Rayon de Schwarzschild et vitesses de libération

[bernarddo]

On peut exprimer le rayon de Schwartzschild par l’expression :

Rs = 2GM/c^2 qu’on peut aussi écrire c = (2GM/Rs)^1/2

On y reconnaît ainsi, (et très logiquement), la formule bien connue de la vitesse de libération pour un astre de masse M et de rayon Rs.

Vlib = (2GM/Rs)^1/2

On constate donc que la seule possibilité de raccord continu d’un espace-temps étendu à r < Rs avec l’espace temps réel pour r > Rs, passe mathématiquement par un dépassement continu et progressif de la vitesse de la lumière, dont la fixité interdit l’existence.
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[mach3]

Dans le cadre de la solution de Schwarzschild, la vitesse de libération est la vitesse relative entre un immobile (se maintenant à un rayon aréal fixe) et un corps en mouvement libre qui :
-soit arrive d'un lieu de rayon aréal arbitrairement grand avec une vitesse initiale arbitrairement petite (géodésique "entrante")
-soit part vers un lieu de rayon aréal arbitrairement grand qu'il atteindra avec une vitesse arbitrairement petite (géodésique "sortante")
D'un point de vue énergétique, on dira en mécanique classique que l'énergie mécanique d'un tel corps est nul (son énergie cinétique augmentant quand son énergie potentiel diminue et vice-versa).

Sa définition est donc liée à l'existence d'un immobile par rapport auquel on la mesure. Pour un rayon aréal inférieur au rayon de Schwarzschild, il n'existe pas d'immobile, donc la vitesse de libération n'est pas définie.

Cela peut se constater graphiquement avec les coordonnées de Lemaitre (ici en version "entrantes") : les lignes de rayon aréal constant sont penchées à 45° alors que les corps qui chutent depuis l'infini à vitesse nulle (qui vont donc à la vitesse de libération au moins sur le domaine où elle est définie) ont des lignes d'univers verticales qui sont les axes de symétrie des cônes de lumière.
Pour un rayon aréal supérieur au rayon de Schwarzschild, le demi-angle de la représentation d'un cône de lumière est supérieur à 45° et donc les lignes à 45° que sont les lignes de rayon aréal constant sont des lignes d'univers. Il existe des lignes d'univers le long desquelles le rayon aréal augmente au cours du temps.
Pour un rayon aréal inférieur au rayon de Schwarzschild, le demi-angle de la représentation d'un cône de lumière est inférieur à 45° et donc les lignes à 45° que sont les lignes de rayon aréal constant ne sont pas des lignes d'univers. Il n'existe aucune ligne d'univers le long de laquelle le rayon aréal augmente au cours du temps.

m@ch3