Equations différentielles

[invited009b556]

Bonjour , j'ai un exercice sur les équations diff' :
On considere l'equation diferentielle
y'' + 2y' + y = g(x) (1)
ou g : R ! R est une fonction continue.
1. Resoudre l'equation homogene associee a (1).
2. Resoudre (1) si g(x) = sin(x).
3. Resoudre (1) si g(x) = x + sin(x)

pour la 1) j'ai trouvé r²+2r+1=0
les solutions sont e^-rx et xe^-rx
la 2 je ne vois pas comment procéder pour avoir une solution particulière du 2nd membre . parce que j'ai toujours eu dans les exercices des expressions en rapport avec des polynômes ou exponentielle , mais là le rapport avec l'exponentielle c'est e^ix-e^-ix/2 mais je n'arrives pas à résoudre ça ?..
merci de votre aide
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[0577]

Bonsoir,
lorsque le second membre est de la forme cos x, sin x ou plus généralement a cos x + b sin x,
il faut chercher une solution particulière de la forme A cos x + B sin x : en remplaçant
dans les équations et en identifiant les coefficients des sin et des cos, on obtient deux
équations pour A et B.
Pour 3, il suffit de se rappeler que l'équation est linéaire.

(Remarque : quelque soit le second membre, on peut trouver une solution particulière par la méthode de
la variation de la constante. Ce n'est bien sûr pas la méthode à utiliser car pas la plus simple pour les
seconds membres de forme "classique" mais c'est assez rassurant de savoir que ça existe et c'est en
tout cas une manière systématique de procéder si on a oublié les formes particulières).

[invited009b556]

oui mais il n'y a pas de cos là donc le coef est quoi zéro ?

[gg0]

C'est bizarre !

J'ai déjà vu cet énoncé avec exactement la même question, et aussi l'incompréhension face à des réponses qui ne sont pas : voilà la solutions".
Hollye, 0577 t'a donné la méthode, tu l'appliques !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

oui mais il n'y a pas de cos là donc le coef est quoi zéro ?

Comme tu va dériver, il est normal de garder des sin et des cos.

Une autre méthode, plus proche de ce que l'on ferait en électronique par exemple, est de dire que g(x) est la partie réelle d'une fonction complexe, et de chercher y sous la forme Kexp(ax) où K et a sont deux constantes faciles à identifier

[invited009b556]

je trouves (A+3B)cosx + (B-3A)sinx donc sinx = B-3A et ensuite?

[inviteaf1870ed]

Je ne comprends pas comment tu arrives à ce résultat : si y=Acosx+Bsinx, que vaut y"+2y'+y ?
Ensuite, quelle valeur faut il donner à A et B pour que y"+2y'+y=sin(x) ?

[invited009b556]

j'ai derivé deux fois et je trouves y"+2y'+y= 2Bcos(x)+(2B-2A)sin(x)

[inviteaf1870ed]

Ca n'est pas juste, refais tes calculs

[invited009b556]

y"+2y'+y= 2Bcos(x)-2Asin(x) plutôt ?

[inviteaf1870ed]

Oui plutot
Il est alors facile de voir quelles valeurs donner à A et B pour que y"+2y'+y=sin(x), non ?

[invited009b556]

donc -2A=1
et 2B=0 donc A=-1/2 et B=0
et ensuite l'équation c'est -1/2sin(x) ?

[invited009b556]

c'est bon donc ?

[inviteaf1870ed]

Si y=-1/2 sin(x), a t on y"+2y'+y=sin(x) ? Si oui, tu as trouvé une solution particulière de ton équation, et c'est ce que tu cherchais.

[invited009b556]

non j'obtiens -cos(x) donc ça marche pas
c'est -sin(x) mais quand je remplaces c'est pareil je tombe sur 2cosx et non sinx..

[inviteaf1870ed]

Bizarre : tu as fait le calcul pour Acos+Bsin, trouvé que dans ce cas y"+2y'+y=2Bcos-2Asin, puis donné les valeurs B=0 et A=-1/2 et ça ne marche pas ?
Tu t'es encore trompé !
On recommence : posons y=-1/2 cos(x), alors y'=1/2 sin(x) et y"=1/2 cos(x)
Donc y"+2y'+y=1/2 cos(x)+2*1/2 sin(x)-1/2 cos(x) = sin(x) non ?
Tu as bien une solution particulière de ton équation

[invited009b556]

ce que je ne comprends pas c'est pourquoi c'est y=-1/2cos(x) c'est pas 1/2sin(x) parce que moi j'ai remplacé dans y"+2y'+y=2Bcos-2Asin A par -1/2 et B par 0 .
c'est pour que j'ai pris y = 1/2sinx

[inviteaf1870ed]

Hmmmm.....tu t'embrouilles.

Récapitulons : tu cherches une fonction inconnue y, telle que y"+2y'+y=sin(x) (E)

On t'a proposé de chercher une telle fonction sous la forme y=Acos(x)+Bsin(x).
Tu as alors trouvé que pour être solution de (E), il était nécessaire que A=-1/2 et B=0.
Tu vérifies ensuite que c'est également une condition suffisante en vérifiant que y=-1/2cos(x) est bien une solution de (E).

Où est la difficulté ?

[invited009b556]

Ah oui c'est bon , je m'embrouillais , dans ma tête j'avais Asin(x)+ Bcos(x) ..
Merci !