Automorphismes internes

[Bleyblue]

Bonjour,

Je suis occupé à relire mon vieux cours de théorie des groupes mais j'ai un petit souci avec un petit passage concernant les classes de conjugaison et les automorphismes internes.

Je considère un groupe et . Je sais donc que est un groupe de permutation sur .

Je lis dans cours qu'alors le stabilisateur de pour est appelé le centralisateur de G noté et ainsi :



mais ça ne me semble pas être juste. Par définition, le stabilisateur doit être un sous-groupe du groupe de permutation, c'est à dire dans notre cas de Int(G) et non de G (en l'occurence il s'agit des éléments de Int(G) qui fixent x).

Comment se fait-il qu'ici on considère ça comme un ensemble de G et non de int(G) ?

merci
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[Bleyblue]

J'oublie de mentionner que j'ai bien pensé à faire une identification :



avec



mais ça me semble un peu gros, ces ensembles n'étant même pas en bijection (par exemple si G est abélien).

[Bleyblue]

Et puis un autre problème :

Si désigne le classe de conjugaison de alors je vois :



mais je ne vois pas d'ou ça vient. Le théorème fondamental nous apprend que si est un groupe de permutation sur et si alors :



ou et sont le stabilisateur et le fixateur respectivement.

Mais ici notre groupe de permutation est Int(G) et non plus G ...

[invite4ef352d8]

Salut !

disons que c'est un abus (limite une erreur) de l'auteur, qui identifie un sous ensemble de Int(G) avec son image reciproque par la projection canonique G->Int(G).

(L'application G->Int(G) qui a g-> (x->g^(-1)xg ) fait de Int G le quotient de G par son centre...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

pour ton autre problème c'est parceque l'application G->E qui a g-> g.x va définir une bijection entre l'orbite de x et le quotient de G (du bon coté) par le stabilisateur de x.

[Bleyblue]

Ah bon.

D'accord j'essaye de voir ça

merci bien