Parallèle entre Rindler et Kruskal

[Mailou75]

Bonsoir,

Il m'est venu un soir une réflexion intéressante sur le parallèle existant entre les trajectoires d'accélérées de Rindler en coordonnées de Minkowski et celles d'immobiles en coordonnées de Krukal. On sait que dans les deux cas il s'agit d'hyperboles, asymptotiques aux horizons respectifs de Rindler et du trou noir.

Voici le sujet : je me suis dit que l'angle hyperbolique entre les trajectoires d'émission et de réception était équivalent dans les deux cas pour justifier du shift (Doppler ou Einstein selon le cas)

Mais voilà le fruit de l'étude, ce n'est pas le cas. Dans un premier temps on peut comparer les angles, simplement et on trouve que c'est faux : l'angle déterminé dans un repère de Kruskal comparé à un angle entre deux trajectoires en RR donnent des shifts différents, pas très éloignés (10% d'erreur) mais suffisamment pour juger que c'est faux. Dans un deuxième temps on peut calculer la vitesse relative qu'acquiert un accéléré en RR s'il subit l'accélération propre d'un immobile en RG, pendant la durée propre qu'on connaît entre l'émission et la réception du signal : cette fois on est loin du compte (80% d'erreur).

Le bilan après réflexion est que le shift perçu entre deux altitudes différentes en RG n'a rien à voir avec ce qu'il se passe (accélération propre) entre l'émission et la réception du signal. En gros, le découpage d'une hyperbole en intervalles de temps propre chez Kruskal est "figé" et bien que similaire en apparence au "ralentissement du à la variation de vitesse relative" pour un accéléré de Rindler, ceci n'a rien à voir : le signal pourrait très bien avoir un déplacement instantané que le shift perçu serait exactement le même !

En résumé, la similitude qu'on prête à ces deux représentations (Rindler et Kruskal) en justifiant que les trajectoires hyperbolique représentent dans les deux cas celles d'accélérés (propres) et bien c'est n'importe quoi ! Krusal est simplement une représentation ad hoc de surfaces d'espace temps statiques permettant d'avoir des rayons lumineux à 45°. On peut lui trouver d'autres avantages mais en tout cas pas celui de représenter des accélérés comme on peut parfois l'entendre !

Fin de la réflexion, je ne m'attends pas tellement à obtenir des réponses mais si le sujet vous intéresse il est ouvert à la discussion

A+
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[Amanuensis]

J'ai du mal à tout "comprendre", c'est à dire à tout traduire dans des termes et concepts qui me soient familiers.

"angle hyperbolique entre les trajectoires d'émission et de réception" ?

J'essaye : soit un événement émission et un événement réception, chacun respectivement considéré comme appartenant à une ligne d'Univers. Celle-ci définit un qvecteur tangent en l'événement respectivement considéré, et l'angle en question serait entre ces deux qvecteurs.

Si c'est cela, il y a un problème immédiat : un angle entre qvecteurs n'est défini que si les deux qvecteurs appartiennent à un même espace vectoriel. Comme les événements sont distincts, leurs espaces vectoriels tangents sont distincts, et la définition de l'angle passe (implicitement ou pas) par un transport de l'un, l'autre ou les deux qvecteurs pour les "mettre" dans un même espace vectoriel.

Ce "transport" est totalement différent dans l'espace-temps de Minkowski et dans l'espace-temps de Schwarzschild complété. Normal alors qu'on ne puisse pas comparer les deux cas ! Ce serait ça le sujet, exprimé dans des termes que j'estime plus rigoureux, et qui me sont plus familiers ?

[mach3]

L'image analogique qui me vient immédiatement et qui peut aider à comprendre pourquoi ça ne marche pas, c'est la comparaison de figures géométriques (des "trapèzes" dont les bases sont des arcs de cercles de centre commun en particulier) dessinée sur un plan euclidien et sur une sphère.

Pas plus de temps à consacrer. Hélas.

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci pour vos réponses,

Celle-ci définit un qvecteur tangent en l'événement respectivement considéré, et l'angle en question serait entre ces deux qvecteurs.
(...)
Ce serait ça le sujet, exprimé dans des termes que j'estime plus rigoureux, et qui me sont plus familiers ?

Pas sûr de pouvoir approuver entièrement mais c'est peut être ça... si "qvecteur" = vecteur unitaire de temps propre ?

Pour essayer d'être plus clair : L’émetteur se trouve à t=0 à une coordonée r et quand le signal atteint une hyperbole à r'>r alors t>0 puisque la lumière met un certain temps à parcourir cette distance. L'idée était ensuite de mesurer l'angle formé entre une verticale et une tangente à l'hyperbole à l'évènement de réception, puis de supposer que cet angle est, comme en RR, une vitesse relative. Il se trouve que cette démache, qui était l'idée initiale, ne marche pas.

.....

Par contre je suis retourné voir les calculs de la seconde option et en fait ça marche très bien (sous une condition que j'essayerai d'exprimer).
Afin que nous parlions le même langage le plus simple est encore de vous donner le calcul

On prend un trou noir de masse solaire soit Rs=2954m

On calcule l'accélération Newtonnienne à 2,4Rs a=GM/r²=2,64.10¹²m/s²

On calcule le redshift gravitationnel à cette altitude (z+1)_2,4=1,31

On en déduit la valeur de l'accélération relativiste a*(z+1)=3,46.10¹²m/s²

Ensuite on décide d'émettre à r=1,9Rs pour lequel le redshift gravitationnel vaut (z+1)_1,9=1,45

Et on sait que le rapport des shifts est ce que perçoit l'observateur à 2,4Rs soit (z+1)_total=1,11 [ça c'est le chiffre qu'on cherche à obtenir]

Ensuite on évalue que la durée du trajet du photon est t~0,9Rs/c=8,86.10^-6s [je pourrais donner le calcul précis mais ç'est inutile]

Et on compare avec la rapidité qu’acquiert un accéléré à "a*(z+1)" pendant une durée "t" soit N=at/c

et par la relation RR le redshift d'éloignement équivalent z+1=e^(N)=1,11 !!! [yahou !!]

on peut donner la vitesse équivalente B=tanh(N)~0,1 [pas utile]

.....

Alors quelle est la condition pour que ça marche ? Que la formule de N ne soit pas "accélération propre subie pendant une durée propre" mais "accélération propre subie pendant une durée coordonnée" car comme vous l'aurez noté je n'ai pas écrit N=aT/c mais N=at/c ! En fait il y a juste un facteur (z+1)_réception qui se balade mais je dirais qu'à ce stade il y a anguille sous roche. Par acquis de conscience j'ai réitéré le calcul entre 1,4Rs et 1,9Rs et ça marche pareil [incide pour vous t~1,3 Rs/c]

Ce résultat rend la discussion tout à fait intéressante car il ne peut être balayé comme "coincidence". En fait on peut argumenter dans plusieurs sens l'origine du facteur (z+1) manquant, en fonction du temps local ou de la distance propre locale car à chaque fois c'est le même facteur qui est en jeu et "a*(z+1) en m/s²" n'est pas limpide pour définir les mètres et secondes de qui on est en train de parler. A mon sens la "relativisation" du a de Newton en a*(z+1) tient au facteur temps dont on entend beaucoup parler (ralentissement des horloges à proximité d'une masse) mais pas à la compression des distances à proximité d'une masse. Il ne reste qu'à intégrer le fait que les mètres locaux sont (z+1) fois plus grand que ce qu'il ne sont perçus à distance et notre accélération [a*(z+1)² maintenant] prend une tournure plus "locale" et peut être même plus "propre" par la même occasion. Et du coup on conserve la formule N=aT/c avec T temps propre !

.....

En résumé ce qui est fait est de supposer qu'entre l'émission et la réception, le récepteur a été accéléré pendant l'intervalle de temps et a ainsi "plié son espace temps" (angle hyperbolique de sa trajectoire) de façon à acquérir une "pseudo vitesse relative" en restant sur place, disons à r constant...

Tout ceci est-il entièrement logique et j'enfonce des portes ouvertes ou le calcul fourni donne une lecture intéressante du modèle de Schwarzschild ?

Merci d'avance pour votre intérêt

A+

Mailou

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Pas sûr de pouvoir approuver entièrement mais c'est peut être ça... si "qvecteur" = vecteur unitaire de temps propre ?

qvecteur, c'est juste mon abréviation pour "vecteur appartenant à un espace vectoriel tangent d'événement de l'espace-temps".

Si ma compréhension de la question est correcte, il n'est question que d'angle (hyperbolique) et donc il n'est pas nécessaire de restreindre à unitaire. Par contre, il s'agit de qvecteurs de genre temps, ce qui, j'imagine, est la même chose que "vecteur de temps propre".

Pour essayer d'être plus clair

Cela ne l'est pas pour moi. Ou plutôt, trop de travail à faire des hypothèses sur la signification des mots et symboles jusqu'à trouver ce qui est le plus vraisemblable. À première vue (scan rapide) cela semble compatible avec l'interprétation déjà proposée......

Par contre je suis retourné voir les calculs de la seconde option et en fait ça marche très bien (sous une condition que j'essayerai d'exprimer).
Afin que nous parlions le même langage le plus simple est encore de vous donner le calcul

Plutôt plus compliqué que plus simple ! Pas de valeur numérique, et des égalités de formules demanderait moins de travail pour comprendre la question.

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Et si l'interprétation que j'ai essayé de décrire message #2 est correcte, la question du "transport" reste. Le point est qu'on ne peut parler d'angle hyperbolique entre deux qvecteurs que s'ils sont "transportés" dans un même espace vectoriel. Je peux développer ce point, si nécessaire.

[mach3]

Dans une ancienne discussion, j'avais traité le redshift gravitationnel en utilisant le transport parallèle :

https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6395956

Si ça peut aider...

m@ch3

[Amanuensis]

Dans une ancienne discussion, j'avais traité le redshift gravitationnel en utilisant le transport parallèle

Je pourrais dire la même chose (à la première personne), mais ne le fais pas.

[Mailou75]

Salut et merci,

Je pourrais dire la même chose (à la première personne), mais ne le fais pas.

Compétitivité déplacée...

Dans une ancienne discussion, j'avais traité le redshift gravitationnel en utilisant le transport parallèle :

https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6395956

Oui je me souviens. Je me souviens surtout que je n'avais pas compris le détail et ça n'a pas changé, mais que nous étions d'accord sur les résultats, c'est ce qui m'intéressait

Le point est qu'on ne peut parler d'angle hyperbolique entre deux qvecteurs que s'ils sont "transportés" dans un même espace vectoriel. Je peux développer ce point, si nécessaire.

Avec plaisir mais alors vas y avec les mains et un langage basique.

Pas de valeur numérique, et des égalités de formules demanderait moins de travail pour comprendre la question.

Bah les applications numériques c'est encore le plus parlant pour vérifier si en ordre de grandeur une "théorie" est valide. D'ailleurs les formules y sont : Rs tu la connais, (z+1)_r c'est le redshift gravitationnel en r tu la connais aussi, la seule qui manque c'est pour définir t : la plus pratique est la formule de la courbe de la lumière en coordonnées de Schw, on mesure alors l'intervalle vertical, plus pratique que l'angle en Kruskal.

D'ailleurs c'est en cherchant à préciser cette dernière valeur pour te répondre que j'ai aussi précisé les calculs au deuxième chiffre après la virgule et je me rends compte qu'en fait ça ne colle pas tout à fait :
- pour un message entre 1,4Rs et 1,9Rs on trouve par ma méthode 1,301 pour un delta z+1 qui devrait être 1,287
- pour un message entre 1,9Rs et 2,4Rs on trouve par ma méthode 1,113 pour un delta z+1 qui devrait être 1,109

Donc on oublie... je reste curieux de savoir pourquoi le résultat est aussi proche quand la logique est diamétralement opposée. L'inconvénient de la logique proposée c'est qu'elle continue d'utiliser le z+1 de Schw alors que le but était de trouver une autre voie. Aussi logique que de retrouver G dans les formules d'Einstein mais bon...

A+

PS : Je ferais mieux de me contenter de rattraper mon retard en réponses/production que de me lancer dans des théories parallèles bidons, mea culpa

[Amanuensis]

Compétitivité déplacée...

Sûrement.

Bye.