automorphismes de (Z,+,0)

[vince3001]

Bonsoir
je souhaite démontré que le groupe des automoprhismes deest isomorphe à

J'ai lu la démo dans un bouquin, mais j'ai du mal à recoller les morceaux :

on doit exhiber les éléments du groupe des automorphismes de
en l'occurence Id et -Id
puis établir l'isomorphisme entre ce groupe et

pour la premiere étape, je sais qu'il faut écrire que pour f dans le groupe des automoprhismes de on a : f(n)=f(1.n)=nf(1)=n
ce qui à priori semblerait prouvé que f = Id
mais dans ce cas où est -id ??
je me souviens qu'un autre argument était utilisé, mais je ne sais plus lequel...une histoire d'inclusion d'ensembles de la forme m

pour la seconde étape, il n'y a que 2 applications bijectives possibles, 2 applications qui conviennent car se sont des morphismes

J'aimerai donc que vous m'aidiez à compléter cette démo

Merci beaucoup
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[vince3001]

si vous avez une autre démo à me proposer, je suis également preneur...

[invitebe0cd90e]

je sais qu'il faut écrire que pour f dans le groupe des automoprhismes de Z on a : f(n)=f(1.n)=nf(1)=n

Bah non, la c'est la structure d'anneau que tu utilises en imposant que f(1)=1.

En revanche, 1 est un generateur de Z. Ca n'est pas difficile de voir que -1 en est un autre, et que ce sont les seuls elements qui peuvent tout seul engendrer Z. Comme dans un groupe monogene l'image d'un generateur par un automorphisme doit encore etre un generateur, et que l'image de ce generateur determine entierement l'automorphisme, tu as ta reponse..

Dit de facon plus claire :
- tu as raison de penser qu'un morphisme de Z dans n'importe quel groupe est entierement determiné par l'image de 1 (en fait, la reciproque est vraie, si tu envoies 1 sur n'importe quel element de n'importe quel groupe, ca induit un morphisme, facile a voir dans ce cas)
- pour que ca soit un automorphisme, il faut et il suffit que 1 soit envoyé sur un element x tel que <x>=Z tout entier. donc x=1 ou x=-1.

[vince3001]

merci pour ta réponse
je reformule donc l'étape 1 de ma démo :


donc
donc f(1)=1 ou f(1)=-1
donc f = Id ou -Id

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Euh, non, je ne comprends pas bien pourquoi tu pars de Im f..

Ensuite on n'a evidemment pas "donc 1 appartient à Im f", au contraire on demande à f d'etre telle que 1 est dans Im f, puisque on veut que f soit surjective.

Ensuite le "donc f(1)=1 ou -1" ne me parait pas justifié...

La bonne demo serait plutot :

- Tu commences avec le bon raisonnement, f(n)=nf(1), donc des qu'on connait f(1) on connait f. Autrement dit, les f possibles c'est la meme chose que les images de 1 possible.
- remarque d'abord que si , alors pour tout n, donc f est injective.
- ensuite, pour que f soit surjective, il faut que f(1) engendre Z. DOnc f(1)=1 ou -1 puisque ce sont les seuls generateurs de Z.

[vince3001]

La bonne demo serait plutot :

- Tu commences avec le bon raisonnement, f(n)=nf(1), donc des qu'on connait f(1) on connait f. Autrement dit, les f possibles c'est la meme chose que les images de 1 possible.
- remarque d'abord que si , alors pour tout n, donc f est injective.
- ensuite, pour que f soit surjective, il faut que f(1) engendre Z. DOnc f(1)=1 ou -1 puisque ce sont les seuls generateurs de Z.

j'ai du mal à cerner ton raisonnement :
on suppose que f est dans l'ensemble des automorphismes, non ?
Donc f est surjective et injective par définition.
je ne comprends donc pas pourquoi tu fais comme si elle ne l'était pas puis tu montre qu'elle l'est...

[invitebe0cd90e]

Non, tu vois bien que ca n'est pas comme si j'avais une fonction donnée et que je montrais qu'elle etait surjective. Je veux qu'elle le soit, et je regarde ce que ca me dit sur f(1).

C'est bien pareil de dire "soit f surjective, quelle peut etre l'image de 1 ? " et "je voudrais bien que f que je suis en train de construire soit surjective, quelle image je choisir pour 1"...

[vince3001]

Honnetement j'ai du mal à tout intégrer, mais je te remercie de ton investissement (je crois que tu as fait le tour de mon problème). Je pense qu'en y réfléchissant à une heure plus propice à la réflexion, j'ai une chance d'être convaincu.
Merci beaucoup

[invitebe0cd90e]

Si tu veux je le reformule comme ca : soit f un automorphisme de Z. f est entierement determiné par f(1). Puisque f est surjective, f(1) doit engendrer Z, donc f(1)=1 ou -1. Or, chacune de ces possibilité donne bien un morphisme (le verifier eventuellement), donc il existe exactement 2 automorphisme du groupe Z.