Nombre d'or

[invitecd5e871b]

bonjour tout le monde,
J'ai un devoir maison de maths à faire sur le nombre d'or et je bloque sur deux questions en particulier qui ne sont pas liées. on notera x le nombre d'or

1) suite (an) an+1 = 1+ 1/an avec a0=2 sachant qu'on a démontrer avant que 1+1/x=x
on a montrer que 3/2 < an < 2 ( cela je l'ai fait)
on a montrer que valeur absolue (an+1 -x) = 4/9 (valeur abosolue (an-x))
(Cela je l'ai fait)
Il faut alors en déduire par récurrence que valeur absolue (an-x) < (4/9) puissance (n-1) * valeur absolue ( a1-x) puis que valeur absolue (an-x) < (4/9) puissance n
J'aimerais bien que vous m'aidiez pour la première partie à démontrer je pense qu'après tout en découle, mais je bloque vraiment

2)suite (bn) bn+1= racine de bn + 1 avec b0=2 sanchant que l'on a démontrer avant que racine 1+x =x
on a montrer que x<bn+1<bn<2
et il faut démontrer que 0<bn+1 -x < (bn - x) / 3
j'arive a démontrer la partie gauche mais pas la partie droite (je sais qu'il faut utiliser la quanttée conjuguée mais je n'y arruive vraiment pas)

Merci d'avance pour votre aide si vous pouvez m'indiquer quelques petites astuces
Si vous voulez demander moi mes résultats
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[CM63]

Très intérressant. Ce sont en effet deux suites dont les rapports de termes consécutifs tendent vers le nombre d'or, mais le texte de l'exercice semble être une façon bien compliquée de le démontrer!

[invite7d436771]

Bonsoir,

Si ça peut t'encourager tu as fais le plus dur ! T'après ton âge je ne sais pas en quelle classe tu es, donc comment tu t'en sors avec les démonstrations par récurrence ... Alors je vais essayer de faire quelque chose d'intermédiaire. Si tu ne comprends pas certaines choses n'hésite pas à demander !

Alors une démonstration par récurrence se décompose e deux grandes parties : l'initialisation et l'hérédité. L'initialisation consiste à vérifier que la propriété que tu souhaites démontrer est vraie pour le premier indice. Ici tu veux montrer : pour n'importe quel , .

Tu vas donc vérifier tout d'abord que c'est vrai pour n=1. C'est cela qu'on appelle initialisation. Alors on peut écrire puisque .

Passons maintenant à l'hérédité. Tu choisis un n quelconque, que tu fixes, et pour lequel tu supposes que la propriété est vraie. Tu vas montrer que la propriété est alors forcement vraie au rang n+1. Tu supposes donc . Tu as montré précedemment . Tu peux donc écrire en multipliant cette relation par 4/9 à gauche et à droite (sans changer le sens de l'inégalité puisque 4/9 est positif) c'est à dire , que tu peux encore écrire donc tu as montré que ta propriété est vraie au rang n+1.

Tu peux alors conclure que comme ta propriété est vraie au rang 1 et que s'il est vraie au rang n elle est aussi vraie au rang n+1, ta propriété va donc être vraie pour tout .

Dis moi déjà si tu as compris ça avant de passer à la suite ...

Cordialement,

Nox

[invitecd5e871b]

ben j'ai un peu de mal en effet, on m'a conseiller de partir de la conclusion mais je ne vois pas comment
et j'ai lu dans le dm qu'il faut utiliser l'expression x = racine(1+x) puis la quantité conjuguée pour la question 2 moi j'obtient
x-x < bn+1 - x < 2-x
0 < racine (bn + 1) - racine (1+x) < 2- racine (1+x)
0 < (bn + 1 - 1 - x) / (racine (bn + 1) + racine (1+x) < (2 - 1 -x) / (2+racine(1+x)
0 < (bn-x) / (racine (bn + 1) + racine (1+x)) < (1-x) / (2+ racine (1+x)
et la je suis bloqué

la première question je 'narrive strictement à ne rien faire uniquement la première étape de la récurrence

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecd5e871b]

jai a peu près compris , je vais essayer de le refaire moi même mais ce que je ne comprend pas c'est que le signe c'est l'inverse valeur absolue (an+1)< ....

[invitecd5e871b]

je viens de la refaire mais pour montrer la première étape je trouve valeur absolue (a1-x) <(ou égal) à valeur absolue de ( a1-x) et non = 1

[invite7d436771]

Bonsoir,

Dans mon message précédent ->ht doit être remplacé par une ) et \vert? par la première barre de la valeur absolue.
Désolé mon éditeur de texte n'utilise pas vraiment les mêmes balises d'où mes erreurs ...

Cordialement,

Nox

[invite7d436771]

je viens de la refaire mais pour montrer la première étape je trouve valeur absolue (a1-x) <(ou égal) à valeur absolue de ( a1-x) et non = 1

Rebonsoir,

C'est ça ! Pas de problème ! C'est juste que je précisais que (4/9)^0 fais un car ce n'est pas évident pour tout le monde ...

Cordialement,

Nox

[invite7d436771]

jai a peu près compris , je vais essayer de le refaire moi même mais ce que je ne comprend pas c'est que le signe c'est l'inverse valeur absolue (an+1)< ....

Rebonsoir,

Exact c'est une erreur de ma part ...

Cordialement,

Nox

[invite7d436771]

ReReRebonsoir,

Voilà une version sans faute j'espère !

Alors une démonstration par récurrence se décompose de deux grandes parties : l'initialisation et l'hérédité. L'initialisation consiste à vérifier que la propriété que tu souhaites démontrer est vraie pour le premier indice. Ici tu veux montrer : pour n'importe quel , .

Tu vas donc vérifier tout d'abord que c'est vrai pour n=1. C'est cela qu'on appelle initialisation. Alors on peut écrire puisque .

Passons maintenant à l'hérédité. Tu choisis un n quelconque, que tu fixes, et pour lequel tu supposes que la propriété est vraie. Tu vas montrer que la propriété est alors forcement vraie au rang n+1. Tu supposes donc . Tu as montré précedemment . Tu peux donc écrire en multipliant cette relation par 4/9 à gauche et à droite (sans changer le sens de l'inégalité puisque 4/9 est positif) c'est à dire , que tu peux encore écrire donc tu as montré que ta propriété est vraie au rang n+1.

Tu peux alors conclure que comme ta propriété est vraie au rang 1 et que s'il est vraie au rang n elle est aussi vraie au rang n+1, ta propriété va donc être vraie pour tout .

Cordialement,

Nox

[invitecd5e871b]

merci beaucdoup pour ton aide (pour info je suis en terminale S) mais j'ai un peu de mal !!! merci en tout cas !!!

[invite7d436771]

Bonsoir,

De rien ! @ ton service ! S'il reste des choses que tu ne comprends, je suis là pour te répondre !

Cordialement,

Nox

[invitecd5e871b]

merci mais je vais essayer de démontrer la deuxième inégalité toute seule, si je n'y arrive pas je te ferais signe !!! pour te dire ce que j'obtiens,
Bonne soirée

[invitecd5e871b]

j'ai essayer de démontrer que valeur absolue de (an-x)< (4/9)puissance n
jy arrive pas non plus je peux admettre que (4/9) puissance n < (4/9) puissance n * valeur absolue (a1-x)
mais dans ce cas il faudrait que je démontre que (4/9) puissance n > 4/9 * valeur absolue de (an-x)
car j'ai écrit l'égalité : valeur absolue (an+1 - x) < 4/9 *valeur absolue (an - x) < 4/9 puissance n * valeur absolue (a1-x)
voilà je vois pas autre chose que cela comme solution mais j'arrive pas à le démontrer,
est ce que je dois le déduire ou est ce que je dois le démontrer par récurrence ?
merci d'avance

[invite7d436771]

Bonsoir,

Je vais être clair : ce n'est pas du tout la bonne piste. Tu connais à peu près toutes les valeurs numériques, autant s'en servir ...
Ensuite comme visiblement tu n'es pas satisfaite des réponses que l'on te donne au niveau lycée et que tu preferes rouvrir le meme sujet dans les maths du supérieur, je preferes te dire que je ne trouve pas ça très élégant. Si tu crois que le titre définit le niveau des intervenants tu te trompes il definit le niveau des reponses attendues.. ton problème est d'un niveau avant bac, pas besoin d'aller polluer le forum de maths du sup avec ça , de toute facon personne ne t'aurait repondu la bas ...

Cordialement,

Nox

[invitecd5e871b]

déjà , je tenais à m'escuser mais je connais pas trop le site, je viens d'y arriver
après j'ai une autre question sur ce problème à poser :
suite (bn) bn+1= racine de bn + 1 avec b0=2 sanchant que l'on a démontrer avant que racine 1+x =x
on a montrer que x<bn+1<bn<2
et il faut démontrer que 0<bn+1 -x < (bn - x) / 3
j'arive a démontrer la partie gauche mais pas la partie droite

moi j'ai fait ceci :
x-x < b(n+1) -x < bn-x
0< (bn-x) /(racine (bn +1) + racine (x+1) < (bn²-x-1)/( bn + racine (x+1))
suiteà des équalités démontrer plsu haut , on peut écrire que
0< (bn-x) /(b(n+1)+x) < (bn²-x²)/(bn+x)

égalité démontrer : x² = x+1
1+1/x = x
racine (1+x) = x
(x²+1)/_2x-1)=x

je ne vois pas du tout comment obtenir 1/3