dm équations différentielles

[invite1f8c9660]

voilà j'ai un exercice à rendre lundi et je ne comprends pas

Dans le traitement de tumeurs par irridaton, la proporton f(x) de celules cancéreuses résistant au traitement, est fonction de la dose x d'exposition aux raypns. Lorsque chaque cellule présente deux points d'attaque, cette fonction peut être décrite par f(x)=1-(1-e^(-kx))², où k est la taille moyenne d'une cellule (on a k>0)

1) déterminer la valeur de f(0) et la limite de f en +oo

2) calculerf'(x) et déterminer le sens de variation de f

3) tracer la courbe (C) de f dans le plan muni d'un repère (cas où k=1)

4) soit A le point de la courbe d'abscisse (1/k)ln2

a) préciser l'ordonnée de A et déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en A sous la forme y=g(x)

Dans toute la suite, on étudie les positions relatives de (C) et (T)

b) on pose q(x) = f(x) - g(x) calculer q'(x) puis q'((1/k)ln2)

c) étudier le sens de variation de q' sur [0, +oo[. En déduire le signe de q'

d) Etudier alors le sens de ariation de q puis le signe de q.
En déduire que (C) traverse la tangent (T) au point A.


pour la première question j'ai trouvé f(0)=-1 . est ce que c'est juste ??

tout aide est la bienvenue
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[invite1237a629]

Euh, rien que pour la première question, f(0) n'est pas égale à -1... e^0 = 1

Ensuite, qu'est-ce que tu n'as pas compris dans l'exercice ?

Nous ne sommes pas là pour résoudre les exercices, ceux qui posent des questions doivent montrer qu'ils ont cherché

[invite1f8c9660]

bon j'ai rechercher f(0) et je trouve 1.
Ensuite je ne vois pas du tout comment trouver la limite.
Je demande juste les méthodes pour faire l'exercice
merci de votre reponse

[invite1237a629]

Yep, alors pour la limite, on te demande de faire tendre vers l'infini.



e^(-k*x) se comporte comme une puissance, dans le sens où c'est égal à 1/e^(k*x)

Or, quand x tend vers l'infini, k*x tend vers l'infini (k > 0).
Donc e^(k*x) tend vers l'infini
Donc 1/e^(k*x) tend vers... ?

La fonction est de la forme 1-u². Sa dérivée est donc (1)' - (u²)' = ?? - 2u*u'

Là, je t'ai déjà pas mal aidé pour les deux premières questions

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1f8c9660]

1/e^kx tend vers 0

donc lim f(x) = 1

[invite1f8c9660]

pour la dérivée de f(x) je trouve f'(x) =1-[(2-2e^-kx)*(1-(e^kx*(-k))]

La fonction est de la forme 1-u². Sa dérivée est donc (1)' - (u²)' = ?? - 2u*u'
avec 2u*u'=2(1-e^-kx)*[1-(e^-kx *(-k)]
car (1-e^-kx)'=[1-(e^-kx *(-k)]

est ce que c'est juste ?

[invite1237a629]

La dérivée d'une constante est 0

[invite1f8c9660]

je trouve f'(x)=2e^-kx + 2k - 2(e^-kx)² - 2e^-kx * k

je ne sais pas si c'est juste encore