univers torique

[minushabens]

bonjour à tous,

il semble que certains aient proposé un modèle torique de l'univers (le tore T3). Est-ce que quelqu'un sait comment on calcule le champ de gravité dans T3? (où il n'y a pas unicité du chemin le plus court entre deux points)
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[Deedee81]

Salut,

il semble que certains aient proposé un modèle torique de l'univers (le tore T3). Est-ce que quelqu'un sait comment on calcule le champ de gravité dans T3? (où il n'y a pas unicité du chemin le plus court entre deux points)

De la même manière que dans n'importe quel cas On n'utilise pas le fait qu'il y ait unicité des géodésiques (ça existe dans certains traitements mais pas là).

On a l'équation d'Einstein :


G est le tenseur d'Einstein (combinaison du tenseur de Ricci et du tenseur de courbure scalaire), kappa c'est 8 pi G / c^4 (ici G est la constante de gravitation) et on peut ajouter un terme de constante cosmologique.

Le tenseur de courbure n'est pas entièrement défini par cette équation car le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel a 20 composantes indépendantes et celui d'Einstein (ou de Ricci) en a 10. Mais on peut retrouver toutes les composantes avec :
- des conditions initiales/aux limites donnant la courbure en ces endroits ainsi que le tenseur d'énergie-impulsion
- l'équation des géodésiques pour l'évolution de la matière et une équation d'état => ce qui donne le tenseur T en tout événement

Généralement traité numériquement sinon dans des cas simples à la main (beaucoup de symétrie, un cas classique étant un univers isotrope et homogène)

Le fait que l'univers soit torique donne une contrainte sur les conditions au limites. Par contre l'équation ne permet de trouver quelle structure toplogique devrait s'appliquer, c'est un résultat non déterminé par la relativité générale, tout ce qu'on peut faire est un choix et l'utiliser dans le calcul. A noter que quel que choix les cas, si on fixe les conditions sur une surface de Cauchy, la solution existe et est unique (équations différentielles dites hyperboliques, les plus gentilles :
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...s_hyperbolique
https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Cauchy
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_surface
)

La partir soulignée répond à ta question.

[minushabens]

merci pour ta réponse. Elle est néanmoins un peu trop compliquée pour moi. Si je ne peux pas l'éviter je me renseignerai sur cette équation d'Einstein mais peut-être qu'il existe une réponse plus simple.

en fait je considère deux particules p1 et p2 dans cet espace et je voudrais connaître la force exercée sur p2 par p1.

Dans l'espace euclidien cette force est proportionnelle au vecteur p1-p2 et sa norme est (si je ne me trompe pas) m1m2/||p1-p2||^2, si m1 et m2 sont les masses de p1 et p2.

Dans le tore je suppose que la force est proportionnelle à un vecteur tangent à la géodésique (?) sauf que si on a plusieurs géodésiques ça fait plusieurs vecteurs tangents....

La même chose est vraie sur la sphère d'ailleurs. Exist-t-il un moyen de s'en sortir sans faire intervenir l'équation d'Einstein ? (que je ne connais pas du tout).

[Deedee81]

La seule chose à faire ici est de considérer un univers totalement vide sauf les deux particules (sinon la variété peut être quelconque et comment parler d'une force entre p1 et p2 s'il y a pleins d'autres trucs dans le chemin).

Pour simplifier supposons l'espace-temps de Minkowski dans toute région finie et les deux particules comme particules test (n'influençant pas de manière notable la géométrie, si ce n'est pour leur attraction mutuelle).

Reste à trouver toutes les trajectoires (droite) reliant p1 à p2 et déjà ça c'est pas simple (il y a une quantité infinie non dénombrable de telles trajectoires).
Puis à faire une jolie intégrale sur les forces correspondantes.

Joie et bonheur !!!! Pour calculer ça, bonjour. Et on est dans un cas TRES simple.

Mais il y a encore plus simple : si l'espace est torique selon une direction mais infini selon les deux autres (un peu comme un condensateur plan infini ). Alors il n'y a que deux trajectoires possibles. Si la taille de l'univers (selon cette direction) est D et la distance entre les deux particules d, alignées perpendiculairement au "plan" de coupe du tore. Là j'ai vraiment choisi le simple, alors on aura une force en 1/d² et une force opposée en 1/(D-d). La c'est simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

ce que tu es en train de me dire c'est que si dans cet univers on a 3 particules p1, p2 et p3, pour calculer la force de gravité s'exerçant sur p3 on ne peut pas simplement faire la somme des forces dues à p1 et p2, c'est bien ça? ça ne m'arrange pas du tout.

[Deedee81]

ce que tu es en train de me dire c'est que si dans cet univers on a 3 particules p1, p2 et p3, pour calculer la force de gravité s'exerçant sur p3 on ne peut pas simplement faire la somme des forces dues à p1 et p2, c'est bien ça? ça ne m'arrange pas du tout.

Heu si, j'ai pas dit le contraire. J'ai juste dit que le calcul pouvait être super compliqué, c'est tout (à cause du nombre de trajectoires possibles)

[jacknicklaus]

en fait je considère deux particules p1 et p2 dans cet espace et je voudrais connaître la force exercée sur p2 par p1.

En fait, il faut choisir. L'approche Newton, par les forces et le pfd; ou la relativité générale, qui fait disparaître le concept de force gravitationnelle au profit de géodésiques en espace courbe.

SI tu tiens au concept de force, tu dois rester avec Sir Newton. Mais j'ai bien peur qu'aucune généralisation du pfd en topologie torique n'ai été faite. En tous cas, jamais entendu parler.
Si tu souhaite rester avec Herr Einstein, cf réponse de Deedee, mais oublie les forces.

[minushabens]

c'est exactement ça: je voudrais faire du Newton torique. Mais c'est peut-être impossible. En tout cas je suis tombé sur une difficulté. Je vais essayer d'imaginer une solution.

[Deedee81]

c'est exactement ça: je voudrais faire du Newton torique. Mais c'est peut-être impossible. En tout cas je suis tombé sur une difficulté. Je vais essayer d'imaginer une solution.

Déjà une chose me chiffonne. La trajectoire p1 - p2 directe, il y en a une. Mais les trajectoires indirectes (en faisant le tour) il y en a une infinité : est-ce que ça converge pour le calcul ? Doit-on tenir compte d'une "densité de trajectoires" ???? Qu'est-ce que ça implique ? Que c'est "répulsif" ? En tout cas c'est une étrange situation
Je déplace en discussion libre, on pourra mieux y mettre nos idées.

[minushabens]

il y a beaucoup de trajectoires possibles. Certaines ne peuvent pas être raccourcies tout en restant dans le tore, mais ne sont pas pour autant de longueur minimale. Je ne pense pas qu'il y ait une infinité de trajectoires de longueur minimale, sauf configuration bien particulière des particules.

[minushabens]

en fait le mieux est que j'explique mon projet: je veux simuler les mouvements d'un ensemble de particules soumises à la gravité. Ces particules sont censées être tirées au hasard dans "tout l'univers" mais sur un ordinateur tout est fini, donc je pensais simuler un univers torique pour me simplifier la vie. En pratique ça revient à considérer l'univers comme un cube dans lequel on identifie les faces de chaque paire de faces opposées. Du coup pour calculer la force de gravité entre 2 points, on peut considérer le segment entre les 2 points dans le cube, mais on peut aussi sortir par une face et réentrer par la face opposée, et cela pour chaque paire de faces. Ca ne fait jamais que 4 chemins (car je ne veux pas faire plusieurs fois le tour du tore). Mais peut-être que cette idée est trop naïve (sans-doute). Je me demandais si l'influence de la gravité devait être calculée d'une manière ou d'une autre, ou en moyennant selon tous ces chemins.

[0577]

Bonjour,

Mais il y a encore plus simple : si l'espace est torique selon une direction mais infini selon les deux autres (un peu comme un condensateur plan infini ). Alors il n'y a que deux trajectoires possibles.

Il me semble qu'il y en a une infinité (le groupe fondamental du cercle est Z).

Mais les trajectoires indirectes (en faisant le tour) il y en a une infinité : est-ce que ça converge pour le calcul ? Doit-on tenir compte d'une "densité de trajectoires" ???? Qu'est-ce que ça implique ? Que c'est "répulsif" ? En tout cas c'est une étrange situation

Si l'on compactifie seulement une partie des dimensions, avec au moins 3 dimensions non-compactes restantes, alors tout converge. Si on a 2, 1, ou 0 directions non-compactes restantes, on va avoir des divergences (liées au fait qu'en dimension 1 et 2, le "potentiel de Coulomb" croît à l'infini). En particulier, si l'on compactifie l'espace tout entier, alors on obtient des divergences. Ce n'est en soit pas si surprenant. Une manière de formuler la gravitation newtonienne sur une variété riemannienne arbitraire est d'utiliser l'équation de Poisson (laplacien du potentiel égal à la densité de masse). Mais par le théorème de Stokes (=loi de Gauss), sur une variété compacte (et sans bord), l'équation de Poisson ne peut avoir de solution que si la masse totale est nulle. Si l'on ne considère que des masses positives, il n'y a donc pas de solution non-triviale à l'équation de Poisson sur une variété compacte.

[minushabens]

bon, 0577 m'a tuer... je vais cogiter et essayer de trouver une autre approche. Merci à tous.

[Deedee81]

Salut,

Si l'on compactifie seulement une partie des dimensions, avec au moins 3 dimensions non-compactes restantes, alors tout converge. Si on a 2, 1, ou 0 directions non-compactes restantes, on va avoir des divergences (liées au fait qu'en dimension 1 et 2, le "potentiel de Coulomb" croît à l'infini). En particulier, si l'on compactifie l'espace tout entier, alors on obtient des divergences. Ce n'est en soit pas si surprenant. Une manière de formuler la gravitation newtonienne sur une variété riemannienne arbitraire est d'utiliser l'équation de Poisson (laplacien du potentiel égal à la densité de masse). Mais par le théorème de Stokes (=loi de Gauss), sur une variété compacte (et sans bord), l'équation de Poisson ne peut avoir de solution que si la masse totale est nulle. Si l'on ne considère que des masses positives, il n'y a donc pas de solution non-triviale à l'équation de Poisson sur une variété compacte.

C'est vraiment bien vu. Merci pour la réponse. Ca reste assez troublant. Mais ceci dit la gravité newtonienne n'étant qu'une approximation ce n'est peut-être pas si étonnant qu'on rencontre ce genre de difficulté.

[ThM55]

Je supprime, c'est une redite d'un commentaire précédent que je n'avais pas lu.