DM sur les équations différentielles

[titejeny8509]

voilà j'ai un dm à rendre lundi et je bloque dès la première question.

Un biologiste observe la croissance d'une population de bactéries en milieu fermé. La population initiale est de 100 bactéries. La capacité maximale du milieu est de 1000 bactéries. Soit N(t) le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en heures). Les observations faites conduisent à modéliser la situation par l'équation différentielle N'(t)=0,07N(1-10^-3 N) appelée équation logistique.

a) on pose P(t)=1/N(t) avec N(t)différent de 0. Démontrer que la fonction P est solution de l'équation différentielle P'=-0,007P+7*10^-5

b) en déduire l'expression de P(t) puis celle de N(t)

c) Tracer la représentation graphique de N. Quel est le nombre de bctéris au bout de 50heures ? au bout de combien de temps le nombre de bactéries sera-t-il égal à 90% de l capacité du milieu?


Tout aide est la bienvenue !!
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[Jeanpaul]

Si P = 1/N, il y a de fortes chances que N = 1/P.
Alors comment s'écrit N' ?

[titejeny8509]

je ne comprends pas du tout

[titejeny8509]

aidez moi svp !! je suis perdue

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Tu poses, comme on te le suggère :
N= 1/P
Que vaut la dérivée de la fonction 1/P ? c'est dans ton cours. Ca, c'est N'.

Ensuite tu reprends l'équation de départ :
N'(t)=0,07N(1-10^-3 N)

Tu remplaces N' par ce qu'on vient de voir et N par 1/P et ça te donne ce que tu cherches (pas sûr que tu aies bien recopié, faut voir).

[titejeny8509]

j'ai trouver P' = [(1/P)-(0,07(1/P)(1-10^-3(1/P))] / (1/P)²

[Jeanpaul]

Il y a plusieurs erreurs, peux-tu détailler très précisément tes calculs, STP ? Et essayer de trouver le résultat qu'on te donne si gentiment.

[titejeny8509]

P' = (u'v- uv') /v²

u=1 et u'=1
v=N et v'= 0,07N(1-10^-3 N)

P'=(N-1(0,07N(1-10^-3 N) / N²
P'=(N-(0,07N(1-10^-3 N) / N²
P'=(1/P)-(0,07(1/P))(1-10^-3(1/P)) / (1/P)²

[Jeanpaul]

Ce u=1 donc u'=1 m'interpelle fortement, il y a comme un os.

Ce qu'il faut écrire c'est que si N = 1/P alors N' = -P'/P²
Ensuite tu remplaces les N par des 1/P à droite et ça s'arrange superbement.

[titejeny8509]

c'est bon j'ai trouver, merci de votre aide ! maintenant je cherche P(t) je suis en train de résoudre l'équation différentielle

[titejeny8509]

est ce que quelqu'un peut m'aider j'ai trouvé p(t)=ke^(-0,07t)+0,001

donc pour trouver k j'ai pris à t=o la population de bactéries est de 100, c'est à dire f(0)=100
et je trouve k= 99,999

ça me parait bizarre
est ce que quelqu'un peut me dire si c'est bon ?

[Jeanpaul]

Le 0,001 n'est pas juste, tu t'es trompée dans les calculs.
Ensuite il faudrait savoir si dans l'énoncé c'est 0,07 ou 0,007, tu as une contradiction dans ton premier message.

[titejeny8509]

alors c'est 0,07 et pour le 0,001 j'ai fais (7*10^-5)/0,07
qu'est ce que je dois faire alors ?

[Jeanpaul]

Déjà ne pas oublier que P n'est pas N mais 1/N et qu'à l'instant zéro P n'est donc pas égal à 100.

[titejeny8509]

je ne comprend pas trop là...

[Jeanpaul]

Tu as trouvé une équation sympa pour la variable P qui est une variable auxiliaire sans signification. Tu as résolu cette équation, c'est fort bien.
Il faut connaître la valeur initiale de P. Cette valeur initiale, c'est l'inverse de N initial puisque P c'est l'inverse de N.
Donc pour t=0 tu prends P=0,01 et là tu déduis la constante.

[titejeny8509]

je trouve k=0,009 c'est ça ?

[Jeanpaul]

Ca me paraît bon, maintenant il faut écrire l'équation N(t), pas trop dur quand même.