Comparaison de taille : Espace vectoriel/Sous-espace vectoriel

[invite191682dc]

Bonjour,

Intuitivement, on peut très facilement constater que l'espace généré par un espace vectoriel (noté pour la suite ev) auquel on a retiré un sous-espace vectoriel (noté pour la suite ssev) équivaut à l'ev de départ (il suffit de tester cela sur R^3)

Mais pour démontrer cela, à part montrer qu'on peut construire une base de l'ev dont aucun élément se trouve dans le ssev, qui nous permettrait donc de reconstruire le ssev (puisque base), je ne vois pas comment faire...

Pourriez-vous me donner quelques indications ?

Merci
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[invite191682dc]

Edit : Le sous-espace est bien entendu propre...

[Tryss]

Ça veut dire quoi "équivaut" dans ce contexte ? Vu que l'espace que tu obtiens n'est pas un espace vectoriel

[toothpick-charlie]

il doit parler de l'espace vectoriel engendré. Je noterais ça Vect(E\F) où F est un sous-espace vectoriel de E.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite191682dc]

J'insinuais "peut générer", mais je suis parvenu à résoudre le problème.

Merci

[invite191682dc]

il doit parler de l'espace vectoriel engendré. Je noterais ça Vect(E\F) où F est un sous-espace vectoriel de E.

Voilà c'est exactement ça.

[gg0]

Bonjour.

Je suppose que tu parles d'espaces vectoriel réel ou complexe. Car pour un espace vectoriel sur un corps fini, ça se passe très différemment.
Maintenant, il faudrait savoir quel moyen tu emploies pour parler de "équivaut à l'ev de départ", c'est à dire quelle est cette équivalence. Ce n'est pas une question de dimension au sens des espaces vectoriels, puisqu'il n'y a plus espace vectoriel. Est-ce une question de cardinal ?

De plus, comme E est un sous-espace vectoriel de E, si on enlève E, il ne reste rien. Donc tu parles probablement d'un sous-espace propre.

Donc je crois qu'il faudrait que tu affines ta réflexion, pour en faire une idée claire (bien que, je le crains, ça n'apporte pas grand chose aux mathématiques).

Sinon, sur ta construction, il suffit de prendre une base . Si aucun des e_i n'est dans le sev F, tu as ce que tu veux, tu peux engendrer E-F avec B. D'autre part, tous les e_i ne sont pas dans F (sinon F=E, ce que j'ai exclu précédemment). Donc l'un d'entre eux, e_k n'est pas dans F. Pour chacun des e_i qui sont dans F, on le remplace dans B par (e_i-e_k). On obtient ainsi une famille libre qui a la bonne taille donc est une base de E, donc engendre tous les éléments de F. Mais n'est pas une base de F !

Cordialement.

[gg0]

Ah,

je viens de voir ta rectification, Nico.
Je viens d'en faire indirecytement la preuve.

Cordialement.

[invite191682dc]

Mais merci du reste des précisions.