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DM sur les équations différentielles



  1. #1
    titejeny8509

    DM sur les équations différentielles


    ------

    voilà j'ai un dm à rendre lundi et je bloque dès la première question.

    Un biologiste observe la croissance d'une population de bactéries en milieu fermé. La population initiale est de 100 bactéries. La capacité maximale du milieu est de 1000 bactéries. Soit N(t) le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en heures). Les observations faites conduisent à modéliser la situation par l'équation différentielle N'(t)=0,07N(1-10^-3 N) appelée équation logistique.

    a) on pose P(t)=1/N(t) avec N(t)différent de 0. Démontrer que la fonction P est solution de l'équation différentielle P'=-0,007P+7*10^-5

    b) en déduire l'expression de P(t) puis celle de N(t)

    c) Tracer la représentation graphique de N. Quel est le nombre de bctéris au bout de 50heures ? au bout de combien de temps le nombre de bactéries sera-t-il égal à 90% de l capacité du milieu?


    Tout aide est la bienvenue !!

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : DM sur les équations différentielles

    Si P = 1/N, il y a de fortes chances que N = 1/P.
    Alors comment s'écrit N' ?

  4. #3
    titejeny8509

    Re : DM sur les équations différentielles

    je ne comprends pas du tout

  5. #4
    titejeny8509

    Re : DM sur les équations différentielles

    aidez moi svp !! je suis perdue

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : DM sur les équations différentielles

    Tu poses, comme on te le suggère :
    N= 1/P
    Que vaut la dérivée de la fonction 1/P ? c'est dans ton cours. Ca, c'est N'.

    Ensuite tu reprends l'équation de départ :
    N'(t)=0,07N(1-10^-3 N)

    Tu remplaces N' par ce qu'on vient de voir et N par 1/P et ça te donne ce que tu cherches (pas sûr que tu aies bien recopié, faut voir).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    titejeny8509

    Re : DM sur les équations différentielles

    j'ai trouver P' = [(1/P)-(0,07(1/P)(1-10^-3(1/P))] / (1/P)²

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  10. #7
    Jeanpaul

    Re : DM sur les équations différentielles

    Il y a plusieurs erreurs, peux-tu détailler très précisément tes calculs, STP ? Et essayer de trouver le résultat qu'on te donne si gentiment.

  11. #8
    titejeny8509

    Re : DM sur les équations différentielles

    P' = (u'v- uv') /v²

    u=1 et u'=1
    v=N et v'= 0,07N(1-10^-3 N)

    P'=(N-1(0,07N(1-10^-3 N) / N²
    P'=(N-(0,07N(1-10^-3 N) / N²
    P'=(1/P)-(0,07(1/P))(1-10^-3(1/P)) / (1/P)²

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : DM sur les équations différentielles

    Ce u=1 donc u'=1 m'interpelle fortement, il y a comme un os.

    Ce qu'il faut écrire c'est que si N = 1/P alors N' = -P'/P²
    Ensuite tu remplaces les N par des 1/P à droite et ça s'arrange superbement.

  13. #10
    titejeny8509

    Re : DM sur les équations différentielles

    c'est bon j'ai trouver, merci de votre aide ! maintenant je cherche P(t) je suis en train de résoudre l'équation différentielle

  14. #11
    titejeny8509

    Re : DM sur les équations différentielles

    est ce que quelqu'un peut m'aider j'ai trouvé p(t)=ke^(-0,07t)+0,001

    donc pour trouver k j'ai pris à t=o la population de bactéries est de 100, c'est à dire f(0)=100
    et je trouve k= 99,999

    ça me parait bizarre
    est ce que quelqu'un peut me dire si c'est bon ?

  15. #12
    Jeanpaul

    Re : DM sur les équations différentielles

    Le 0,001 n'est pas juste, tu t'es trompée dans les calculs.
    Ensuite il faudrait savoir si dans l'énoncé c'est 0,07 ou 0,007, tu as une contradiction dans ton premier message.

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  17. #13
    titejeny8509

    Re : DM sur les équations différentielles

    alors c'est 0,07 et pour le 0,001 j'ai fais (7*10^-5)/0,07
    qu'est ce que je dois faire alors ?

  18. #14
    Jeanpaul

    Re : DM sur les équations différentielles

    Déjà ne pas oublier que P n'est pas N mais 1/N et qu'à l'instant zéro P n'est donc pas égal à 100.

  19. #15
    titejeny8509

    Re : DM sur les équations différentielles

    je ne comprend pas trop là...

  20. #16
    Jeanpaul

    Re : DM sur les équations différentielles

    Tu as trouvé une équation sympa pour la variable P qui est une variable auxiliaire sans signification. Tu as résolu cette équation, c'est fort bien.
    Il faut connaître la valeur initiale de P. Cette valeur initiale, c'est l'inverse de N initial puisque P c'est l'inverse de N.
    Donc pour t=0 tu prends P=0,01 et là tu déduis la constante.

  21. #17
    titejeny8509

    Re : DM sur les équations différentielles

    je trouve k=0,009 c'est ça ?

  22. #18
    Jeanpaul

    Re : DM sur les équations différentielles

    Ca me paraît bon, maintenant il faut écrire l'équation N(t), pas trop dur quand même.

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