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Équations différentielles - méthode ?



  1. #1
    Lennou

    Équations différentielles - méthode ?


    ------

    Bonjour!
    Au cours de mes révisions je suis arrivée aux équations diff', j'ai constaté qu'il y a beaucoup de façons de les résoudre selon les cas.

    Je n'arrive pas à comprendre comment il faut savoir quelle méthode utiliser.

    J'ai de plus constaté qu'on procède à des substitutions, mais jamais de la même chose.

    Par ex, pour on pose

    Pour on pose

    Pour on pose

    Comment savoir quoi mettre ?
    Je vous remercie d'avance pour vos réponses

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    danyvio

    Re : Équations différentielles - méthode ?

    C'est un peu loin, mais je me souviens qu'il fallait :
    1) connaître par coeur certaines conventions (comme celles que tu as indiquées + d'autres...)
    2) faire preuve d'intuition
    3) faire des exos
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  4. #3
    invite06622527

    Re : Équations différentielles - méthode ?

    Bonjour Lennou,

    Il existe différentes sortes ou genres d'équations différentielles.
    La première chose est de les distinguer entre elles et de savoir les reconnaitre.
    Lorsqu'on rencontre une équation différentielle dont on a reconnu à quel genre elle appartient, encore faut-il avoir appris la méthode de résolution correspondant à ce genre là. Et on applique cette méthode.
    Il faut savoir aussi qu'il y a des genres d'équations différentielles pour lesquelles on ne connait pas de méthode de résolution analytique, ou pour lesquelles il serait trop compliqué et conduirait à des solutions sous forme de formules tellement lourdes qu'elles seraient inutilisables en pratique. Dans ces cas là, les résultats sont obtenus par des méthodes de calcul numérique (et non de formules). C'est d'ailleurs ce qui est le plus fréquent en physique et industrie. Mais pas de risque dans le cadre scolaire : les problèmes sont sélectionnés pour que l'étudiant ne rencontre pas ces difficultés (sauf dans l'enseignement des méthodes numériques, bien évidemment).
    Les trois équations que tu cites font partie de la grande catégorie des "équations différentielles linéaires". Mais elles sont de genres différents, donc faisant appel à des méthodes différentes (La première "à coefficients constants", la seconde est "homogène" (à coefficients variables), la troisième est aussi "à coefficients constants" mais "avec second membre").
    C'est en apprenant et en faisant des exercices qu'on les reconnait et que l'on choisi la méthode de résolution associée. De plus, on apprend aussi des astuces qui permettent, dans certains cas qu'on reconnait, d'aller plus vite et avec moins d'efforts. C'est le cas le ton troisième exemple : l'astuce est que l'on connait d'avance la forme générale des solutions (encore faut-il calculer les paramètres inclus dans cette fprme générale), ce qui néanmoins simplifie beaucoup les calculs par rapport à la méthode associée qui conduirait à coup sûr au même résultat, mais avec des calculs plus pénibles).

  5. #4
    Lennou

    Re : Équations différentielles - méthode ?

    Merci pour vos réponses!

    J'essaye de faire actuellement des exercices pour m'entraîner mais à chaque exercice correspond une situation différente donc je peine un peu.
    Mais maintenant je sais à peu près les différencier grâce a vos explications.

    J'ai rencontré 2 équations que je trouve similaires mais dont la méthode de résolution est différente.

    on choisit

    et pour on choisit

    Y'a-t-il une explication ou c'est une fois de plus une convention ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite06622527

    Re : Équations différentielles - méthode ?

    Les deux équations sont très différentes, bien que toutes deux "linéaires" et "à coefficients variables". En effet, la première est "homogène" avec "second membre", alors que la seconde n'est pas homogène et est sans second membre.
    Pour la première , y=a*x^4 n'est pas bon. C'est y=a*x^6. Mais ceci n'est pas la méthode et ne donne pas les solutions de l'équation. La méthode, dans ce cas, consiste d'abord à résoudre l'équation rendue homogène sans second membre (c'est à dire avec =0 au lieu de =x^4). Ensuite, il faut trouver une solution particulière qui sera ajoutée aux solutions précédentes. C'est dans la recherche d'une solution particulière que y=a*x^6 intervient et seulement dans cette partie de la méthode.

    Pour la seconde, y=x est une solution particulière "évidente", qui ne résout pas totalement l'équation, mais qui aide grandement à trouver l'ensemble des solutions (je parlais "d'astuces" que l'on voyait dans certains cas). La méthode applicable aux équations "homogènes" ne s'applique pas, bien sûr.

    J'ai l'impression que "tu mets la charue devant les boeufs" comme on dit. En piochant au hasard dans les équations différentielles, on ne fait que s'embrouiller. On pourrait continuer longtemps comme cela avec des comparaisons approximatives.
    Il vaut mieux s'attacher à bien connaitre un genre précis d'équations et à bien maîtriser sa méthode de résolution. Ensuite, en apprendre un autre et ainsi de suite, sans faire de confusion tout en étendant son champ de connaissances.
    Dernière modification par JJacquelin ; 04/09/2012 à 12h00.

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