Un petit ROC non réussi

[invite8e415b37]

Alors voilà j'ai eu un DS de maths avant les vacances et le prof nous l'a rendu sans correction et on doit biens sûr tout corriger

Et le premier exercice est un ROC que je n'ai pas réussi :
Alors l'intitulé est :

On rapelle que :
- La fonction exponentielle est la fonction exp dérivable sur R, solution de l'équation différentielle y'=y, telle que exp(0) = 1.
- Pour tout x réel, exp(-x) = 1/exp(x)
En utilisant les deux rappels ci-dessus démontrer que pour tous réels x et a réels : exp(x+a) = exp(x) * exp(a)
Pour cela introduire la fonction g définie sur R par g(x) = exp(x+a) * exp(-x)

Voilà j'ai besoin d'aide merci beaucoup d'avance!
-----

[invite6ed3677d]

Bonjour,
Je te propose de calculer g', d'en déduire de g est constante sur R, puis de calculer sa valeur (en 0 par exemple) et la solution devrait apparaitre ...

[invite8e415b37]

Bon ben j'essaie mais la dérivée doit être fausse quand je dérive g(x) je trouve :
g'(x) = exp(x)*exp(-x) + exp(x+a)*(-exp(-x))
Et après je bloque

[invite03f2c9c5]

Bonjour, cette dérivée est en effet fausse. Sais-tu dériver une fonction composée ? Par exemple, ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ed3677d]

Bon ben j'essaie mais la dérivée doit être fausse quand je dérive g(x) je trouve :
g'(x) = exp(x)*exp(-x) + exp(x+a)*(-exp(-x))
Et après je bloque

la dérivée de exp(x+a), ce n'est pas exp(x) !!!

[invite8e415b37]

euh ....? les composé je ne sais plus

[invite6ed3677d]

euh ....? les composé je ne sais plus

La dérivée de gof est f' g'of
Ici, f(x) = x+a et g(x) = exp(x)

[invite8e415b37]

ça reste exp(x+a) alors ?

[invite6ed3677d]

ça reste exp(x+a) alors ?

Exact ! et g'(x) = ?

[invite8e415b37]

si mon calcul n'est pas faux j'en arrive a
g'(x) = exp(x+a)*exp(-x) + exp(x+a)*(-exp(-x))
g'(x) = 0

[invite6ed3677d]

si mon calcul n'est pas faux j'en arrive a
g'(x) = exp(x+a)*exp(-x) + exp(x+a)*(-exp(-x))
g'(x) = 0

Ok.
On en conclue que g est ... ?

[invite8e415b37]

on en conclue donc que g est constante !

[invite6ed3677d]

on en conclue donc que g est constante !

Oui ! Mais encore ? ... c'est quoi la suite ?

[invite8e415b37]

alors on a g(x) = exp(x+a) * exp(-x)
on sait que exp(-x) = 1/ exp(x)
On veut démontrer que : exp(x+a) = exp(x) * exp(a)
exp(x+a)/exp(x) = exp(a)
exp(x+a) * exp(-x) = exp (a)
g(x) = exp(a)
donc exp(a) est constante

[invite6ed3677d]

exp(a) est constante

Oui, mais ca on le savait déjà !
On a g(x) = exp(x+a) * exp(-x) = cste = exp(a)
donc
exp(x+a) = ?

[invite8e415b37]

Là je ne vois pas du tout

[invite6ed3677d]

Là je ne vois pas du tout

Tu as
exp(x+a) * exp(-x) = exp(a)

tu cherches exp(x + a)
et tu sais que 1/exp(-x) = exp(x) ...

[invite8e415b37]

exp(x+a)*exp(-x)=exp(a)
exp(x+a)/exp(x)=exp(a)
exp(x+a) = exp(x) +exp(a)

[invite6ed3677d]

exp(x+a) = exp(x) +exp(a)

Petite erreur.


exp(x+a) = exp(x) * exp(a) !!!!

[invite8e415b37]

ok merci beaucoup !!!!!!!!