Trou noir : géométrie et formules

[Mailou75]

Bonsoir,

Dans le cadre d'une recherche personnelle j'aimerais faire le point sur quelques questions concernant la perception aux alentours d'un trou noir. J'avais créé un fil qui n'a pas porté ses fruits alors je retente ma chance, quelques petits schémas à l'appui, pour essayer de clarifier et dissocier les questions que soulève le sujet.

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Figure 1 :

On désigne par (z+1)r la valeur du redshift avec lequel l'observateur éloigné perçoit un immobile en r. On s’intéresse "théoriquement" à de petits carrés infinitésimaux le long d'une radiale, la verticale représente le temps, plus un volume est haut plus le carré est redshifté. J'ai la quasi certitude que l'observateur éloigné voit les immobiles compressés radialement du facteur inverse 1/(z+1)r. J'étais jusqu'ici convaincu qu'il n'y avait pas de compression orthoradiale, mais une récente réflexion me fait fortement douter... je pense aujourd'hui qu'il les voit aussi compressé orthoradialement du même facteur. Vrai ou faux ? NB: conséquence, l'affirmation comme quoi la surface d'un paraboloïde de Flamm a partout la dimension de l'espace local devient fausse, ce n'est vrai que radialement.

Figure 2 :

C'est de la RR, l'aberration. Si un observateur fixe (centre du cercle) voit un cercle alors un voyageur en mouvement passant au même endroit verra un ellipse. Ainsi, quand le fixe voit un étoile sur sa droite, celui en mouvement la voit projetée vers l'avant. Si on repasse chez Schwarzschild et que l'on arrive à définir ce que voit un immobile (équivalent du cercle), peut-on par le même principe transformer l'image vue par un immobile en celle vue par un voyageur en chute libre ? Justifier la réponse en quelque lignes.

Figure 3 :

Schwarzschild en 2D+t. Dans le plan (r;t) on est en 1D, je connais la formule d'une géodésique nulle (en bleu) en ce qu'en voit par projection l'observateur éloigné, une droite (pointillé bleu). Quelqu'un connait-il la formule d'une géodésique nulle en 2D+t, la rose ? (Il parait qu'il n'y a pas de solution analytique, j'accepte toute solution alternative, même très galère, pouvant donner un résultat précis).

Figure 4 :

La projection de la géodésique nulle dans le plan horizontal montre la trajectoire spatiale 2D de la lumière (en rose). (Si la Fig3 n'a pas obtenu de formule merci d'en proposer une pour la courbe 2D, ou pour vérification).
L'observateur interprètera visuellement tout les lieux situés sur la courbe comme le long d'une droite (pointillé rose) tangente à la courbe au point de réception, l'oeil. Si on prend un point précis sur la courbe, comme l'étoile, comment reporter sa position le long de la droite pointillée, cad comment quantifier la distance notée d pour fabriquer l'image de ce que verra l'observateur immobile ? NB : Si on devrait se placer dans le repère d'un observateur en r, l'ensemble du dessin serait zommé, compris d, de (z+1)r, pour avoir des mètres locaux.

......

Si ces questions obtiennent toutes une réponse, je ne reviendrai pas vous embêter avant un moment...
Merci d'avance aux courageux qui s'y colleront

Mailou
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[Mailou75]

Salut,

Je réponds sur ce fil, d'une part pour qu'il ne reste pas sans réponse, ce serait triste... et d'autre part pour alléger le fil de Zef, les sujets étant très similaires

qui n'a pas de solution analytique, afaik

faut l'utiliser couplée avec la relation entre b (qui est une constante) et dPhi/dt

J'ai regardé un peu comment ces formules, qui répondent à la figure 3, réagissent dans Excel et j'ai pas mal d'affirmations/interrogations, tu me corrigeras stp :

- Les formules décrivent la trajectoire d'un photon qui part de Ro et arrive en r

- Toutes les valeurs de t, r et ϕ sont celles d'un repère de Schwarzschild pour l'observateur éloigné

- Pour chaque incrémentation de temps dt, la trajectoire va se déplacer de dr radialement et r.dϕ orthoradialement OU... le point suivant sera situé sur un cercle de rayon r+dr et sur une radiale ϕ+dϕ. Quelle construction géométrique serait la plus fidèle ?

- L'angle de départ du photon en Ro est toujours perpendiculaire à la radiale (implicite dans la formule)

- Peut-on choisir un Ro qui soit en dessous de 1,5.Rs, soit Ro ∈ ]Rs ; ∞[ ?

- Vu que j'ai un petit soucis avec les résultats, qui sont "logiques" mais non conformes à ce que j'attendais, est-il possible que dt représente en fait l'écoulement du temps local cad ? Sinon j'obtiens que la lumière ne va pas à la vitesse coordonnée attendue (Shapiro), enfin j'aurais été d'accord avec ce résultat il y a peu mais je ne le suis plus pour cause d'une "logique" tout aussi solide... bref, ce point n'est pas le plus simple à solutionner. Une question qui parait bête mais qui peut aider : en vitesse coordonnée dans Schwarzchild, la vitesse de la lumière est elle la même radialement et orthoradialement ?

- Pour un point de départ à Rs+ε on connait la formule pour une radiale et pour un tir à 90° de la radiale (tes formules). Pourtant il existe tout une gamme d'angle de tir entre les deux. Il existe aussi des photons qui sont réceptionnés " jusqu'à 180°" à une coordonnée Rs+ε, qui sont partis du TN et ont fait demi tour. Existe-t-il une formule plus générale qui prenne en compte compte toutes ces trajectoires ? (bonus, mais nécessaire pour décrire ce qui sera vu entre l'observateur et le TN)

- Existe-il une formule pour les géodésiques non nulles (genre temps) et tous les angles de départ ? (bonus extra)

C'est l'effet Shapiro.

- T est elle la dimension verticale d'un demi aller-retour entre Ro et r dans le repère de l'observateur en r ? (cad où t est le temps de l'observateur à l'infini) Je n'ai pas encore vérifié si cette description est logique.

Merci d'avance

Mailou

[jacknicklaus]

Réponses dans le texte :

- Les formules décrivent la trajectoire d'un photon qui part de Ro et arrive en r
correct

- Toutes les valeurs de t, r et ϕ sont celles d'un repère de Schwarzschild pour l'observateur éloigné
correct.

- Pour chaque incrémentation de temps dt, la trajectoire va se déplacer de dr radialement et r.dϕ orthoradialement OU... le point suivant sera situé sur un cercle de rayon r+dr et sur une radiale ϕ+dϕ. Quelle construction géométrique serait la plus fidèle ?
le point suivant sera situé sur un cercle de rayon r+dr et sur une radiale ϕ+dϕ

- L'angle de départ du photon en Ro est toujours perpendiculaire à la radiale (implicite dans la formule)
non, parallèle. voir le schéma de Zefram dans son post, qui est correct.

- Peut-on choisir un Ro qui soit en dessous de 1,5.Rs, soit Ro ∈ ]Rs ; ∞[ ?
correct

- Vu que j'ai un petit soucis avec les résultats, qui sont "logiques" mais non conformes à ce que j'attendais, est-il possible que dt représente en fait l'écoulement du temps local cad
non. dt est la coordonnée temporelle de Schwarzschild, ce n'est pas le dtau de temps propre.

Sinon j'obtiens que la lumière ne va pas à la vitesse coordonnée attendue (Shapiro), enfin j'aurais été d'accord avec ce résultat il y a peu mais je ne le suis plus pour cause d'une "logique" tout aussi solide... bref, ce point n'est pas le plus simple à solutionner. Une question qui parait bête mais qui peut aider : en vitesse coordonnée dans Schwarzchild, la vitesse de la lumière est elle la même radialement et orthoradialement ?
ben la vitesse de la lumière est constante dans tout référentiel. non ?

- Pour un point de départ à Rs+ε on connait la formule pour une radiale et pour un tir à 90° de la radiale (tes formules). Pourtant il existe tout une gamme d'angle de tir entre les deux. Il existe aussi des photons qui sont réceptionnés " jusqu'à 180°" à une coordonnée Rs+ε, qui sont partis du TN et ont fait demi tour. Existe-t-il une formule plus générale qui prenne en compte compte toutes ces trajectoires ? (bonus, mais nécessaire pour décrire ce qui sera vu entre l'observateur et le TN)
je ne ne comprends pas. les calculs indiqués n'on rien à voir avec un tir à 90°. ces calculs donnent simplement, en fonction de r, l'angle limite qui détermine si le photon est capturé ou pas par le TN. C'est à dire l'écart angulaire occupé par le TN vu par un chuteur à la coordonnée r. C'est à dire comment le chuteur voit le TN.

- Existe-il une formule pour les géodésiques non nulles (genre temps) et tous les angles de départ ? (bonus extra)
oui. Exactement les mêmes calculs sauf qu'on fait U.U = 1 à la place de U.U = 0.


- T est elle la dimension verticale d'un demi aller-retour entre Ro et r dans le repère de l'observateur en r ? (cad où t est le temps de l'observateur à l'infini) Je n'ai pas encore vérifié si cette description est logique.
non. imagine une source (par exemple Venus), un objet massif (le soleil). On est dans le référentiel du Soleil, coordoonnées de Schwarzshild. Alors T est le temps mis par le rayon pour faire Venus -> point le plus proche du Soleil , avec rayon de moindre approche Soleil = r0. (nota, par commodité, le calcul est celui d'un rayon faisant le sens inverse, ce qui ne change pas le temps T). En pratique, on mesure l'effet plutôt avec un trajet Venus -> Soleil (R0 à moindre approche) -> Terre. On calcule séparément et on ajoute les T des 2 trajets Venus-> Soleil et Soleil -> Terre. Numériquement, avec un r0 = R soleil (on passe au ras) = 6.96 10⁵km on trouve que le correctif RG (par rapport au calcul Newtonien) donne un Delta T = 38 km = 126 µs. Dans son article original, Shapiro effectue un calcul basé sur un echo radar (Terre ->Soleil -> Venus et retour Terre), donc toutes les distances sont doublées, et il donne un correctif de 60 km. On est donc pas trop mal cohérent avec un calcul grossier basé sur un DL au 1er ordre

[Mailou75]

Salut et merci pour tes réponses,

L'angle de départ du photon en Ro est toujours perpendiculaire à la radiale (implicite dans la formule)
non, parallèle. voir le schéma de Zefram dans son post, qui est correct.

Justement il est perpendiculaire à la radiale en Ro (émission) et tend à être parallèle quand r (réception) est grand.
Tout dépend dans quel sens on lit la géodésique.

Peut-on choisir un Ro qui soit en dessous de 1,5.Rs, soit Ro ∈ ]Rs ; ∞[ ?
correct

J'ai regardé et en dessous de 1,5Rs il faut prendre "l'inverse" dans la racine pour que ça marche soit



sinon Excel n'est pas content, à première vue ça fonctionne.

Une question qui parait bête mais qui peut aider : en vitesse coordonnée dans Schwarzchild, la vitesse de la lumière est elle la même radialement et orthoradialement ?
ben la vitesse de la lumière est constante dans tout référentiel. non ?

Ben non justement chez Schwarzschild, radialement, elle va à c loin du TN mais elle va à ~0 en Rs.
En fait elle va à c/(z+1)^2 si (z+1)=1/rac(1-Rs/r) en vitesse coordonnée, a priori et c'est l'effet Shapiro.
La question est : doit on utiliser la même valeur pour un déplacement orthoradial ? Si la réponse est oui alors j'ai un problème car les formules ne donnent que c/(z+1) (logique mais insuffisant à mon gout, il manque le carré).

je ne ne comprends pas. les calculs indiqués n'on rien à voir avec un tir à 90°. ces calculs donnent simplement, en fonction de r, l'angle limite qui détermine si le photon est capturé ou pas par le TN. C'est à dire l'écart angulaire occupé par le TN vu par un chuteur à la coordonnée r. C'est à dire comment le chuteur voit le TN.

Si je prends par exemple Ro=1,5 et r=1,50..01 j'obtiens une valeur de dr/dt~0 et une valeur dϕ/dt=X (X~c/(z+1) en fait) ce qui veut dire qu'au départ de la trajectoire le déplacement radial est toujours nul mais il existe un déplacement orthoradial, à 90° donc.

Qu'est ce que tu entends par "capturé" ? J'ai l'impression qu'au delà de la radiale il existe une symétrie et qu'aucun de ces photons ne tombe dans le TN.

Ce que je voulais dire c'est que si je veux faire partir un photon depuis Rs+ε avec un angle de 45° par exemple, la formule ne marche pas a priori. Ou sinon je n'ai pas bien compris comment elle s'utilise, c'est un peu le but de mes questions...

Existe-il une formule pour les géodésiques non nulles (genre temps) et tous les angles de départ ?
oui. Exactement les mêmes calculs sauf qu'on fait U.U = 1 à la place de U.U = 0.

Pourrait on en avoir un peu plus stp ? ça ne me dis rien comme ça

non. imagine une source (par exemple Venus), un objet massif (le soleil) (...)

Je ne pourrais jamais vérifier cet exemple graphiquement, le rapport 30km / 150 millions de km est dissuasif. Laissons cette question de coté pour l'instant, quand on en sera à mesurer l'intervalle vertical en 2D +t ça sera une blague de changer de repère pour vérifier à quoi correspond T.

Merci pour ton aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Ce fut court, mais bref... merci