Fermeture topologique de l'univers.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Avant de me lancer dans ce fil, je tiens à vous prévenir que mes connaissances en astrophysique sont quasi inexistantes. Alors, si vous trouvez que je raconte des bêtises, soyez un peu indulgent.

En mathématiques, et plus précisément, en topologie, on rencontre dans tout cours de niveau L3 la notion de fermeture topologique d'une partie d'un espace topologique muni d'une base d'ouverts engendrant sa topologie.

Une base locale d'ouverts permet de construire un chemin discret de points qu'on appelle suite . Il existe une infinité de chemins discret d'ailleurs sur en général.

Par définition, une partie est topologiquement fermé si et seulement tout chemin discret de points converge nécessairement vers un point de ( i.e, ne peut pas se trouver à l’extérieur de dans )

S'il existe un seul chemin au moins qui converge vers un point d'aboutissement situé à l’extérieur de dans , alors n'est pas topologiquement fermé dans ( i.e, il existe de petites fenêtres de où sortir de l’intérieur de )

Revenons maintenant à notre sujet en lien avec l’astrophysique,

Si on identifie notre univers physique dans lequel nous vivons, à , est ce que notre univers est topologiquement fermé ?

Est ce qu'il y a des théories cosmologiques ou astrophysiques qui s’intéressent à ce sujet ?

Merci d'avance.
-----

[ThM55]

Je ne comprends pas ta définition d'un A "topologiquement fermé". Contre exemple: dans je considère l'intervalle fermé . La suite démarre en . Pour trouver le suivant, j'ajoute un petit incrément irrationnel, par exemple . Si je sors de l'intervalle, j'y retourne en prenant le résultat modulo 1 (qui est la partie fractionnaire). Donc où les accolades désignent la partie fractionnaire. C'est une suite infinie non périodique (évident, sinon l'incrément serait rationnel) et qui ne converge pas. Pourtant ce serait dommage de ne pas considérer [0,1] comme fermé.

Il existe dans les cours de topologie une définition des fermés: ceux qui contiennent leurs points d'accumulation, eux-mêmes étant des limites de suites de l'ensemble. N'est-ce pas ce que tu voulais dire? Il faudrait revoir la définition.

En ce qui concerne la cosmologie, je me souviens que Jean-Pierre Luminet et d'autres (comme Ellis) avaient proposé d'introduire des conditions de périodicité dans les espaces décrits par la métrique de FLRW. Par exemple pour K=0, on peut identifier les points et , ce qui en fait un tore compact (donc fermé au sens topologique). Il y a de nombreux exemple aussi, plus compliqués à décrire, pour les espaces sphériques et hyperboliques, c'est d'ailleurs un domaine particulier de la géométrie en général. Stephen Weinberg règle leur compte à ces hypothèses dans son traité "Cosmology" en expliquant qu'elle sont mal motivées: d'abord elles brisent la symétrie rotationnelle de la métrique FLRW, il semble donc injustifié d'imposer ces conditions de périodicité tout en se limitant à la géométrie localement décrite par cette métrique. J'ajouterais que créer des hypothèses de géométrie globale aussi peu précises, puisqu'il y a un grand nombre de possibilités, c'est introduire une complexité sans aucune raison observationnelle qui l'impose ou le suggère. On ne peut pas considérer cela comme de la "bonne science". Au contraire, nous devons considérer en cosmologie que nous observons l'univers localement et en faire le modèle le plus simple.

On peut comparer cela avec les modèles non homogènes qui possèdent des symétries correspondant aux algèbres de Lie de dimension 3 (les géométries de Bianchi); ce genre d'hypothèse est intéressante car elle décrit des symétries qui sont applicables localement et donc potentiellement observables, même de manière très indirecte. La périodicité a un autre statut en tant qu'hypothèse car c'est une propriété purement globale, elle n'a pas de signature locale. Le seul moyen de la vérifier serait son observation directe.

[pm42]

Je doute de la cohérence de l'énoncé. Déjà, si notre Univers est A, qu'est X ?
Et si on définit X ce qui semble pire que spéculatif quelle est la base d'ouverts de X ?

[Anonyme007]

N'est-ce pas ce que tu voulais dire? Il faudrait revoir la définition.

Voici la définition correcte,

est topologiquement fermé si et seulement si, pour tout suite convergente , si converge vers , alors, nécessairement .

Stephen Weinberg règle leur compte à ces hypothèses dans son traité "Cosmology" en expliquant qu'elle sont mal motivées: d'abord elles brisent la symétrie rotationnelle de la métrique FLRW

Qu'entends tu par le vocable : briser la symétrie ? J'entends beaucoup parler de cette expressions en physique des particules, mais, je n'ai jamais compris ce que ça signifie ? et quel lien a t-elle avec la métrique d'une géométrie ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Je doute de la cohérence de l'énoncé. Déjà, si notre Univers est A, qu'est X ?
Et si on définit X ce qui semble pire que spéculatif quelle est la base d'ouverts de X ?

Impossible pour tout un chacun de répondre à ces deux questions. C'est inaccessible à notre portée. Mais, il doit exister une solution pour y remédier.

[pm42]

Impossible pour tout un chacun de répondre à ces deux questions. C'est inaccessible à notre portée. Mais, il doit exister une solution pour y remédier.

Je crois que tout est dit. C'est effrayant.

[ThM55]

Qu'entends tu par le vocable : briser la symétrie ? J'entends beaucoup parler de cette expressions en physique des particules, mais, je n'ai jamais compris ce que ça signifie ? et quel lien a t-elle avec la métrique d'une géométrie ?

Non, excuses. Cela n'a rien à voir avec la "brisure spontanée d'une symétrie" en physique des particules ou dans la physique des transitions de phase.

C'est tout bêtement le fait qu'on part de l'hypothèse d'un espace homogène et isotrope pour ensuite introduire quelque chose comme un réseau cristallin, qui n'a pas ces symétrie. Je retranscris l'argument donné par Weinberg, je ne suis pas certain de bien le comprendre et je ne connais pas bien les travaux de Luminet à ce sujet (j'ai juste le souvenir d'un article publié il y a longtemps). Ce que Weinberg semble dire c'est "pourquoi alors postuler la métrique symétrique?". Je crois que c'est surtout qu'il n'avait pas envie de s'encombrer de ces hypothèses dans son bouquin.