Pour un lire un tel article il faut avoir une lecture active qui pratiquement consiste à intégrer par soi-même des commentaires écrits dans un langage vernaculaire.

Pour comprendre cette démonstration il y a je pense 2 pré-requis:

1- Le problème de Kléper En MC qui comprend l'énoncé et la solution du problème.

2- La compréhension générale de la RG qui nécessite pas que l'on soit un as du calcul.

Tout çà pour dire que ce n'est pas la technique mathématique qui est importante en physique, mais les concepts la physique.

[ordage]

Bonjour amis physiciens.

Je m'intéresse au "Problème à deux corps relativiste". Il s'agit de l'étude des trajectoires de deux corps soumis à l'interaction gravitationnelle de Einstein (relativité générale). Le cas particulier d'un corps massif et d'un autre beaucoup plus léger m'intéresse en premier lieu.

.

Salut
En RG, il y a quelques solutions analytiques pour le problème à un corps (Schwarzschild, Reisner-Nordtrom, Kerr, Kerr-Newmann).
Le deuxième corps joue le rôle de particule de test, mais ne génère pas de champ, il subit juste le champ du corps que tu appelles principal.
Pour le problème à deux corps en RG, à ma connaissance il n'existe pas de solution analytique (ce qui ne veut pas dire qu'il n'y a pas de solution, il existe d'autres méthodes pour résoudre ce problème).

Pour le problème à une infinité de corps en RG, il existe quelques solutions analytiques pour certaines configurations de symétrie élevée (Solutions cosmologiques + quelques curiosités).

Pour ce qui est des orbites autour d'un corps central, il y a des différences avec la mécanique classique par exemple:

Il existe des orbites circulaires autour d'un corps à symétrie sphérique (Schwarzschild, Reisner -Nordstrom) stables et instables mais les orbites stables n'existent plus en dessous d'une certaine valeur du rayon de l'orbite, les orbites instables en dessous d'une autre valeur plus petite.

Les orbites elliptiques ne se referment pas.
Pour les hyperboliques, il doit y avoir aussi une différence.

Si on s'intéresse à un corps central animé d'une rotation( Kerr, Kerr-Newmann), alors il existe des orbites très bizarres.

Voir quelques exemples dans les diapos 26-28 de :

http://www-cosmosaf.iap.fr/TN_Kerr_JF_20_09_08.pdf

Cordialement

[mariposa]

http://www-cosmosaf.iap.fr/TN_Kerr_JF_20_09_08.pdf

Cordialement

Superbes ces transparents. J'essaierais d'en faire bon usage.

merci.

[invitebdf515f4]

Il me semble que le cas d'un trou noir en rotation est déjà un cas très compliqué. J'essaie plutôt de m'intéresser au cas le plus simple possible. Je me dis qu'en prenant deux corps massifs, dont un est beaucoup plus massif que l'autre et sans rotation, il doit être possible de "catégoriser" les différentes trajectoires possibles.

Pour le moment, j'ai vu qu'il y a des trajectoires circulaires, des elliptiques qui sont la limite de trajectoires "quasi-eliptiques" mais avec "avance du périastre".

N'y a t-il pas d'autres trajectoires, comme par exemple (au pif) :

- Trajectoire venant de l'infini et retournant à l'infini, mais pas dans la même direction. Voire même, retour à l'infini après avoir fait plusieurs tours de l'astre massif.

- Trajectoire venant de l'infini et se terminant en rotation stable autour de l'astre massif (capture).

- Trajectoire venant de l'infini et tombant sur l'astre "en spirale".

... ou d'autres que je n'imagine pas !

Bon, faut que je lise ces documents pour voir s'y j'arrive à en tirer quelque chose.