exercice sur les équations différentielles

[invitec9ff90ff]

bonjour j' aurais besoin d' un peu d' aide pour les questions 2b et 3a merci d' avance

voici l' énoncé :

soit E1 l' ensemble des fonctions solutions de l' équa diff y'=y
soit E2 l" ensembe des fonctions solutions de l' équa diff y''=y
le but de l' exercice est de démontrer qu' il existe une unique fonction f qui appartient à E2 et vérifie f(o)=1 et f'(o)=o
1) verifier que les fonctions e(x) et e(-x) appartiennent à E2
2) soit f dérivable sur R on pose u= f+f'
a) démontrer que f appartient à E2 SSI u appartient à E1
b) démonstration : prérequis la fonction e(x) est solution de E1
démontrer l' unicité de la fonction u élément de E1 qui vérifie u(o)=1
3)a) soit f de E2;on pose pour tout x g(x)= f(x)e(x)
démontrer que si f vérifie f(o)=1 et f'(o)=o alors g'(x)=e(2X)
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[invite5c27c063]

soit E1 l' ensemble des fonctions solutions de l' équa diff y'=y

2) soit f dérivable sur R on pose u= f+f'
b) démonstration : prérequis la fonction e(x) est solution de E1
démontrer l' unicité de la fonction u élément de E1 qui vérifie u(o)=1

Soit un élément u qui convient, ie tel que u=u' et u(0) = 1

Que peux tu dire de la fonction ?

[invite5c27c063]

3)a) soit f de E2;on pose pour tout x g(x)= f(x)e(x)
démontrer que si f vérifie f(o)=1 et f'(o)=o alors g'(x)=e(2X)

Même principe, en un peu plus compliqué...

Soit tel que f(0)=1 et f'(0)=1


Au brouillon
On t'a fait remarquer que et appartiennent à

On a l'intuition que f pourrait être une combinaison des solutions connues . Tu calcules f' en fonction de ce qui précède et tu exprimes et en fonction de f et f'

Au propre
Tu as l'idée géniale de poser deux fonctions auxiliaires et exprimées en fonction de f et f'.

En les regardant de près, tu vois qu'elles sont constantes et que tu sais calculer ces constantes. Du coup, tu remontes à f(x), puis g(x) et le résultat tombe tout seul

[invite9e29e053]

Salut,

Démonstration 2a et 2b :

 Cliquez pour afficher

2.a. u appartient à E1
<=> f + f' appartiennent à E1
<=> (f+f')' = f+f'
<=> f''=f <=> y''=y
<=> f appartient à E2

b. u appartient à E1
donc u'(x) = u(x)
Toutes les solutions sont de forme u(x) = ke(x) (cours)

u(0)=1
donc 1 = ke(0)
<=> 1 = k *1
=> k =1 donc u(x) = e(x) est la solution unique.

J'espère avoir répondu à ta question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c27c063]

b. u appartient à E1
donc u'(x) = u(x)
Toutes les solutions sont de forme u(x) = ke(x) (cours)

u(0)=1
donc 1 = ke(0)
<=> 1 = k *1
=> k =1 donc u(x) = e(x) est la solution unique.

Le raisonnement n'est pas faux. Mais la question demandant de démontrer l'unicité de la solution, je ne suis pas sûr qu'on attendait juste l'application du résultat du cours.
Avec ma petite fonction auxilliaire, je fais justement retrouver ce résultat.