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Equations différentielles



  1. #1
    hollye

    Equations différentielles


    ------

    Bonjour , j'ai un exercice sur les équations diff' :
    On considere l'equation di ferentielle
    y'' + 2y' + y = g(x) (1)
    ou g : R ! R est une fonction continue.
    1. Resoudre l'equation homogene associee a (1).
    2. Resoudre (1) si g(x) = sin(x).
    3. Resoudre (1) si g(x) = x + sin(x)

    pour la 1) j'ai trouvé r²+2r+1=0
    les solutions sont e^-rx et xe^-rx
    la 2 je ne vois pas comment procéder pour avoir une solution particulière du 2nd membre . parce que j'ai toujours eu dans les exercices des expressions en rapport avec des polynômes ou exponentielle , mais là le rapport avec l'exponentielle c'est e^ix-e^-ix/2 mais je n'arrives pas à résoudre ça ?..
    merci de votre aide

    -----

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  3. #2
    0577

    Re : Equations différentielles

    Bonsoir,
    lorsque le second membre est de la forme cos x, sin x ou plus généralement a cos x + b sin x,
    il faut chercher une solution particulière de la forme A cos x + B sin x : en remplaçant
    dans les équations et en identifiant les coefficients des sin et des cos, on obtient deux
    équations pour A et B.
    Pour 3, il suffit de se rappeler que l'équation est linéaire.

    (Remarque : quelque soit le second membre, on peut trouver une solution particulière par la méthode de
    la variation de la constante. Ce n'est bien sûr pas la méthode à utiliser car pas la plus simple pour les
    seconds membres de forme "classique" mais c'est assez rassurant de savoir que ça existe et c'est en
    tout cas une manière systématique de procéder si on a oublié les formes particulières).
    Dernière modification par 0577 ; 14/05/2012 à 20h00.

  4. #3
    hollye

    Re : Equations différentielles

    oui mais il n'y a pas de cos là donc le coef est quoi zéro ?

  5. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Equations différentielles

    C'est bizarre !

    J'ai déjà vu cet énoncé avec exactement la même question, et aussi l'incompréhension face à des réponses qui ne sont pas : voilà la solutions".
    Hollye, 0577 t'a donné la méthode, tu l'appliques !!

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ericcc

    Re : Equations différentielles

    Citation Envoyé par hollye Voir le message
    oui mais il n'y a pas de cos là donc le coef est quoi zéro ?
    Comme tu va dériver, il est normal de garder des sin et des cos.

    Une autre méthode, plus proche de ce que l'on ferait en électronique par exemple, est de dire que g(x) est la partie réelle d'une fonction complexe, et de chercher y sous la forme Kexp(ax) où K et a sont deux constantes faciles à identifier

  8. #6
    hollye

    Re : Equations différentielles

    je trouves (A+3B)cosx + (B-3A)sinx donc sinx = B-3A et ensuite?

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  10. #7
    ericcc

    Re : Equations différentielles

    Je ne comprends pas comment tu arrives à ce résultat : si y=Acosx+Bsinx, que vaut y"+2y'+y ?
    Ensuite, quelle valeur faut il donner à A et B pour que y"+2y'+y=sin(x) ?

  11. #8
    hollye

    Re : Equations différentielles

    j'ai derivé deux fois et je trouves y"+2y'+y= 2Bcos(x)+(2B-2A)sin(x)

  12. #9
    ericcc

    Re : Equations différentielles

    Ca n'est pas juste, refais tes calculs

  13. #10
    hollye

    Re : Equations différentielles

    y"+2y'+y= 2Bcos(x)-2Asin(x) plutôt ?

  14. #11
    ericcc

    Re : Equations différentielles

    Oui plutot
    Il est alors facile de voir quelles valeurs donner à A et B pour que y"+2y'+y=sin(x), non ?

  15. #12
    hollye

    Re : Equations différentielles

    donc -2A=1
    et 2B=0 donc A=-1/2 et B=0
    et ensuite l'équation c'est -1/2sin(x) ?

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  17. #13
    hollye

    Re : Equations différentielles

    c'est bon donc ?

  18. #14
    ericcc

    Re : Equations différentielles

    Si y=-1/2 sin(x), a t on y"+2y'+y=sin(x) ? Si oui, tu as trouvé une solution particulière de ton équation, et c'est ce que tu cherchais.

  19. #15
    hollye

    Re : Equations différentielles

    non j'obtiens -cos(x) donc ça marche pas
    c'est -sin(x) mais quand je remplaces c'est pareil je tombe sur 2cosx et non sinx..

  20. #16
    ericcc

    Re : Equations différentielles

    Bizarre : tu as fait le calcul pour Acos+Bsin, trouvé que dans ce cas y"+2y'+y=2Bcos-2Asin, puis donné les valeurs B=0 et A=-1/2 et ça ne marche pas ?
    Tu t'es encore trompé !
    On recommence : posons y=-1/2 cos(x), alors y'=1/2 sin(x) et y"=1/2 cos(x)
    Donc y"+2y'+y=1/2 cos(x)+2*1/2 sin(x)-1/2 cos(x) = sin(x) non ?
    Tu as bien une solution particulière de ton équation

  21. #17
    hollye

    Re : Equations différentielles

    ce que je ne comprends pas c'est pourquoi c'est y=-1/2cos(x) c'est pas 1/2sin(x) parce que moi j'ai remplacé dans y"+2y'+y=2Bcos-2Asin A par -1/2 et B par 0 .
    c'est pour que j'ai pris y = 1/2sinx

  22. #18
    ericcc

    Re : Equations différentielles

    Hmmmm.....tu t'embrouilles.

    Récapitulons : tu cherches une fonction inconnue y, telle que y"+2y'+y=sin(x) (E)

    On t'a proposé de chercher une telle fonction sous la forme y=Acos(x)+Bsin(x).
    Tu as alors trouvé que pour être solution de (E), il était nécessaire que A=-1/2 et B=0.
    Tu vérifies ensuite que c'est également une condition suffisante en vérifiant que y=-1/2cos(x) est bien une solution de (E).

    Où est la difficulté ?

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  24. #19
    hollye

    Re : Equations différentielles

    Ah oui c'est bon , je m'embrouillais , dans ma tête j'avais Asin(x)+ Bcos(x) ..
    Merci !

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