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Automorphismes de Q,+



  1. #1
    nico3004

    Automorphismes de Q,+


    ------

    Bonjour,

    Je me demandais quel était le groupe G des automorphismes de (Q,+) (où Q sont les rationnels). Facilement j'ai trouvé Id,-Id, puis en me demandant s'il y en avait d'autres, je me rends compte qu'en multipliant par un facteur k, k dans R, ça marche aussi... G serait-il donc infini ?

    Merci

    -----

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  3. #2
    Tryss

    Re : Automorphismes de Q,+

    Attention, k est nécessairement dans Q, pas dans R.

    Et oui, le groupe G des automorphismes de (Q,+) est infini, et même isomorphe à (Q*, . ) si je ne dis pas de bêtise.


    Par contre si tu veux des automorphismes sur le corps (Q,+,.), c'est beaucoup plus restreint
    Dernière modification par Tryss ; 02/09/2012 à 19h24.

  4. #3
    nico3004

    Re : Automorphismes de Q,+

    Oui, pardon, je pensais Q, mais ai noté R par habitude...

    Merci de ta réponse !

  5. #4
    nico3004

    Re : Automorphismes de Q,+

    Une petite précision toutefois, comment pourrait-on montrer ceci de manière plus "rigoureuse" ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Automorphismes de Q,+

    Ben,

    en montrant que les multiplications par k sont des automorphismes, puis en montrant qu'un automorphisme est une multiplication par k (regarder l'image de 1). Si c'est bien ce que tu veux démontrer ("ceci").

    Cordialement.

  8. #6
    nico3004

    Re : Automorphismes de Q,+

    Est-ce que l'écrire de cette façon est-il correct ?

    a) Soit un automorphisme a, on sait que a(0) = 0 et que a(x+y) = a(x) + a(y)
    Alors a(x+y) = a( (x+y).1) = (x+y).a(1) et on voit que l'automorphisme est une multiplication par k rationnel où k = x+y (somme de 2 rationnels donc rationnel)

    b) Soit un opérateur linéaire a tel que : a(1) = k et a(0) = 0, on voit que c'est un automorphisme car :
    a(x+y) = a( (x+y).1) = (x+y).a(1) = (x+y).k = kx + ky = a(x) + a(y)

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  10. #7
    nico3004

    Re : Automorphismes de Q,+

    Et que donc on peut résumer : Aut(Q,+) = (Q*,.)

  11. #8
    Amanuensis

    Re : Automorphismes de Q,+

    Citation Envoyé par nico3004 Voir le message
    b) Soit un opérateur linéaire a tel que : a(1) = k et a(0) = 0, on voit que c'est un automorphisme car :
    a(x+y) = a( (x+y).1) = (x+y).a(1) = (x+y).k = kx + ky = a(x) + a(y)
    Presque... Cela montre que a() est un morphisme. Pour automorphisme, faut aussi montrer que c'est bijectif, i.e., k non nul.

    a) Soit un automorphisme a, on sait que a(0) = 0 et que a(x+y) = a(x) + a(y)
    Alors a(x+y) = a( (x+y).1) = (x+y).a(1) et on voit que l'automorphisme est une multiplication par k rationnel où k = x+y (somme de 2 rationnels donc rationnel)
    Pas vraiment ça...
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  12. #9
    nico3004

    Re : Automorphismes de Q,+

    Effectivement, reste à montrer la bijection pour a) (presqu'immédiat en fait)

    D'où partir alors pour le b) ? (j'aurais déjà dû ajouter "a bijectif" en suivant ton commentaire pour le a) )

  13. #10
    Amanuensis

    Re : Automorphismes de Q,+

    Je ne vois pas de méthode plus simple que passer par la "multiplication externe" (toute addition implique une multiplication par les éléments de N) : pour n entier, on a a(n.x)=n.a(x), et en particulier a(n) = n.a(1). Et ensuite utiliser q.a(p/q) = a(qp/q)=a(p)=p.a(1)
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  14. #11
    nico3004

    Re : Automorphismes de Q,+

    Ok, le résultat est le même, mais le trajet non...

    Merci beaucoup !

  15. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Automorphismes de Q,+

    Nico,

    je ne comprends pas comment tu obtiens ceci :
    Alors a(x+y) = a( (x+y).1) = (x+y).a(1)
    Tu parlais bien d'automorphisme de groupe additif. ici, tu utilises une linéarité, comme si a était un endomorphisme d'espace vectoriel.
    A moins que tu utilises un théorème (facile à prouver, mais à prouver) ?

    Cordialement.

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  17. #13
    nico3004

    Re : Automorphismes de Q,+

    On montre cela simplement par addition des a(1), donc comme tu le dis la linéarité en découle.

  18. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Automorphismes de Q,+

    Ok,

    tu utilises donc bien une propriété (classique) des automorphismes de (Q, +).

    Cordialement.

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