Bonjour,
Je me demandais quel était le groupe G des automorphismes de (Q,+) (où Q sont les rationnels). Facilement j'ai trouvé Id,-Id, puis en me demandant s'il y en avait d'autres, je me rends compte qu'en multipliant par un facteur k, k dans R, ça marche aussi... G serait-il donc infini ?
Merci
Attention, k est nécessairement dans Q, pas dans R.
Et oui, le groupe G des automorphismes de (Q,+) est infini, et même isomorphe à (Q*, . ) si je ne dis pas de bêtise.
Par contre si tu veux des automorphismes sur le corps (Q,+,.), c'est beaucoup plus restreint
Oui, pardon, je pensais Q, mais ai noté R par habitude...
Merci de ta réponse !
Une petite précision toutefois, comment pourrait-on montrer ceci de manière plus "rigoureuse" ?
Ben,
en montrant que les multiplications par k sont des automorphismes, puis en montrant qu'un automorphisme est une multiplication par k (regarder l'image de 1). Si c'est bien ce que tu veux démontrer ("ceci").
Cordialement.
Est-ce que l'écrire de cette façon est-il correct ?
a) Soit un automorphisme a, on sait que a(0) = 0 et que a(x+y) = a(x) + a(y)
Alors a(x+y) = a( (x+y).1) = (x+y).a(1) et on voit que l'automorphisme est une multiplication par k rationnel où k = x+y (somme de 2 rationnels donc rationnel)
b) Soit un opérateur linéaire a tel que : a(1) = k et a(0) = 0, on voit que c'est un automorphisme car :
a(x+y) = a( (x+y).1) = (x+y).a(1) = (x+y).k = kx + ky = a(x) + a(y)
Et que donc on peut résumer : Aut(Q,+) = (Q*,.)
Presque... Cela montre que a() est un morphisme. Pour automorphisme, faut aussi montrer que c'est bijectif, i.e., k non nul.Envoyé par nico3004
Pas vraiment ça...a) Soit un automorphisme a, on sait que a(0) = 0 et que a(x+y) = a(x) + a(y)
Alors a(x+y) = a( (x+y).1) = (x+y).a(1) et on voit que l'automorphisme est une multiplication par k rationnel où k = x+y (somme de 2 rationnels donc rationnel)
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Effectivement, reste à montrer la bijection pour a) (presqu'immédiat en fait)
D'où partir alors pour le b) ? (j'aurais déjà dû ajouter "a bijectif" en suivant ton commentaire pour le a) )
Je ne vois pas de méthode plus simple que passer par la "multiplication externe" (toute addition implique une multiplication par les éléments de N) : pour n entier, on a a(n.x)=n.a(x), et en particulier a(n) = n.a(1). Et ensuite utiliser q.a(p/q) = a(qp/q)=a(p)=p.a(1)
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Ok, le résultat est le même, mais le trajet non...
Merci beaucoup !
Nico,
je ne comprends pas comment tu obtiens ceci :
Alors a(x+y) = a( (x+y).1) = (x+y).a(1)
Tu parlais bien d'automorphisme de groupe additif. ici, tu utilises une linéarité, comme si a était un endomorphisme d'espace vectoriel.
A moins que tu utilises un théorème (facile à prouver, mais à prouver) ?
Cordialement.
On montre cela simplement par addition des a(1), donc comme tu le dis la linéarité en découle.
Ok,
tu utilises donc bien une propriété (classique) des automorphismes de (Q, +).
Cordialement.
