DM sur les équations différentielles
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DM sur les équations différentielles



  1. #1
    invite1f8c9660

    DM sur les équations différentielles


    ------

    voilà j'ai un dm à rendre lundi et je bloque dès la première question.

    Un biologiste observe la croissance d'une population de bactéries en milieu fermé. La population initiale est de 100 bactéries. La capacité maximale du milieu est de 1000 bactéries. Soit N(t) le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en heures). Les observations faites conduisent à modéliser la situation par l'équation différentielle N'(t)=0,07N(1-10^-3 N) appelée équation logistique.

    a) on pose P(t)=1/N(t) avec N(t)différent de 0. Démontrer que la fonction P est solution de l'équation différentielle P'=-0,007P+7*10^-5

    b) en déduire l'expression de P(t) puis celle de N(t)

    c) Tracer la représentation graphique de N. Quel est le nombre de bctéris au bout de 50heures ? au bout de combien de temps le nombre de bactéries sera-t-il égal à 90% de l capacité du milieu?


    Tout aide est la bienvenue !!

    -----

  2. #2
    invitea3eb043e

    Re : DM sur les équations différentielles

    Si P = 1/N, il y a de fortes chances que N = 1/P.
    Alors comment s'écrit N' ?

  3. #3
    invite1f8c9660

    Re : DM sur les équations différentielles

    je ne comprends pas du tout

  4. #4
    invite1f8c9660

    Re : DM sur les équations différentielles

    aidez moi svp !! je suis perdue

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitea3eb043e

    Re : DM sur les équations différentielles

    Tu poses, comme on te le suggère :
    N= 1/P
    Que vaut la dérivée de la fonction 1/P ? c'est dans ton cours. Ca, c'est N'.

    Ensuite tu reprends l'équation de départ :
    N'(t)=0,07N(1-10^-3 N)

    Tu remplaces N' par ce qu'on vient de voir et N par 1/P et ça te donne ce que tu cherches (pas sûr que tu aies bien recopié, faut voir).

  7. #6
    invite1f8c9660

    Re : DM sur les équations différentielles

    j'ai trouver P' = [(1/P)-(0,07(1/P)(1-10^-3(1/P))] / (1/P)²

  8. #7
    invitea3eb043e

    Re : DM sur les équations différentielles

    Il y a plusieurs erreurs, peux-tu détailler très précisément tes calculs, STP ? Et essayer de trouver le résultat qu'on te donne si gentiment.

  9. #8
    invite1f8c9660

    Re : DM sur les équations différentielles

    P' = (u'v- uv') /v²

    u=1 et u'=1
    v=N et v'= 0,07N(1-10^-3 N)

    P'=(N-1(0,07N(1-10^-3 N) / N²
    P'=(N-(0,07N(1-10^-3 N) / N²
    P'=(1/P)-(0,07(1/P))(1-10^-3(1/P)) / (1/P)²

  10. #9
    invitea3eb043e

    Re : DM sur les équations différentielles

    Ce u=1 donc u'=1 m'interpelle fortement, il y a comme un os.

    Ce qu'il faut écrire c'est que si N = 1/P alors N' = -P'/P²
    Ensuite tu remplaces les N par des 1/P à droite et ça s'arrange superbement.

  11. #10
    invite1f8c9660

    Re : DM sur les équations différentielles

    c'est bon j'ai trouver, merci de votre aide ! maintenant je cherche P(t) je suis en train de résoudre l'équation différentielle

  12. #11
    invite1f8c9660

    Re : DM sur les équations différentielles

    est ce que quelqu'un peut m'aider j'ai trouvé p(t)=ke^(-0,07t)+0,001

    donc pour trouver k j'ai pris à t=o la population de bactéries est de 100, c'est à dire f(0)=100
    et je trouve k= 99,999

    ça me parait bizarre
    est ce que quelqu'un peut me dire si c'est bon ?

  13. #12
    invitea3eb043e

    Re : DM sur les équations différentielles

    Le 0,001 n'est pas juste, tu t'es trompée dans les calculs.
    Ensuite il faudrait savoir si dans l'énoncé c'est 0,07 ou 0,007, tu as une contradiction dans ton premier message.

  14. #13
    invite1f8c9660

    Re : DM sur les équations différentielles

    alors c'est 0,07 et pour le 0,001 j'ai fais (7*10^-5)/0,07
    qu'est ce que je dois faire alors ?

  15. #14
    invitea3eb043e

    Re : DM sur les équations différentielles

    Déjà ne pas oublier que P n'est pas N mais 1/N et qu'à l'instant zéro P n'est donc pas égal à 100.

  16. #15
    invite1f8c9660

    Re : DM sur les équations différentielles

    je ne comprend pas trop là...

  17. #16
    invitea3eb043e

    Re : DM sur les équations différentielles

    Tu as trouvé une équation sympa pour la variable P qui est une variable auxiliaire sans signification. Tu as résolu cette équation, c'est fort bien.
    Il faut connaître la valeur initiale de P. Cette valeur initiale, c'est l'inverse de N initial puisque P c'est l'inverse de N.
    Donc pour t=0 tu prends P=0,01 et là tu déduis la constante.

  18. #17
    invite1f8c9660

    Re : DM sur les équations différentielles

    je trouve k=0,009 c'est ça ?

  19. #18
    invitea3eb043e

    Re : DM sur les équations différentielles

    Ca me paraît bon, maintenant il faut écrire l'équation N(t), pas trop dur quand même.

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