Trou noir et chute libre : application numérique

[Mailou75]

Bonsoir,

[Je ne suis ni astrophysicien, physicien ou même étudiant avancé mais il me semble que la question est assez pointue pour pouvoir être posée ici]

Alors que j'étudiais une représentation "simplifiée" du modèle de Schwarzschild, j'ai du me pencher sur les shifts précis réellement perçus en cas de chute libre radiale.

Pour la chute libre depuis l'infini, pas de problème a priori

Lorsqu'elle passe en r=1,5Rs (au pif), une particule test aura acquis une vitesse beta B=0,8165
(soit un gamma Y=1,7321 qui est aussi le redshift gravitationnel local z+1)

- Localement elle est vue par un immobile/accéléré avec un redshift relativiste normal (1+B)Y = 3,1463
- Elle voit un observateur éloigné (théoriquement à l'infini) avec un Doppler classique 1+B = 1,8165
- Elle est vue par l'observateur éloigné avec un redshift "doublement relativiste" (1+B)Y² = 5,4495

Pour une chute libre depuis un Rmax quelconque, ça se gâte...

Pour ne pas influencer la réponse je ne donnerai ni ce que j'obtiens en suivant la même logique, ni ce que je pense qu'il faudrait obtenir compte tenu des trajectoires de chute. Ces résultats ne collent pas chez moi, ou pour y arriver je dois suivre des voies illogiques...

La question est donc : Pour une particule test partie de Rmax, à son passage en r (valeurs à votre convenance)

- Avec quel redshift est elle vue localement ?
- Avec quel shift (notez que je ne précise pas la couleur, variable) voit elle l'observateur éloigné ?
- Avec quel redshift est elle vue par l'observateur éloigné ?

Merci d'avance pour votre aide

Mailou
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[Mailou75]

Re,

Après avoir retourné le truc dans tous les sens jusqu'à faire des suppositions improbables, je suis peut être arrivé à une réponse mais elle remet en cause certains acquis, ou mal acquis

Pour arriver à trouver une cohérence qui permette de respecter à la fois :
- Les pentes des trajectoires de chute en coordonnées de Schw avec la ponctuation du temps propre
- Les shifts perçus par les différents observateurs évalués en coordonnées de Kruskal
- La logique de changement de coordonnées (Schw pour des observateurs qui ne seraient pas à l'infini)
- Les bonnes trajectoires locales permettant de faire de la RR

Alors je dois supposer que la formule de la vitesse locale de chute libre depuis Rmax est fausse, du moins pas tout à fait juste :

(1)

doit être remplacée par

(2)

En fait c'est la même mais accrue d'un facteur z+1, le redshift gravitationnel de l'altitude de départ.
En un sens, la formule (1) est juste pour un intervalle d'espace local au départ valant d = r (z+1)

On obtient donc une vitesse locale v' plus grande que la valeur v. Si on suit la formule (1) elle nous dit qu'un objet en chute libre depuis Rmax atteindrait l'horizon avec une vitesse inférieure à c (c/z+1 précisément). J'avoue que ceci m'a toujours posé problème car la réciproque est aussi vraie et on peut atteindre Rmax en partant de l'horizon avec une vitesse inférieure à c. La formule (2) nous dit que la vitesse locale lorsque l'objet atteint l'horizon est c ( c/z+1 fois z+1). C'est plus cohérent avec le principe qui dit que rien ne sort de l'horizon, c n'est pas qu'une vitesse de libération.

Voilà, je ne suis pas entièrement sur de cette solution mais je ne vois pas comment faire autrement sans générer une erreur quelque part...
Je ne vais pas vous bombarder de calculs, ce serait inutile, c'est plus une question d'ordre général.

Qu'en pensez vous ?

Merci

[mach3]

Trop peu de temps en ce moment, mais il serait intéressant de définir formellement ce que signifie "vitesse locale".

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Re,

(2)

Bonjour,
d'accord avec cette formule (https://forums.futura-sciences.com/d...ous-noirs.html)

.

.


De là dans le cadre d'un MRU classique, localement l'observateur (Stationnaire) verra le mobile (chuteur) blueschifté d'un facteur (EDT)
mais si le chuteur se dirige vers un observateur ( Ro<R), l'observateur le verra bluschifté d'un EDR
s'il s'éloingne de l'observateur (Ro > R) , ce dernier verra le mobile ( chuteur) redschifté d'un EDR

décallage d'Einstein
Donc si Ro > R, l'observateur verra le stationnaire redschifté
et si Ro< R, l'observateur verra le stationnaire blueschifté
l'observateur verra donc le chuteur redschifté ou blueschifté proportionnellement à l'EDR et au décallage d'Eisntein.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Salut et merci à vous,

Trop peu de temps en ce moment, mais il serait intéressant de définir formellement ce que signifie "vitesse locale"

C'est la vitesse instantanée quand on travaille de manière locale infinitésimale (en RR).
Par exemple la vitesse de chute libre depuis l'infini donnée par B=racine(Rs/r) est une vitesse locale. Je ne change pas la définition des vitesses mais la formule de l'une d'elles.

C'est très ambigu car la formule (1) nous dit qu'un intervalle r tel que mesuré par l'observateur éloigné sera parcouru par le voyageur en un temps propre T : v =dr/dT ce n'est pas faux.
La formule (2) rappelle juste que localement en Rmax cet intervalle mesure d = r (z+1) donc que la vitesse locale v' = v (z+1)
Etonnamment le même facteur (z+1 : redshift en Rmax) est conservé pour n'importe quel r au cours de la chute (alors qu'on pourrait penser que d et donc v' varient comme le z+1 local)

L'observateur éloigné voit la distance locale d compressée en r mais ça ne change rien au temps propre T sur cet intervalle. Il a le droit d'écrire (1) mais ce n'est pas une vitesse locale.
T est ensuite étiré du facteur z+1 local pour obtenir ce qui est vu, une "incohérence" : une vitesse de chute qui tend vers 0 pour un redshift qui tend vers l'infini.

[Au modérateur : vu la tournure inattendue que prend le fil, peut être a t il plus sa place en discussions libres, je ne voudrais pas spéculer dans cette section...]

.........

Alors t'es en master toi aussi ?

Oui cette formule est équivalente à la (2). Je n'ai aucune idée d'où tu la sors, cela dit moi aussi je l'ai sortie de mon chapeau, mais par défaut, parce que c'est la seule qui a un sens...
Les Y et BY qui suivent sont justes aussi mais n'ont rien de particulier à partir du moment où on a B.
Je ne vois pas l'intérêt d'introduire un eta N=BY ? N (la rapidité instantanée) est définie comme d'hab en RR N=exp(atanh(B)) et BY=BY c'est bien...

De là dans le cadre d'un MRU classique, localement l'observateur (Stationnaire) verra le mobile (chuteur) blueshifté d'un facteur (EDT)

Non (c'est juste Y, rien de vu) puisque tu donnes ensuite le bon résultat :

mais si le chuteur se dirige vers un observateur ( Ro<R), l'observateur le verra blueshifté d'un EDR
s'il s'éloigne de l'observateur (Ro > R) , ce dernier verra le mobile ( chuteur) redshifté d'un EDR

Ok, le Doppler relativiste lié à une vitesse locale B : z+1=(1+/-B)Y suivant le sens (l'immobile le voit s'approcher ou s'éloigner).
C'est ce qui est vu localement (mis à part que tu as inversé red et blue)

Donc si Ro > R, l'observateur verra le stationnaire redshifté et si Ro< R, l'observateur verra le stationnaire blueshifté

Décalage gravitationnel entre deux altitudes, ok. C'est le facteur qui sera appliqué au temps lors d'un changement de repère de Schw et qui nous donnera le shift réellement perçu par un observateur à distance en Ro.
(Pour tout dire je suis parti de ces résultats étranges évalués en Kruskal pour reconstruire la logique locale de Schw)

..........

Dans le fond la formule (2) n'impacte pas les formules habituelles : (1) et toutes les relations visuelles entre trajectoires dans différents repères. Au contraire je dirais qu'elle les explique...
La grande différence pour moi est ce que je disais plus haut : la vitesse locale en Rs pour une chute libre depuis Rmax ne sera pas c/z+1 (1) mais c (2). C'est cohérent avec "rien ne sort de Rs".
En tout cas, si ceci est juste, ça permettrait de faire le lien RR/RG graphiquement et pour moi c'est plutôt sympa

Merci pour votre aide

Mailou

[Zefram Cochrane]

en complément :
Le principe est simple:
_______________________
Si Ro>R
L'observateur, à la coordonnée Ro, voit le stationnaireà la coordonnée R, avec un décalage d'Eisntein DE :

en outre, il voit le chuteur s'éloigner de lui à la vitesse \beta*c soit un coeffcient Doppler

Il voit donc le chuteur redschifté de EDR*DE
______________________________ ___
Si Ro<R
L'observateur, à la coordonnée Ro, voit le stationnaire à la coordonnée R, avec un décalage d'Eisntein DE :

en outre, il voit le chuteur s'approcher de lui à la vitesse \beta*c soit un coeffcient Doppler

Il voit donc le chuteur blueschifté de EDR*DE

[mach3]

C'est la vitesse instantanée quand on travaille de manière locale infinitésimale (en RR).
Par exemple la vitesse de chute libre depuis l'infini donnée par B=racine(Rs/r) est une vitesse locale. Je ne change pas la définition des vitesses mais la formule de l'une d'elles.

il va falloir préciser un peu plus. Trop de sous-entendus.

Ce que je crois comprendre :
-on considère un observateur se maintenant en r constant et on se demande quelle vitesse il mesure localement pour un objet en chute libre qui le croise. Donc cela revient à rechercher la tangente hyperbolique de l'angle entre la ligne d'univers de l'observateur en r constant et la ligne d'univers de l'objet dont on cherche la vitesse, en l'évènement d'intersection entre les deux.
Dans les coordonnées de Schwarzschild, la vitesse radiale coordonnée est (unités géométriques, c=G=1) pour une chute libre depuis l'infini avec vitesse nulle à l'infini. Pour transformer cela en la vitesse qui serait mesurée localement par un immobile de Schwarzschild, il faut un changement de coordonnées (t,r) -> (t',r') de façon à ce que la métrique s'écrive (en zappant la partie angulaire), au moins en l'évènement d'intersection, dt'^2 - dr'^2, ainsi dr'/dt' sera bien la tangente hyperbolique de l'angle entre les deux lignes d'univers.
Un tel changement de coordonnée peut être assez facile, par exemple


avec , étant la coordonnée radiale de l'immobile. En effet, partons de la métrique de Schwarzschild (en zappant la partie angulaire) :


Si , la métrique dans notre nouveau système de coordonnées est localement :

Transformons maintenant la vitesse coordonnée de Schwarzschild :



Si , on a :


On obtient bien la valeur que tu cites pour la "vitesse locale" d'un chuteur libre depuis l'infini.

La même chose s'applique pour une chute libre avec culmination, mais il faut établir la vitesse coordonnée radiale au préalable. Es-tu sûr de ton dr/dt pour ce cas? comment l'as-tu obtenu?

m@ch3

[Mailou75]

Re,

@Zef

Ok pour les décalages gravitationnels entre observateurs fixes (DE) mais les autres formules ne donnent pas les bons résultat (faute de frappe ?)

.........

@mach3

dr/dt c'est :

- soit la pente en r d'une trajectoire de chute depuis Rmax en coordonnées de Schw.
(Il y a plusieurs formules possibles pour cette trajectoire dont une paramétrée, issue du MTW il me semble, que tu m'avais proposée en MP et dont j'avais vérifié la conformité aux autres)

- soit la vitesse v' locale, proposée avec la formule (2), transformée par changement de repère en une vitesse coordonnée v'/(z+1)² où z+1 est le redshift gravitationnel local en r

Dans un soucis de cohérence, les deux donnent le même résultat

[mach3]

Bon,

j'essaie de retrouver l'expression. On a pour une chute radiale culminante en (source MTW) :





avec un paramètre valant 0 à la culmination. Pour avoir dr/dt, on peut d'abord exprimer l'un en fonction de l'autre, par exemple en écrivant en fonction de r et en replaçant cela dans l'expression de t, mais ce sera très moche. Une autre option est de calculer et et de faire le rapport des deux : d'expérience, déterminer sera un calvaire. On va donc plutot faire un changement de variable , calculer et , puis faire le rapport des deux. Pour faciliter les calculs, on pose . On arrive à (facile pour la première, quelques lignes de développement pour la seconde, je pourrais mettre la démo si besoin) :


On fait réapparaitre :




On remplace A par sa valeur, en notant que




Reste encore qui nous enquiquine. On a :

et les formulaires de trigo nous apprennent que donc :


on a donc :


Plus qu'à faire le rapport :




On fait le changement de variable (t,r)->(t',r') :

On se place en :



ce qui correspond parfaitement à ton v' (si on prend c=1), au signe près, qui vient simplement de l'escamotage de à cause de arccos. Le v' est donc correct. Comment as-tu obtenu le v qui est incorrect? surement une mauvaise recette!

m@ch3

[Mailou75]

Re,

Waouu !! Comment tu t'es pris la tête ! Mercii

Voilà qui me rassure, la logique est préservée et je n'ai pas à remettre en cause mes graphs précédents, ce qui m'aurait légèrement ennuyé...
J'avoue que je n'ai pas tout compris avec les changements de variables mais je te fais confiance

Ca c'est bien la vitesse coordonnée dans un repère de Schw pour l'observateur à l'infini.

Et ça v' la vitesse locale ce qui confirme la transformation par changement de repère dr/dt = v' / (z+1)_r² où (z+1)_r est le Redshift gravitationnel en r.

Comment as-tu obtenu le v qui est incorrect?

C'est la formule de Newton, le pire c'est qu'elle n'est pas fausse dans le cas radial elle donne bien v=dr/dT, seulement ce n'est pas une vitesse locale. Dans ce graph par exemple (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post5810148) v est la pente en r de la courbe bleue (la pente de la verte c'est dr/dt).

Sinon ici (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4404078) tu as les courbes directes de v et dr/dt (qui tend vers 0 en Rs), . On voit qu'en partant de Rmax un objet passerait Rs avec une vitesse v inférieure à c, ce dont je parlais plus haut. Au message 283 de la même page tu verras les expression de v (nommée de façon erronée Vl pour "vitesse locale") et dr/dt (Voo vitesse vue par l'observateur à l'infini), j'ai simplement fait passer le terme (z+1)_max d'une formule vers l'autre. Il fallait que je sois désespéré pour postuler ceci mais c'est pourtant apparemment a solution.. Dans le même graph v' serait une homothétie de v atteignant systématiquement c en Rs.

Pour la logique (pas net net mais j'ai pas mieux...) : localement tu prends une vitesse (angle en Minko) v' et tu la compresses de (z+1)_max, tu obtiens v (passage de (2) à (1)). On a donc v < v'. Ensuite comme tu es chez Newton tu oublies la dilatation du temps propre (Y) le long de la trajectoire et tu trouves un intervalle infinitésimal "juste". Par répétition de cette construction pour tout r tu obtiens la courbe bleue de Newton. Je ne saurais t'expliquer par quel mic-mac ça marche... l'essentiel est que ce soit juste la compréhension profonde vient souvent plus tard.

En tout cas merciii, je te dois quelques schémas pour montrer tout ça

A bientôt

[Zefram Cochrane]

Faute de fappe

en complément :
Le principe est simple:
_______________________
Si Ro>R
L'observateur, à la coordonnée Ro, voit le stationnaireà la coordonnée R, avec un décalage d'Eisntein DE :

en outre, il voit le chuteur s'éloigner de lui à la vitesse \beta*c soit un coeffcient Doppler

Il voit donc le chuteur redschifté de EDR*DE
______________________________ ___
Si Ro<R
L'observateur, à la coordonnée Ro, voit le stationnaire à la coordonnée R, avec un décalage d'Eisntein DE :

en outre, il voit le chuteur s'approcher de lui à la vitesse \beta*c soit un coeffcient Doppler

Il voit donc le chuteur blueschifté de EDR*DE

___________________________
Ce bon pour moi

[mach3]

C'est la formule de Newton, le pire c'est qu'elle n'est pas fausse dans le cas radial elle donne bien v=dr/d, seulement ce n'est pas une vitesse locale.

ben oui, c'est une vitesse coordonnée, dans le système de coordonnée Newton+, dont nous avons déjà discuté ici : https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6342965

Il fallait que je sois désespéré pour postuler ceci mais c'est pourtant apparemment a solution..

[...]

Je ne saurais t'expliquer par quel mic-mac ça marche... l'essentiel est que ce soit juste la compréhension profonde vient souvent plus tard.

je pense qu'il serait temps d'avancer dans la compréhension profonde justement, ça t'éviterait des errements. Il faut que tu sortes des bricolages superficiels, pour deux raisons :
-tu finis par te prendre les pieds dans le tapis parce que tu ne comprends pas bien ce que tu fais
-tu es parfois difficile à comprendre car tu utilises parfois des méthodes et un langage qui ne sont pas d'usage répandu (cette remarque peut s'appliquer à Zefram également).

Une solution est d’acquérir un pavé de 3kg et d'en étudier la première quinzaine de chapitres. "Gravitation" est quand même relativement accessible, et le forum est là pour aider sur ce qui ne passe pas. Et sinon il y a les vidéos de cours de RG de Richard Taillet en ligne (et il y a celle de RR aussi, pas une mauvaise idée de les regarder avant pour se remettre à niveau), trop orienté coordonnées avec le recul, mais c'est avec ça que j'ai commencé à aller dans la compréhension profonde, il y a 3 ans maintenant.

m@ch3

[Mailou75]

Faute de fappe (...) Ce bon pour moi

Non toujours pas, j'avais déjà essayé cette erreur. Je ne comprends pas d'où tu sors ta nouvelle formule "EDR" alors que tu donnais la bonne au message 4 ?

.....

Je vais faire une application numérique pour que tu voies ce que tu dois obtenir (Je te propose une chute depuis , Rmax=1,865Rs et une localité r=1,5Rs, vu que c'est des chiffres que j'utilise)

Tu commences par faire localement de la RR en utilisant la formule (2) qui te donne une vitesse B=0,530
Tu trouves que localement le Doppler relativiste associé à cette vitesse vaut z+1=1,805, c'est le redhift avec lequel un immobile en r verrait le voyageur. (1/z+1 s'il s'approche)

Ensuite tu changes d'observateur. J'utilise la notation (z+1)_r=1/racine(1-Rs/r) toujours >1.
On a (z+1)_r=1,732 et (z+1)_max=1,468
Si un observateur au point de départ à Rmax observe un immobile à r il le verra avec un z+1=1,732/1,468=1,179

Donc si un immobile en Rmax observe le voyageur en r il le verra avec un z+1 = 1,805 x 1,179 = 2,129, c'est le chiffre que tu dois obtenir.

.....

J'en profite du coup pour donner les réponses à mes propres questions du message 1 (et justifier le titre du fil...) :

1) Le voyageur, au passage en r, est vu localement (ou voit la localité c'est réciproque en RR) avec un Doppler relativiste z+1=1,805
2) Il voit l'observateur à l'infini avec un z+1=1,805/1,732 = 1,042 car (z+1)_r=1,732
3) Il est vu par l'observateur à l'infini avec un z+1 = 1,805 x 1,732 = 3,126


Ensuite il ne faut pas être si catégorique sur le red/blue. Ce voyageur parti de Rmax voit au départ l'infini blueshifté de 1/1,732=0,577 puis neutre aux environs de r~1,55Rs et redshité jusqu'à atteindre 1,362 sur l'horizon (je ne m'intéresse pas à ce qui ce passe en dessous dans ce fil). On le voit d'ailleurs dans la valeur de la réponse 2) et j'avais posé la question sans piège

A+

[Mailou75]

Re,

ben oui, c'est une vitesse coordonnée, dans le système de coordonnée Newton+, dont nous avons déjà discuté ici : https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6342965

Certes, mais ce n'est pas ce que je voulais dire. Je cherchais à comprendre pourquoi Newton avait toujours du sens ici, mais je crois avoir trouvé pourquoi...
En fait pour l'application numérique du précédent message on trouve aussi que pour la vitesse v'(r)=0,53c (B=0,530) on a un Y=1,179 qui est exactement le décalage gravitationnel entre Rmax et r. Donc tout au long de sa chute, l'intervalle dr de changera pas de distance propre : au fur et à mesure qu'il devrait s'allonger en chutant il sera compressé d'autant. Il se passe la même chose pour un voyageur parti de l'infini.

je pense qu'il serait temps d'avancer dans la compréhension profonde justement, ça t'éviterait des errements. Il faut que tu sortes des bricolages superficiels, pour deux raisons :
-tu finis par te prendre les pieds dans le tapis parce que tu ne comprends pas bien ce que tu fais
-tu es parfois difficile à comprendre car tu utilises parfois des méthodes et un langage qui ne sont pas d'usage répandu (cette remarque peut s'appliquer à Zefram également).

J'essaye pourtant d'utiliser les notations en vigueur, je n'y suis pas pour grand chose si "z+1" revient sous différentes formes à toutes les lignes (sa signification physique reste unique). Des égarements il m'en aura fallu pour en tirer le contenu de ce fil, mais je viens de faire un bond dans ma compréhension. Enfin je comprends très bien ce que je fais, je sais toujours où sont les mètres, les secondes et les kilos. C'est peut être laborieux mes je pense que les bases RR sont relativement solides. Pas très sympa d'entendre ça alors que je suis tout fier de ma simplification... (Ce n'est d'ailleurs pas de cette "simplification" dont je parlais en début de fil et je n'y ai rien gagné de ce coté là... mais le détour n'était pas inutile)

Une solution est d’acquérir un pavé de 3kg et d'en étudier la première quinzaine de chapitres. "Gravitation" est quand même relativement accessible, et le forum est là pour aider sur ce qui ne passe pas. Et sinon il y a les vidéos de cours de RG de Richard Taillet en ligne (et il y a celle de RR aussi, pas une mauvaise idée de les regarder avant pour se remettre à niveau), trop orienté coordonnées avec le recul, mais c'est avec ça que j'ai commencé à aller dans la compréhension profonde, il y a 3 ans maintenant.

DeepTurttle c'est trop maths pour moi, j'ai besoin de mètres, de secondes et de dessins pour savoir de quoi je parle. MTW c'est trop gros, trop anglais et trop plein de matrices et d'intégrales qui feront que je comprendrais un dixième du bouquin. Ce qui est bien c'est qu'il y en a qui ont le courage et la capacité de déchiffrer "the holy bible" et qui la retranscrivent aux autres Moi je fais ce que je peux...

A plus, encore mercii

Mailou

[Mailou75]

Salut,

Comme promis, le petit récap graphique. J'en ai un peu bavé pour faire le lien entre les échelles, Schw et Kruskal sont réduits de moitié c'était illisible sinon...
Je fais le tour pour expliquer les chiffres, j'en ai mis le minimum pour avoir un discours logique.


Axonométrie

C'est une image 2D+t d'un repère de Schwarzschild. Bleu est l'observateur à l'infini. On peut lui associer un cube infinitésimal d'espace temps : 1sl x 1sl en plan et 1s verticalement pour le temps (secondes pour Rs=3.000.000km sinon multiples de 0,1Rs/c). C'est loin d'être infinitésimal mais c'est pour le principe.

Dans son repère, Bleu va déformer les volumes d'espace temps qui ne sont pas locaux. Le redshift gravitationnel pour une coordonnée r vaut :



Vert clair est immobile à Rmax=1,865Rs. Son cube local d'arrête dr va être plus grand de (z+1)_max soit 1,468sl de coté (ou seconde suivant l'arête qu'on regarde).
Vert foncé est immobile à r=1,561Rs. Son cube d'arrête dr va être plus grand de (z+1)_r soit 1,668sl de coté.

Mais Bleu verra ces cubes compressés radialement (pas orthoradialement) dans l'espace et étirés dans le temps de (z+1)_r.
Pour lui, aux alentours de r, la lumière qui allait localement à c semblera aller à c/(z+1)_r² puisqu'elle parcourra une distance dr en une durée dr(z+1)_r²/c (Effet Shapiro).

Figure centrale

Partons de la Fig2, le repère de Vert clair. Rouge est un voyageur parti de l'infini, la formule de la vitesse locale de chute en r est :



On trouve que Rouge croise Vert clair à v=0,73c. Il est vu localement avec un Doppler relativiste z+1=exp(atanh(0,73)=2,544.
Transposé dans le repère de Bleu ça donne une vitesse apparente 0,34c et un redshift z+1=2,544x1,468=3,735

On peut faire le même exercice quand rouge croise Vert foncé à v=0,80c. Il est vu localement avec un Doppler relativiste z+1=3,004.
Transposé dans le repère de Bleu ça donne une vitesse apparente 0,29c et un redshift z+1=3,004x1,668=5,012

La Fig2 montre aussi comment Vert clair perçoit Bleu à l'infini : avec un blueshift z+1=1/1,468=0,681. J'ai mis des rayons à 45° mais ça n'a pas beaucoup de sens, j'aurais pu mettre des horizontales. A partir du moment ou je parle de Bleu à l'infini il ne s'agit plus d'évènements mais d'intervalles.

Sur la droite j'ai fait un changement de repère partiel pour passer en mode Rouge. Localement Vert clair a une vitesse réciproque v=0,73c et Bleu a une trajectoire parallèle à Vert clair. Simplement le temps propre qui ponctue sa trajectoire est "non Minkowskien"... A nouveau la partie pointillée ne vaut que pour son intervalle. Rouge voit donc Bleu avec un redshift z+1=1,732 . On comprends aussi ce que j'essayais d'expliquer dans le précédent message : pour lui, parti de l'infini, l'intervalle dr mesurera toujours la même longueur propre 1sl car les d=r x (z+1)_r locaux seront compressés du facteur inverse par la RR.

On passe ensuite au cas de Rose qui chute depuis seulement Rmax, sa vitesse locale de chute en r est donnée par :



La Fig3 montre que quand Rose, parti de Rmax passe à coté de Vert foncé il a une vitesse v'=0,47c. Il est vu localement avec un Doppler relativiste z+1=1,675.
Transposé dans le repère de Bleu ça donne une vitesse apparente 0,17c et un redshift z+1=1,675x1,668=2,795

Schwarzschild

Si on prend la Fig1 on peut transposer chaque rectangle à sa position dans le repère, ensuite seul l'intervalle compte. On décrit comment Bleu verra les choses (compressions, shift, vitesses) mais pas ce qui verra (évènements) puisqu'il est à l'infini... Bien sur l'intervalle de 0,1Rs n'étant pas infinitésimal, la figure est entachée d'imprécision d'où l'apparition du petit signe ~ devant les valeurs de redshit perçues par Bleu... je n'ai pas mis les bonnes car l'idée est de faire le lien justement.

Kruskal

On regarde comment Rose va percevoir Bleu pendant sa chute, pour illustrer (et corriger *) ce que je disais dans mon dernier message. A nouveau on décrit "comment" Rose voit les choses pas des évènements à l'infini. Au départ il est à Rmax=1,865Rs constant, il voit l'infini blushifté de z+1=1/1,468=0,681* (comme Vert clair, il est colinéaire à lui). Puis il coupe les gaz et passe en chute libre. Il voit Bleu de moins en moins blueshifté et atteint z+1=1 aux environs de 1,55Rs (je pourrais trouver le chiffre exact mais osef). Ensuite Blue commence à passer dans le rouge et atteint un redshift z+1~1,362 en passant Rs.

.....

Voilà, vous allez me dire à quoi ça sert tout ça ? Ben pour moi, à faire le lien entre RR et RG et trouver que finalement Schw c'est pas si compliqué
Accessoirement trouver que la vitesse locale en Rs est c quelle que soit la hauteur de chute et ainsi justifier que rien de matériel ne sort d'un trou noir.

Merci pour votre aide

Mailou

[Mailou75]

PS : Le fait que l’intervalle de temps propre de Rouge soit toujours «au bord» d’un carré Vert local c’est normal car le gamma de chute libre depuis l’infini vaut exactement le z+1 gravitationnel local. C’est une règle de construction. Par contre le fait que le rayon lumineux émis par Rose semble arriver pile a l’angle du carré c’est une coincicence (1,668~1,675), un dommage collatéral pour les autres avantages du schéma

[Zefram Cochrane]

je pense qu'il serait temps d'avancer dans la compréhension profonde justement, ça t'éviterait des errements. Il faut que tu sortes des bricolages superficiels, pour deux raisons :
-tu finis par te prendre les pieds dans le tapis parce que tu ne comprends pas bien ce que tu fais
-tu es parfois difficile à comprendre car tu utilises parfois des méthodes et un langage qui ne sont pas d'usage répandu (cette remarque peut s'appliquer à Zefram également).

Une solution est d’acquérir un pavé de 3kg et d'en étudier la première quinzaine de chapitres. "Gravitation" est quand même relativement accessible, et le forum est là pour aider sur ce qui ne passe pas. Et sinon il y a les vidéos de cours de RG de Richard Taillet en ligne (et il y a celle de RR aussi, pas une mauvaise idée de les regarder avant pour se remettre à niveau), trop orienté coordonnées avec le recul, mais c'est avec ça que j'ai commencé à aller dans la compréhension profonde, il y a 3 ans maintenant.

m@ch3

Bonjour, j'entends bien ce que tu dis et j'aimerais franchement pourvoir le faire mais il y a un gap certain entre la RR et la RG et il nous manque un échelon intermédiaire ( je ne parle pas de vulgarisation). D'où notre recherche à Mailou et moi ( ce que voient réellement les observateurs) et des méthodes maisons développées pour parvenir à combler ce gap.
Je suis content de voir que nous sommes d'accord sur la vitesse instantanée atteinte par un chuteur à la coordonnée R lorsqu'il entamme une chute depuis Rmax.
Personnellement , je suis incapable de comprendre la méthodologie que tu as amployé parce que je n'arrive pas à me représenter visuellement à quoi elle correspond.

[Zefram Cochrane]

Figure centrale

Partons de la Fig2, le repère de Vert clair. Rouge est un voyageur parti de l'infini, la formule de la vitesse locale de chute en r est :



On trouve que Rouge croise Vert clair à v=0,73c. Il est vu localement avec un Doppler relativiste z+1=exp(atanh(0,73)=2,544.
Transposé dans le repère de Bleu ça donne une vitesse apparente 0,34c et un redshift z+1=2,544x1,468=3,735

On peut faire le même exercice quand rouge croise Vert foncé à v=0,80c. Il est vu localement avec un Doppler relativiste z+1=3,004.
Transposé dans le repère de Bleu ça donne une vitesse apparente 0,29c et un redshift z+1=3,004x1,668=5,012

La Fig2 montre aussi comment Vert clair perçoit Bleu à l'infini : avec un blueshift z+1=1/1,468=0,681. J'ai mis des rayons à 45° mais ça n'a pas beaucoup de sens, j'aurais pu mettre des horizontales. A partir du moment ou je parle de Bleu à l'infini il ne s'agit plus d'évènements mais d'intervalles.

Sur la droite j'ai fait un changement de repère partiel pour passer en mode Rouge. Localement Vert clair a une vitesse réciproque v=0,73c et Bleu a une trajectoire parallèle à Vert clair. Simplement le temps propre qui ponctue sa trajectoire est "non Minkowskien"... A nouveau la partie pointillée ne vaut que pour son intervalle. Rouge voit donc Bleu avec un redshift z+1=1,732 . On comprends aussi ce que j'essayais d'expliquer dans le précédent message : pour lui, parti de l'infini, l'intervalle dr mesurera toujours la même longueur propre 1sl car les d=r x (z+1)_r locaux seront compressés du facteur inverse par la RR.

On passe ensuite au cas de Rose qui chute depuis seulement Rmax, sa vitesse locale de chute en r est donnée par :



La Fig3 montre que quand Rose, parti de Rmax passe à coté de Vert foncé il a une vitesse v'=0,47c. Il est vu localement avec un Doppler relativiste z+1=1,675.
Transposé dans le repère de Bleu ça donne une vitesse apparente 0,17c et un redshift z+1=1,675x1,668=2,795

Salut,
si j'ai bien compris, tu cherche à calculer, du point de vue de l'observateur à l'oo, la vitesse apparente de chute d'un mobile partant de Rmax (je l'appellerai Ri plutôt que Rmax) lorsqu'il atteint la coordonnée R ( que j'appellerai pour le coup Rj).
J'ai repris tes données R = 1.865Rs, vitesse de chute depuis l'oo ( j'ai pris un Rmax très grand).
Localement : c'est l'observateur voit le chuteur avec un coeff dopller =gamma et 2.544 = gamma + eta = gamma (1+v)
localement, lorsque le chuteur s'éloigne du stationnaire ( local) , ce dernier le voit avec un décalage doppler de EDR = 1/2.544 = 0.393 = gamma - eta.
l'observateur à l'oo verra donc le chuteur avec un décallage doppler combinant EDR et le décalage d'Eisntein du Stationnaire 1/(z+1) = 0.681 soit 0.681*0.393 = 0.268.

J'aurais d'autres questions à poser et j'en poserais certaines sur un autre fil à moi pour ne pas polluer le tien.

[Mailou75]

Salut,

Je suis content de voir que nous sommes d'accord sur la vitesse instantanée atteinte par un chuteur à la coordonnée R lorsqu'il entamme une chute depuis Rmax.

T’aurais pu le dire plutot, ça m’aurait évité de m’arracher les cheveux

Personnellement , je suis incapable de comprendre la méthodologie que tu as amployé parce que je n'arrive pas à me représenter visuellement à quoi elle correspond.

Easy : quand tu es dans un «carré local» tu fais de la RR normale et dès que tu t’en éloignes les carrés non locaux sont déformés (étirés dans le temps de z+1, c’est le ralentissement du temps a proximité d’une masse, et compressés radialement spatialement de 1/z+1, c’est l’allongement des longueurs a proximité d’une masse). Le passage de la RR à Schw c’est une simple homothétie, le changement de repère en Schw classique pour l’observateur à l’infini vers Schw pour un observateur à r (c’est vraiment les distances qu’il verra) est peut être mieux expliqué ici : https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6280295. Le sujet de ma dernière planche c’était surtout vitesse et redshifts perçus.

A+

[Zefram Cochrane]

Salut Mailou,
J'ai fait 2 messages 1 pour mach3 (message 17) et 1 pour toi (message 18).

[Mailou75]

Re,

si j'ai bien compris, tu cherche à calculer, du point de vue de l'observateur à l'oo, la vitesse apparente de chute d'un mobile partant de Rmax (je l'appellerai Ri plutôt que Rmax) lorsqu'il atteint la coordonnée R ( que j'appellerai pour le coup Rj).

> Je cherchais surtout à mettre en cohérence des shifts perçus avec le principe d'homothétie de Schw. Mais oui, par exemple (pas de Ri Rj... stp)

J'ai repris tes données R = 1.865Rs, vitesse de chute depuis l'oo ( j'ai pris un Rmax très grand).

> Tu peux prendre la formule que j'ai donnée, celle de Vlib chez Newton, elle donne la même chose que Rmax trèès grand.

Localement : c'est l'observateur voit le chuteur avec un coeff dopller =gamma et 2.544 = gamma + eta = gamma (1+v)

> Arf, je vois ce que tu veux dire mais c'est ce qui te met dedans... Tu estimes que "localement" c'est exactement quand une particule en traverse une autre et tu dis qu'il faut appliquer en un seul évènement un Doppler transverse z+1=Y. En fait c'est le résultat si elle passait juste à coté.

> Quand je parle de localité c'est juste avant ou juste après le croisement radial pour avoir au moins deux évènements et définir un intervalle perçu, le Doppler radial qui vaut en effet 1/z+1=0,393 (blue) en approche et z+1=2,544 (red) en s'éloignant. (arrête stp avec eta qui n'est pas la rapidité mais vaut BY, tu t'embrouilles tout seul, ce qui se passe dans un carré c'est juste de la RR, rien de neuf)

localement, lorsque le chuteur s'éloigne du stationnaire ( local) , ce dernier le voit avec un décalage doppler de EDR = 1/2.544 = 0.393 = gamma - eta.

> Non, "localement" le stationnaire le voit avec le Doppler relativiste défini juste avant.

l'observateur à l'oo verra donc le chuteur avec un décallage doppler combinant EDR et le décalage d'Eisntein du Stationnaire

> Oui

1/(z+1) = 0.681 soit 0.681*0.393 = 0.268

> Mais le calcul donne : Shift z+1 = redshift local x décalage gravitationnel entre r et observateur = 2,544 x 1,468 = 3,735

J'aurais d'autres questions à poser et j'en poserais certaines sur un autre fil à moi pour ne pas polluer le tien.

> No pb, de toute façon si je donne une suite ce sera en discussions libres

[Mailou75]

Salut Mailou,
J'ai fait 2 messages 1 pour mach3 (message 17) et 1 pour toi (message 18).

Ah pardon, comme tu parlais de "visuellement"... je comprends mieux pourquoi tu ne visualise pas le calcul de mach3
Et moi aussi je suis content qu'on soit tous d'accord sur la formule de la vitesse !

A+

[Mailou75]

Ce week end je passe à la pratique !

[mach3]

(note : on se restreint en 1D+1D pour ce qui suit)

J'ai trouvé une autre façon de formuler la chose qui peut-être parlera un peu plus.

Dans le cas RR, prenons un observateur de 4-vitesse U, un objet de 4-vitesse V. Choisissons des coordonnées de Lorentz telles que U ait ses coordonnées spatiales nulles (observateur immobile dans ces coordonnées). On a donc (1,0) comme coordonnées pour U, et comme coordonnées pour V.

On peut faire le produit scalaire des deux via la métrique : . Le produit scalaire de deux 4-vitesses nous donne donc le cosinus hyperbolique de la rapidité (on obtient donc leur vitesse relative très simplement à partir de là), qui est l'angle hyperbolique entre les lignes d'univers de l'objet et de l'observateur, un invariant caractéristique de la relation entre l'observateur et l'objet (au même titre que la vitesse relative entre l'observateur et l'objet, ou que lui-même). Si on obtient directement cela, c'est parce que U et V sont de norme 1 (c'est à dire que , ce sont des 4-vitesses. On peut néanmoins aussi l'obtenir en prenant n'importe quels vecteurs colinéaires à U et V, par exemple U'=aU et V'=bV :

Donc

On note par ailleurs que et , donc on a :

Ou encore, une écriture plus jolie je trouve :


En particulier, on peut vouloir utiliser le 4-vecteur v de coordonnées au lieu de la 4-vitesse V, avec t et x les coordonnées de Lorentz utilisées : est une vitesse coordonnée, et les propriétés des coordonnées de Lorentz (par construction, elles sont faites pour ça) font que cela correspond à la vitesse relative entre l'observateur et l'objet, . Et on a bien :

C'est quand même génial : avec la 4-vitesse de l'observateur et un 4-vecteur ayant pour coordonnée temporelle 1 et pour coordonnée spatiale la vitesse coordonnée, on peut obtenir le facteur gamma et donc tout ce qui s'en suit (rapidité, vitesse, etc). Et bien, la même chose fonctionne localement en espace-temps courbe, à ceci près que la métrique n'est plus celle de Minkowski.

Quand on calcule le produit scalaire via la métrique entre des vecteurs dont les coordonnées sont et on effectue en fait la somme suivante :

Il se trouve que dans le cas de coordonnées de Lorentz en espace-temps plat, , et , donc il ne reste que

Si les coordonnées ne sont pas des coordonnées de Lorentz (que ce soit en espace-temps plat ou courbe), les composantes de la métrique, les , sont différentes, mais la formule donnant le fonctionne toujours, parce que c'est un invariant de la relation entre la ligne d'univers de l'observateur et celle de l'objet et que donc ça ne dépend pas du système de coordonnées. En effet en changeant de système de coordonnées, les coordonnées des deux vecteurs changent, mais les composantes de la métrique changent aussi, de manière à ce que le résultat du produit scalaire des deux vecteurs ne change pas. On aura :

Avec U' et V' des 4-vecteurs quelconques tangents aux lignes d'univers de l'observateur et de l'objet en leur intersection. Et ça ça continue de fonctionner en espace-temps courbe. Si on considère par exemple la géométrie de Schwarzschild avec les coordonnées de Schwarzschild, (t,r), alors les composantes de la métrique sont données par la formule de la métrique dans ces coordonnées :

On a , et .
Pour deux vecteurs quelconques de coordonnées et en un évènement donné, leur produit scalaire sera : .
Considérons un observateur se maintenant en r constant, sa 4-vitesse U aura les coordonnées (1,0) dans les coordonnées de Schwarzschild. Considérons un objet en mouvement quelconque, le 4-vecteur v de coordonnées , avec la vitesse coordonnée de l'objet quand il croise l'observateur, et tangent à sa ligne d'univers. Appliquons la formule magique :




D'où il vient que

L'autre chemin, celui que j'ai suivi dans un post précédent et qui mène au même résultat, consiste à changer de coordonnées pour que la métrique prenne la même forme que celle de Minkowski : on obtient un système de coordonnées qui mime les coordonnées de Lorentz au moins pour l'observateur, et la vitesse coordonnée de l'objet dans ce système de coordonnées et alors la vitesse relative entre l'observateur et l'objet (à condition que l'observateur ait bien une vitesse coordonnée nulle!).

Autre point, qui sera à développer plus tard, quel est l'effet Doppler entre l'objet et l'observateur. La réponse est évidente quand l'observateur et l'objet se croisent, ce sera le Doppler transversal. La réponse est évidente aussi quand l'observateur et l'objet sont distants en espace-temps plat, il suffit de considérer la vitesse de l'objet lorsqu'il est sur le cône passé de l'évènement depuis lequel l'observateur regarde. Par contre en espace-temps courbe, il y a un os. En fait la vitesse relative entre objet et observateur n'a de sens qu'à l'intersection entre leurs lignes d'univers à la base. La platitude fait qu'on peut transporter simplement un vecteur tangent à une ligne d'univers en un autre évènement : on translate simplement le vecteur, ce qui permet de faire le produit scalaire entre deux vecteurs qui ne sont pas attaché au même évènement et donc parler de vitesse relative alors qu'observateur et objet ne se croisent pas. Dans le cas d'un espace-temps courbe le transport d'un vecteur à travers l'espace-temps va altérer son "apparence" et l'altération est différente suivant le chemin qui est suivi. Dans notre cas le chemin à suivre est une géodésique nulle entre l'objet et l'observateur, celui que va suivre la lumière pour aller de l'objet à l'observateur.

Il faut que je creuse un peu, car je n'ai jamais été bien au fond des choses à ce sujet, mais il doit falloir transporter la 4-vitesse de l'objet jusqu'à l'observateur suivant le rayon lumineux qui va de l'un à l'autre et l’altération due à ce transport va être justement l'application du redshift gravitationnel. Une autre approche serait de transporter non pas la 4-vitesse de l'objet, mais la 4-impulsion d'un rayonnement que l'objet envoie, ce qui devrait donner directement le redshift total (Doppler+Einstein)

Je reviendrais détailler cela quand j'aurais avancé dessus.

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Pas eu beaucoup de temps ce week end désolé.

(note : on se restreint en 1D+1D pour ce qui suit)

Pour bien faire il faudrait ajouter la vitesse orbitale, j'avais commencé faudrait que je m'y remette...

D'où il vient que

L'autre chemin, celui que j'ai suivi dans un post précédent et qui mène au même résultat (...)

Oui, c'est ce que je notais dr/dt=v'/(z+1)_r². Le calcul est plus élégant que le précédent effectivement, bravo !
Par contre je ne dirais pas qu'il donne les mêmes résultats, l'autre donnait la valeur de B (v'/c), ici on a juste un rapport.
Plusieurs versions (justes) valent mieux qu'une, les voies de la compréhension appartiennent à chacun

Autre point, qui sera à développer plus tard, quel est l'effet Doppler entre l'objet et l'observateur.

C'est tout simple, c'est justement ce que je décris dans mon dessin, les shifts perçus par chacun.

La réponse est évidente quand l'observateur et l'objet se croisent, ce sera le Doppler transversal.

Pas d'accord, je vais te faire la même réponse qu'à Zef. Le Doppler Transverse est une coïncidence de l'aberration : si tu passes à grande vitesse à coté d'un objet alors quand tu l'auras dépassé, tu le verras sur une ligne perpendiculaire au déplacement (exactement sur ta gauche par exemple). Il se trouve que le résultat donne un redshift z+1=Y. Inversement celui qui se trouve exactement sur la gauche est vu projeté vers l'avant avec un blueshift z+1=1/Y. Aucun ne répond au problème.

A l'évènement exact où les objets se croisent ils sont confondus : aucun ne peut émettre vers l'autre et un seul évènement ne donne pas un intervalle, donc pas de shift mesurable. C'est pour ça que les carrés dans lesquels je fais du Minkowski décrivent un infinitésimal juste après (j'aurais pus faire juste avant pour le blue). Dans mes exemples je prends quasi toujours des observateurs au dessus donc je multiplie des redshifts : éloignement RR + au dessus RG. Mais si je prenais un observateur en dessous je multiplierais des blueshift : rapprochement RR + en dessous RG.

Pour moi un observateur exactement au croisement ne mesure rien, et je ne vois pas avec quel instrument il pourrait mesurer Y ? Eventuellement une règle...

Dans le cas d'un espace-temps courbe le transport d'un vecteur à travers l'espace-temps va altérer son "apparence" et l'altération est différente suivant le chemin qui est suivi. Dans notre cas le chemin à suivre est une géodésique nulle entre l'objet et l'observateur, celui que va suivre la lumière pour aller de l'objet à l'observateur.

Je ne sais pas trop ce que tu entends par "transporter un vecteur vitesse le long d'une géodésique lumière" mais j'espère qu'on sera d'accord, tu as mes résultats.

Une autre approche serait de transporter non pas la 4-vitesse de l'objet, mais la 4-impulsion d'un rayonnement que l'objet envoie, ce qui devrait donner directement le redshift total (Doppler+Einstein)

Oui, on pourrait représenter des vecteurs énergie pour les photons comme on l'avait fait ici https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6176155. Partir d'une énergie E émise par le voyageur de son point de vue, transformée en E' dans le repère du stationnaire local puis en E'' dans le repère de l'observateur éloigné. On sait passer de E à E' (voir lien) et une homothétie fera passer de E' à E'' sans doute... j'ai peur que ce ne soit aussi "amusant" qu'en RR. Ca peut tout de même permettre d'étudier un seul rayon parti du point exact pour sa fréquence.

......

En bidouillant je suis tombé sur une autre égalité plus "énigmatique". Je n'arrive pas à la faire parler graphiquement (enfin si mais c'est torturé, analytico-géométrique...) tu me diras si elle te chatouille :
- Comme dit dans le premier post, un observateur à l'infini verra un voyageur parti de l'infini lorsqu'il se trouve en r avec un redshift (1+B)Y²
- On trouve la même relation pour Rmax, un observateur en Rmax verra un voyageur parti de Rmax lorsqu'il se trouve en r avec un redshift (1+B)Y² (prendre la valeur v' pour B bien sur)
Il y a quelque chose à comprendre qui m'échappe encore...

Merci à bientôt

Mailou

[Lansberg]

Bonjour,

pas le temps de prendre connaissance de l'ensemble du fil, mais vous avez peut-être du grain à moudre dans cette publication avec observateur inertiel distant (IO), observateur en chute libre (IF) et observateur local (LS) :
https://www.researchgate.net/publica...err_geometries

[mach3]

Pour bien faire il faudrait ajouter la vitesse orbitale

oui, mais là le but était de rendre l'explication compréhensible (et aussi plus facile à faire) en ne compliquant pas inutilement avec des dimensions non nécessaires. On peut refaire la même en 1+3, les formules où les coordonnées sont développées seront juste beaucoup plus lourdes.

Par contre je ne dirais pas qu'il donne les mêmes résultats, l'autre donnait la valeur de B (v'/c), ici on a juste un rapport.

je ne comprend pas. Le du post 7 et le du post 24 sont bien la même chose, à savoir : .

Pas d'accord, je vais te faire la même réponse qu'à Zef. Le Doppler Transverse est une coïncidence de l'aberration : si tu passes à grande vitesse à coté d'un objet alors quand tu l'auras dépassé, tu le verras sur une ligne perpendiculaire au déplacement (exactement sur ta gauche par exemple). Il se trouve que le résultat donne un redshift z+1=Y. Inversement celui qui se trouve exactement sur la gauche est vu projeté vers l'avant avec un blueshift z+1=1/Y. Aucun ne répond au problème.

A l'évènement exact où les objets se croisent ils sont confondus : aucun ne peut émettre vers l'autre et un seul évènement ne donne pas un intervalle, donc pas de shift mesurable. C'est pour ça que les carrés dans lesquels je fais du Minkowski décrivent un infinitésimal juste après (j'aurais pus faire juste avant pour le blue). Dans mes exemples je prends quasi toujours des observateurs au dessus donc je multiplie des redshifts : éloignement RR + au dessus RG. Mais si je prenais un observateur en dessous je multiplierais des blueshift : rapprochement RR + en dessous RG.

Pour moi un observateur exactement au croisement ne mesure rien, et je ne vois pas avec quel instrument il pourrait mesurer Y ? Eventuellement une règle...

C'est de l'idéalisation mathématique. Physiquement observateur et objet ne peuvent pas se croiser (sinon bim...), mais on peut réduire leur taille de façon arbitraire et la distance à laquelle ils se croisent de façon arbitraire pour tendre vers le croisement et c'est donc cela qui est décrit, le redshift au moment où l'objet passe au plus près de l'observateur, cette distance étant arbitrairement petite. Et encore plus concrètement, on peut imaginer que l'observateur mesure la période d'un phénomène périodique de l'objet, le début de la période étant avant le croisement, et la fin après le croisement, et considérer que la fréquence est arbitrairement grande (et donc la période arbitrairement petite).
Ceci à la mérite de fonctionner dans tous les cas (plat ou courbe) sans complication, car la comparaison des 4-vitesses entre-elles (où de la 4-impulsion de la lumière émise et les 4-vitesses de l'objet et de l'observateur) est alors locale. Comparer à distance n'est trivial qu'en espace-temps plat, on va y revenir.

Je ne sais pas trop ce que tu entends par "transporter un vecteur vitesse le long d'une géodésique lumière" mais j'espère qu'on sera d'accord, tu as mes résultats.

Petit développement, qui, je l'espère, élèvera la compréhension. En chaque évènement de l'espace-temps (et d'une manière générale, en tout point d'une variété), il y a un espace vectoriel, dit tangent, dans lequel "vivent" les vecteurs attachés à l'événement. Chacun de ces espaces vectoriels tangents sont des espaces différents, ils ne s'intersectent pas, aucun vecteur de l'un d'eux n'est présent dans les autres. Pour pouvoir comparer les vecteurs attachés en un évènement à ceux attachés à un autre, il faut faire appel à ce qu'on appelle la connexion, qui va relier les uns aux autres les espaces vectoriels. Dans le cas d'un espace-temps plat (et d'une manière générale d'une variété plate), la connexion est triviale, et on confond aisément les espace tangents avec l'espace-temps lui-même. Confusion telle qu'à moins d'avoir atteint un certain niveau en mathématique, on ignore qu'il s'agit de deux choses différentes. Exemple, en géométrie euclidienne, on a des points, et des vecteurs identifiés avec des bipoints, et on a pas conscience que les vecteurs appartiennent au tangent alors que les points appartiennent à l'espace euclidien (ni même que la définition de vecteurs par des bipoints est une particularité autorisée par la platitude!). Et on fait la même chose en géométrie de Minkowski, on considère que les évènements et les 4-vecteurs vivent dans le même monde, alors que non. La platitude nous permet de confondre ces deux mondes sans faire d'erreur. Quand l'espace(-temps) est courbe, on ne peut plus faire cette confusion, un vecteur ne peut d'ailleurs pas être défini comme un bipoint dans ce cas.
Pour certaines variété 2D riemanniennes, on peut visualiser la connexion assez simplement. On imagine la variété plongée dans un monde en 3D euclidien (donc ça marche pour la surface de n'importe quel objet du monde courant, par exemple une poire). On dessine une ligne quelconque sur la variété, puis on fait rouler la variété sur un plan de façon à ce que le point de contact entre la variété et le plan soit toujours sur la ligne. Cela va dessiner une ligne sur le plan. En particulier, si la ligne qu'on a tracée se trouve être une géodésique, alors la ligne qui va se dessiner sur le plan sera droite.
Si on imagine qu'en chaque point de la ligne (géodésique ou non) il y avait des vecteurs, ceci vont être décalqués avec la ligne sur le plan. Une fois sur le plan, ils pourront être comparés entre eux par simple translation. On note que si on veut comparer deux vecteurs, l'un au début et l'autre à la fin de la ligne, le résultat va dépendre de la ligne elle-même.
Pour comparer deux vecteurs attaché à des points différents sans les décalquer sur le plan (on fait donc une abstraction, qui ne sera plus limitée aux cas 2D riemanniens visualisables), il faut faire une opération dite de "transport parallèle" d'un des vecteurs suivant la ligne. Cela réalisera la même chose que la simple translation réalisée sur la figure décalquée sur le plan.

Je pense qu'il n'est pas utile d'entrer dans des détails plus formels.

Pour le cas qui nous occupe, il s'agit de comparer les 4-vitesses de l'objet et de l'observateur alors qu'ils sont distants, ou de comparer la 4-impulsion d'un rayonnement émis par l'objet à ces deux 4-vitesses. Dans le cas d'un espace-temps plat, il suffisait simplement de faire des translations pour ce faire. Mais si l'espace-temps est courbe, alors il faut transporter les vecteurs avant de pouvoir les comparer, et pas suivant n'importe quel chemin. Physiquement, le rayonnement allant de l'objet à l'observateur suit une géodésique nulle. En chaque point de cette géodésique, il y a la 4-impulsion de ce rayonnement (c'est un 4-vecteur différent, appartenant à un espace vectoriel tangent différent, en chaque évènement de cette géodésique), et cette 4-impulsion est contrainte par une loi de conservation locale. Si on décalque la variété sur un plan en suivant la géodésique nulle, cette loi de conservation impose qu'on doive trouver que la 4-impulsion ne change pas d'un bout à l'autre (si on prend la 4-impulsion en n'importe quel événement et qu'on l'amène en n'importe quel autre, on doit trouver que ce sont les mêmes vecteurs). A une extrémité se trouvera l'évènement d'émission, accompagné de la 4-vitesse de l'objet (dans le tangent de cet évènement) et à l'autre se trouvera l'évènement de réception, accompagné de la 4-vitesse de l'observateur. On peut donc comparer la 4-impulsion avec ces 4-vecteurs, en déduire la fréquence mesurée pour le rayonnement (simple produit scalaire de la 4-vitesse par la 4-impulsion, à la constante de Planck près) par l'objet et par l'observateur, et donc le Doppler. On peut aussi transporter la 4-vitesse de l'un jusqu'à l'autre pour connaitre leur vitesse relative et également déduire le Doppler.

Il faut que je fasse des vérifications et des calculs pour être sûr que c'est bien ainsi que cela se passe, mais cela me semble pour l'instant cohérent.

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

oui, mais là le but était de rendre l'explication compréhensible (et aussi plus facile à faire) en ne compliquant pas inutilement avec des dimensions non nécessaires. On peut refaire la même en 1+3, les formules où les coordonnées sont développées seront juste beaucoup plus lourdes.

Ce n'était pas un reproche du tout, il faut bien régler la 1D+t d'abord.

je ne comprend pas. Le du post 7 et le du post 24 sont bien la même chose, à savoir : .

Si je reprends tes notations :



est la vitesse locale que j'ai appelé v'



est la même pour Rmax=infini qu'on peut appeler v (juste pour les différencier mais c'est la même formule dans le fond)



c'est la formule de Newton qui est juste aussi mais pas une vitesse locale (on voit que v'=(z+1)_max*dr/dT c'est la modification du message 2)



celle ci nous dit que pour v ou v' (vitesse locale) on trouvera toujours que la vitesse coordonnée dans le repère de l'observateur à l'infini (Schw normal) est



je parlais de vitesse "apparente" (en gris sur la figure) plus haut c'était une co... dsl.
Au final, deux formules suffisent : la première et la dernière (la même que ta dernière)

C'est de l'idéalisation mathématique. Physiquement observateur et objet ne peuvent pas se croiser (sinon bim...), mais on peut réduire leur taille de façon arbitraire et la distance à laquelle ils se croisent de façon arbitraire pour tendre vers le croisement et c'est donc cela qui est décrit, le redshift au moment où l'objet passe au plus près de l'observateur, cette distance étant arbitrairement petite. Et encore plus concrètement, on peut imaginer que l'observateur mesure la période d'un phénomène périodique de l'objet, le début de la période étant avant le croisement, et la fin après le croisement, et considérer que la fréquence est arbitrairement grande (et donc la période arbitrairement petite).
Ceci à la mérite de fonctionner dans tous les cas (plat ou courbe) sans complication, car la comparaison des 4-vitesses entre-elles (où de la 4-impulsion de la lumière émise et les 4-vitesses de l'objet et de l'observateur) est alors locale. Comparer à distance n'est trivial qu'en espace-temps plat, on va y revenir.

Quitte à avoir une "distance arbitrairement petite" je préfère qu'elle soit radiale
Ton histoire de période décrit deux évènement, ça me va mais le résultat ne sera pas z+1=Y mais bien le Doppler radial, exactement ce qui se passe dans un carré.
Y'a pas à tortiller vous vous trompez sur ce point, Y ne peut pas être utilisé comme référence locale pour appliquer un facteur quelconque et obtenir quelque chose de mesuré dans autre repère.
Un rayon émis depuis un évènement avec une certaine fréquence pourquoi pas, mais ce rayon ne sera pas reçu "localement" et on trouverait la même chose.

Je réagirais plus tard à la suite (que je n'ai pas encore lue...)

[mach3]

Quitte à avoir une "distance arbitrairement petite" je préfère qu'elle soit radiale
Ton histoire de période décrit deux évènement, ça me va mais le résultat ne sera pas z+1=Y mais bien le Doppler radial, exactement ce qui se passe dans un carré.
Y'a pas à tortiller vous vous trompez sur ce point, Y ne peut pas être utilisé comme référence locale pour appliquer un facteur quelconque et obtenir quelque chose de mesuré dans autre repère.
Un rayon émis depuis un évènement avec une certaine fréquence pourquoi pas, mais ce rayon ne sera pas reçu "localement" et on trouverait la même chose.

Si on idéalise et qu'on considère qu'observateur et objet se croisent en un évènement, alors le doppler en cet évènement est bien le doppler transverse (et c'est longitudinal immédiatement avant et immédiatement après l'évènement, ce n'est du transverse qu'en l'évènement de croisement exactement), c'est des maths. Après, oui, on ne peut pas rigoureusement mesurer ce transverse là physiquement, à moins de faire tendre les distance vers 0 (sans pour autant qu'il y ait croisement) et circonscrire l'intervalle de temps durant lequel la mesure est effectuée le plus près possible de l'évènement où la distance est la plus petite. Le fait est, cependant, que c'est le seul cas traitable trivialement sans faire de transport parallèle quand on est en espace-temps courbe.

Par ailleurs, si un objet en chute radiale passe à côté (plus ou moins loin...) d'un observateur restant en r constant sans le croiser, alors il y a une complication : quand l'observateur voit que l'objet est dans le plan orthogonal à la radiale sur laquelle l'observateur se trouve, l'objet n'est pas au même r que l'observateur, donc si on veut une description précise, ça devient compliqué (surtout que la lumière ne va pas tout droit... enfin si... mais c'est pas le tout droit auquel on pourrait s'attendre...), à moins de considérer que la distance à laquelle l'objet passe est arbitrairement petite pour pouvoir négliger l'écart et on en revient donc à un croisement, avec un Doppler égale au transverse en l'évènement de croisement, et au longitudinal immédiatement avant et après le croisement.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Salut ,
1/ 0,268 = 3,735

1/(z+1) = 0.681 soit 0.681*0.393 = 0.268

> Mais le calcul donne : Shift z+1 = redshift local x décalage gravitationnel entre r et observateur = 2,544 x 1,468 = 3,735

Ok pour moi

Pas d'accord, je vais te faire la même réponse qu'à Zef. Le Doppler Transverse est une coïncidence de l'aberration : si tu passes à grande vitesse à coté d'un objet alors quand tu l'auras dépassé, tu le verras sur une ligne perpendiculaire au déplacement (exactement sur ta gauche par exemple). Il se trouve que le résultat donne un redshift z+1=Y. Inversement celui qui se trouve exactement sur la gauche est vu projeté vers l'avant avec un blueshift z+1=1/Y. Aucun ne répond au problème.

pas d'accord avec toi sur cette phrase mais pour l'heure, cela n'a pas grande importance qu'on s'y attaque.ce qui est important c'est ceci :

A l'évènement exact où les objets se croisent ils sont confondus : aucun ne peut émettre vers l'autre et un seul évènement ne donne pas un intervalle, donc pas de shift mesurable. C'est pour ça que les carrés dans lesquels je fais du Minkowski décrivent un infinitésimal juste après (j'aurais pus faire juste avant pour le blue). Dans mes exemples je prends quasi toujours des observateurs au dessus donc je multiplie des redshifts : éloignement RR * au dessus RG. Mais si je prenais un observateur en dessous je multiplierais des blueshift : rapprochement RR * en dessous RG.

Nous sommes tous deux d'accord sur cette analyse.

Après pour un cas plus général que ce que voit un observateur sur la radiale du chuteur, il faudrait qu'on soit aussi au clair avec mach3