Question Topologique

[invite4b03bb8f]

Bonjour,

J'ai une petite question sur laquelle j'ai beaucoup de doute. Je vous remercie par avance de votre aide.

Considérons une fonction continue définie de l'espace topologique dans et soit
Considérons les ensembles suivants:



Question: Comment on peut démontrer que . On désigne par $cl(A)$ la fermeture de l'ensemble .

J'attends vos réponse, et merci par avance
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[toothpick-charlie]

tu peux essayer de montrer que A est fermé et que tout fermé contenant B contient A.

[invite4b03bb8f]

tu peux essayer de montrer que A est fermé et que tout fermé contenant B contient A.

Merci pour la réponse. Mais comment je vais montrer que tout fermé contenant B contiendrait nécessairement A.

[invite76543456789]

Salut,
Tu vas avoir du mal a la montrer, c'est faux.
Prend f de R dans R, constante egale à 1, et x_0=0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b03bb8f]

Salut,
Tu vas avoir du mal a la montrer, c'est faux.
Prend f de R dans R, constante egale à 1, et x_0=0.

Merci pour la réponse;

Je comprends pas, tu peux pas fixer [TEX]f[\TEX] comme étant une constante car est une donnée

[toothpick-charlie]

Salut,
Tu vas avoir du mal a la montrer, c'est faux.
Prend f de R dans R, constante egale à 1, et x_0=0.

hé hé, je crois que j'ai foncé tête baissée...

pour rabine : il n'y a pas que les fonctions constantes qui vont poser problème. Si f est bornée et x0 un point tel que f(x0) est maximal, B est vide et A non, et donc ne peut être la fermeture de B.

[invite76543456789]

Je dis que le resultat est faux... Ca ne marche pas, et pour te prouver ca je te donne un contre exemple.
Si ton theoreme etait vrai, il devrait s'appliquer au cas d'une fonction constante, (continue donc) de R dans R, et qui vaut 1, avec x_0=0.
Or dans ce cas la, A(x_0), c'est R tout entier, et B(x_0) c'est vide. Donc A(x_0) n'est pas l'adherence de B(x_0), c'est donc que le resultat est faux.

[invite4b03bb8f]

Merci pour vos réponses mes amis. Donc il faut supposer que pour tout il existe au moins tel que . Autrement dit l'intérieur de il faut qu'il soit non vide ( ou bien est non vide).


Cordialement, merci beaucoup pour le contre exemple.

[invite76543456789]

Non, mais avec ces hypothese ca ne fonctionne pas.

Prenez la réunion disjoint de deux copies de R.
Sur la premiere copie f est une fonction strictement positive, et sur la deuxième f est identiquement nulle. Si x_0 est un point de la seconde copie.
Alors B(x_0)=R, et A(x_0)=R union disjointe R.

[invite4b03bb8f]

Non, mais avec ces hypothese ca ne fonctionne pas.

Prenez la réunion disjoint de deux copies de R.
Sur la premiere copie f est une fonction strictement positive, et sur la deuxième f est identiquement nulle. Si x_0 est un point de la seconde copie.
Alors B(x_0)=R, et A(x_0)=R union disjointe R.

Merci MissPacMan, effectivement même avec la condition en question c'est pas toujours suffisant. Est ce que vous voyez des conditions suffisantes pour le problème?


Merci par avance

[invite4b03bb8f]

Non, mais avec ces hypothese ca ne fonctionne pas.

Prenez la réunion disjoint de deux copies de R.
Sur la premiere copie f est une fonction strictement positive, et sur la deuxième f est identiquement nulle. Si x_0 est un point de la seconde copie.
Alors B(x_0)=R, et A(x_0)=R union disjointe R.

Ma condition précédente est suffisante si la fonction est concave.

[Tryss]

Ma condition précédente est suffisante si la fonction est concave.

Ca n'est pas non plus suffisant.

La fonction f(x) = -x² définie sur [-1,1] est concave, A(1) = {-1} U {1} mais B{1) est vide

[toothpick-charlie]

ça marche déjà si f est injective. D'autre part, il ne faut pas que f ait un maximum local. On doit pouvoir montrer qu'une fonction continue sans maximum local est injective. Ce serait une CNS.

[toothpick-charlie]

On doit pouvoir montrer qu'une fonction continue sans maximum local est injective.

ben non, c'est évidemment faux. Décidément...

[invite4b03bb8f]

Ca n'est pas non plus suffisant.

La fonction f(x) = -x² définie sur [-1,1] est concave, A(1) = {-1} U {1} mais B{1) est vide

Non sur cet exemple, la condition décrite au dessus n'est pas satisfaite. Merci