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Evolution d'un bruit blanc gaussien



  1. #1
    kronanberg

    Evolution d'un bruit blanc gaussien


    ------

    Bonjour,

    J'utilise actuellement un filtre de Kalman pour améliorer les mesures d'un GPS. Pour initialiser ce filtre je dois définir les matrices de covariance du bruit de mesure et du bruit d'état. Mon première objectif est d'initialiser les matrices de covariance du bruit de mesure sur le GPS.

    Pour cela, on part de l'hypothèse que l'erreur du GPS est un bruit blanc gaussien. La documentation constructeur donnant l'erreur maximum, on peut déduire à partir de celle ci l'écart type du GPS et donc sa variance.

    Maintenant il faut définir l'erreur sur la vitesse du GPS. Cette vitesse étant calculée à partir de l'écart entre 2 positions. On va considérer dans un premier temps le bruit indépendant entre 2 positions.

    Le bruit sur la vitesse sera donc la somme de deux bruits gaussiens divisés par la période d'échantillonnage.

    Bruit blanc gaussien sur la position 1 : N(0, sigma1²)
    Bruit blanc gaussien sur la position 2 : N(0, sigma2²)
    Bruit blanc gaussien sur la vitesse : N(0, (sigma1²+sigma2²)/Te²) ? avec Te la période d'échantillonnage

    J'ai un doute sur la façon de prendre en compte la période d'échantillonnage sur la variance ?

    En faite ma question est comment évolue la variance d'un bruit blanc gaussien lorsque ce bruit est multiplié par une constante ?

    Merci pour les réponses.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Evolution d'un bruit blanc gaussien

    Bonjour.

    Si la vitesse est calculée en divisant les différences de positions entre deux mesures par le temps correspondant (période d'échantillonnage), ton résultat est correct : Si une variable suit la loi alors la variable suit la loi

    Cordialement

  4. #3
    kronanberg

    Re : Evolution d'un bruit blanc gaussien

    Merci pour cette réponse.

    J'ai maintenant un nouveau problème sur l'évolution d'un bruit blanc gaussien. Je calcule un vecteur de la manière suivante :

    Vx = Vitesse x cos(Cap)
    Vy = Vitesse x sin(Cap)

    L'erreur sur la vitesse suit la loi N(0, sigma1²) et l'erreur sur le cap suit la loi normal N(0, sigma2²).
    L'écart type pour le cap étant de 0.04°, j'estime que sont erreur peut être négligé (en développant cos(cap+bruit)).
    J'ai donc une erreur sur mon vecteur Vx qui suit la loi normale N(0, sigma1²/(cos(Cap)²)

    Je me demandais de quelle façon je peux prendre en compte le bruit blanc dans le cosinus (dans le cas d'une erreur plus grande sur le cap)?

    Merci.

  5. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Evolution d'un bruit blanc gaussien

    Bonjour.

    Si la valeur exacte de Vx a de l'importance, tu vas devoir le faire même avec une valeur aussi faible de bruit : Pour des valeurs de cap proches de , le cosinus est proche de la différence de valeur entre et bruit.

    Par contre, ce sont des variables aléatoires pas particulièrement sympathiques....

    Cordialement.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Papymeche

    Re : Evolution d'un bruit blanc gaussien

    Bonjour

    @Kronanberg : J' ai ouvert cette file un peu par hasard. Enfin pas tout à fait. Un peu de flair sans doute.

    J' ai une problématique similaire à la votre.

    J' utilise actuellement sur mes longs trajets voiture 2 GPS datalogger, desquels je restitue par post traitement sous Excel la vitesse "instantanée" en tous points du parcours au cadencement fixe de 1s. Ma vitesse je la contrôle « à main levée », ou plutôt « au pied levé », via un GPS ventousé au pare brise
    Pourquoi je fais ça, ce serait trop long à décrire sur la file d' un intervenant, et ne veux pas polluer la votre plus qu' il ne faut.

    Mes 2 datalogger, sont fabriquée par 2 constructeurs différents et ont une puce différente. Ils sont installés au même endroit dans mon véhicule est s' ils ne se polluent pas par EMC l' un l' autre mesurent les mêmes points géodésiques.

    Vous déduisez votre vitesse, je suppose par calculs d' orthodromie, comme je le fais, et j' espère que vous utilisez une formulation compatible avec la résolution de votre applicatif (Excel ou Matlab ?).
    Mes datalogger donnent également une vitesse acquise par doppler des fréquences descendantes. Je passe là dessus puisque vous faites de l’ orthodromie

    Je me pose bien sûr la question de la précision de la restitution de la vitesse orthodromique constatant qu' il y a un bruit qualifiable de "normal" et des spikes anormaux véritablement hors zone sur les tracés bruts vitesse = Phi du temps.

    Je suppose que vous essayez de faire la même chose avec votre GPS.
    Personnellement je fait une tabulation de Vn vitesse au temps T acquise sur 2 points géodésiques successifs à 1s d ‘ écart, puis je fais pour l’ ensemble des vitesse acquises la différence Vn-V(n-1), ce qui élimine la vitesse elle même et ne laisse que des écarts.

    (En gros ça filtre l’ incertitude de positionnement absolu long terme (15/20m selon les constructeurs, car c’ est des trucs grand public à 100€ et pas des trucs pro à correction différentielle traitant tous les canaux en parallèle pur), et ne laisse que ce qui varie court terme (bruit de mesurage, dilution et variations de vitesse du véhicule).
    Il n’ y a sans doute plus besoin de filtres de Kalman pour affiner ensuite. Mais je suis mathématiquement plutôt léger sur ce sujet.

    Ayant ces écarts, il est facile d’ en faire un classement sous Excel et de trouver une distribution centrée sur zéro.
    Ca avait tellement l’ air d’ une gaussienne, que j’ ai ajusté une gaussienne théorique via le solveur et atteint un bon coefficient de corrélation (0,995). Mais pas suffisant à mon goût car le modèle ne représentait pas assez le pied de courbe de distribution.
    J‘ ai donc ajouté une deuxième gaussienne, et cette fois le coeff de corrélation est devenu meilleur que 0,9995 avec une très bonne représentativité du pied.

    Un trajet complet se résume ainsi à 2 gaussiennes avec écart type différents, une moyenne différente mais très proche de zéro (en tous cas inférieure au 1/20 de l’ écart type le plus petit, et un max différent.
    Ceci 2 fois car 2 datalogger. Et surprise, enfin pas tellement, un écart type de chaque paire identique (mieux de 5%), et un écart type très différent dans chaque paire.
    L’ écart type identique n’ a rien a voir à mon sens, avec les datalogger et tout à voir avec le véhicule porteur et sa régulation de vitesse au pied levé
    Par contre le deuxième écart type de chaque paire semble caractériser la performance de restitution de vitesse de chacun des matériels.

    Bien sûr considérant que cet écart Vn-V(n-1) est établi sur 3 points géodésiques successifs dont le point central utilisé 2 fois, mais que la vitesse est elle même établie sur 2 points successifs j’ ai une image de la distribution de vitesse en divisant les écart type trouvés par racine carrée de 3 -[ [(1/(1^2+2^2+1^2)^0,5]^2+[(1/(1^2+2^2+1^2)^0,5]^2]^0,5

    Mais comme dit avant je flirte avec mes limites de compétences mathématiques.

    Si vous trouvez que ce développement censé apporter un éclairage sur ce que vous recherchez, vous embrouille plus qu' autre chose, j’ en ferai une file distincte.

    Si un modérateur estime qu' il faut en faire un sujet qu' on me le dise mais j' ai peur que ce soit un pavé

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