analogie mécanique

[Jmlesfrites]

Slt,
Est ce que c'est une erreur, une hérésie de croire ou pensée que les" au carré" de :... (je n'ai pris qu'une partie de la formule (relativité)) ont pour "racines" ou plutôt origines le " au carré" de: dans: ?

je précise seulement le

Merci

Ps: un peu d'indulgence svp c'est ma première fois sur LaTeX.
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[mach3]

Le seul lien c'est le fait que le carré d'une distance entre deux points est égale au carré scalaire du vecteur joignant ces points.

Le fait que la distance apparaisse au carré dans la formule de Newton n'a aucun rapport avec l'expression d'une métrique.

m@ch3

[Jmlesfrites]

Le seul lien c'est le fait que le carré d'une distance entre deux points est égale au carré scalaire du vecteur joignant ces points.

Le fait que la distance apparaisse au carré dans la formule de Newton n'a aucun rapport avec l'expression d'une métrique.

m@ch3

Slt,
Je m'étonne parfois juste que dans une métrique en quatre dimensions qu'on notera . Entre deux événements a1(x1, y1, z1, t1) et a2(x2, y2, z2, t2) dans un espace à quatre dimensions donc, ou et ou étant le même qu'en physique Newtonienne, s'écrit au carré. stout

Merci.

Ps; dsl j'ai pas entièrement tout noté en LaTeX par ce que la c'est chaud.

[Jmlesfrites]

s'écrit au carré. stout

S'écrit égalment au carré.

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Slt,
Je m'étonne parfois juste que dans une métrique en quatre dimensions qu'on notera . Entre deux événements a1(x1, y1, z1, t1) et a2(x2, y2, z2, t2) dans un espace à quatre dimensions donc, ou et ou étant le même qu'en physique Newtonienne, s'écrit au carré. stout

Merci.

Ps; dsl j'ai pas entièrement tout noté en LaTeX par ce que la c'est chaud.

Il y a de grandes similarités entre la géométrie euclidienne (basée sur un espace affine(*) dont l'espace vectoriel(**) associé est doté de la métrique d'Euclide) et la géométrie de Minkowski (basée sur un espace affine dont l'espace vectoriel associé est doté de la métrique de Minkowski, ce qu'on appelle alors "espace-temps").

En fait elles ont toutes deux pour base la même structure qu'on appelle espace quadratique, c'est à dire un espace vectoriel doté d'une forme quadratique, la différence entre les deux étant justement la forme quadratique. Elle est de signature +++ pour l'espace 3D et de signature -+++ (ou +--- c'est équivalent) pour l'espace-temps 3D+1D, de tel sorte que certains sous-espaces de l'espace-temps sont des espaces euclidiens.

Je repasserais éventuellement tout à l'heure pour donner quelques explications sur ce qu'est une forme quadratique et son lien avec la métrique.

m@ch3

*: ensemble de points
**: ensemble de vecteurs (c'est pas pareil que l'espace affine même si on peut entretenir une certaine confusion du fait que les bi-points de l'espace affine peuvent être identifiés aux vecteurs de l'espace vectoriel)

[Jmlesfrites]

Slt,

la différence entre les deux étant justement la forme quadratique. Elle est de signature +++ pour l'espace 3D et de signature -+++ (ou +--- c'est équivalent) pour l'espace-temps 3D+1D"

Si tu parles de matrices je suis d'accord. Même si je suis pas sur que pour la dernière D1 apporte plus que (-) ou (+) dans une certaine mesure, c'est a voir .
Cela dit je vous laissez seul juge, je pense ( et c'est perso) qu'il existe un rapport plus étroit entre le de qu'entre le de .

Merci.

Edit: dsl c'est un peu fouillis.

[Jmlesfrites]

Ps: j'en ai marre d'être dsl

[MissJenny]

bonjour, il y a une raison pour qu'on dise "métrique" plutôt que "distance" ? (par exemple "métrique euclidienne" plutôt que "distance euclidienne").

[mach3]

Si tu parles de matrices je suis d'accord.

Je ne parle pas de matrices mais de formes quadratiques (il y a bien une représentation matricielle de la forme bilinéaire associée, mais ce n'est pas le sujet).

Même si je suis pas sur que pour la dernière D1 apporte plus que (-) ou (+) dans une certaine mesure, c'est a voir .

Je ne suis pas sûr que vous compreniez de quoi vous parlez...

Une forme quadratique Q appliquée à un vecteur u donne un scalaire et elle est par définition telle que pour tout scalaire a.

Pour deux vecteurs orthogonaux (au sens de la forme quadratique) u et v on a (on peut reconnaitre ici le théorème de Pythagore)

Si on considère un ensemble de n vecteurs, tous orthogonaux deux à deux, d'un espace quadratique de dimension n, et qu'on leur applique la forme quadratique de cet espace, on obtiendra p scalaires positifs et m scalaires négatifs (**). (p,m) est la signature de la forme quadratique (on peut l'écrire comme p signes + suivis de m signes -)
Il y a deux cas principaux, les signatures avec un seul signe (que du positif par exemple) et les signatures avec les deux signes.
Dans le premier cas, il n'y a qu'un seul genre de vecteur, ceux pour qui la forme quadratique donne un nombre positif (sauf pour le vecteur nul bien-sûr)
Dans le deuxième cas, il y a trois genre de vecteurs, ceux pour qui la forme quadratique donne un nombre positif, ceux pour qui la forme quadratique donne un nombre négatif, et un dernier genre, qui vient automatiquement (*), constitué par des vecteurs non nuls pour lesquels la forme quadratique donne 0

Quand on décompose un vecteur sur une base orthogonale, on a , avec les coordonnées de u dans la base orthogonale formée par les vecteurs

Si on applique la forme quadratique à u, on obtient (parce que les vecteurs sont orthogonaux deux à deux, sinon on aurait pas le droit), puis par application de la définition de la forme quadratique :

Ca donnera par exemple si j'appelle k, l et m les coordonnées de u dans la base orthogonale a,b,c. Q(a), Q(b) et Q(c) sont des constantes dont les signes reflètent la signature (par exemple +++ si ils sont tous trois positifs, ou ++- si l'un d'eux est négatif). Peu importe le choix de a, b et c, du moment qu'ils sont orthogonaux deux à deux, les signes de Q(a), Q(b) et Q(c) respecteront toujours la signature bien que leurs valeurs puissent être très variées.

On peut choisir les vecteurs , tels que , ainsi la base n'est plus seulement orthogonale mais orthonormale.

Si la signature ne contient que des signes positifs, alors et donc la forme quadratique appliquée à u donne

Pour un espace 3D, ça donnera par exemple si j'appelle x, y et z les coordonnées de u dans une base orthonormale quelconque.

Si la signature contient des signes positifs et négatifs, alors on obtiendra une somme de carrés et d'opposés de carrés.

Pour un espace 3+1D, ça donnera par exemple si j'appelle t, x, y et z les coordonnées de u dans une base orthonormale telle que son premier vecteur donne -1 par la forme quadratique et les autres +1.

Le premier exemple est le carré de ce qu'on appelle la distance euclidienne dans un espace euclidien à 3 dimensions.

Si on a un vecteur de coordonnées x, y et z dans un base orthonormale de cet espace 3D, alors la norme de ce vecteur, qui correspond à la longueur d'un segment correspondant, sera d telle que

Le deuxième exemple est le carré de ce qu'on appelle l'intervalle d'espace-temps dans un espace de Minkowski à 3+1 dimensions

Si on a un vecteur de coordonnées t, x, y, z dans une base orthonormale de l'espace-temps (le premier vecteur de la base donnant -1 par la forme quadratique), alors la norme de ce vecteur, qui correspond soit à la longueur, soit à la durée d'un segment correspondant sera s tel que (***)

m@ch3

(*) automatiquement parce que si on a u et v orthogonaux et tels que Q(u)=-Q(v), alors Q(u+v) = Q(u) + Q(v) = 0
(**) je ne considère pas les cas où la forme est dégénérée
(***) attention, pas très rigoureux ici, car s² pouvant être négatif, s peut être un imaginaire, mais on ne va pas trop compliqué le propos qui l'est déjà assez comme ça

[mach3]

bonjour, il y a une raison pour qu'on dise "métrique" plutôt que "distance" ? (par exemple "métrique euclidienne" plutôt que "distance euclidienne").

A vérifier mais :

Distance euclidienne ça concerne la racine carré de la forme quadratique dont est doté l'espace euclidien :

Métrique euclidienne ça concerne la forme bilinéaire associée à la forme quadratique, c'est à dire le produit scalaire, dont le rôle est plus large car en plus de définir les distances quand appliqué deux fois au même vecteur (on retombe sur la forme quadratique appliquée à ce vecteur), il définit les angles.

m@ch3

[MissJenny]

ok je vois. Merci.

[Jmlesfrites]

slt
Aie! j'arrive pas a faire correctement du laTeX.

Je ne parle pas de matrices mais de formes quadratiques (il y a bien une représentation matricielle de la forme bilinéaire associée, mais ce n'est pas le sujet).

Mais ont parlent bien des fois avec les formes quadratique de la notion de matrice (dans ce cas la je parle de la signature de la métrique de Minkowski) non ? . Mais comme tu le dis ce n'est pas vraiment le sujet.

"Je ne suis pas sûr que vous compreniez de quoi vous parlez..."

je pense que si, je l'écris surement un peu de manière barbare mais on a d'un coté une signature pour l'espace 3D puis ensuite avec les de signature ou pour l'espace-temps 3D+1D, ont rajoute un des(-) ou des (+) peu importe l'ordre c'est dé qu'on ajoute D1. c'est une simple remarque. D1 ajoute (t).

Sinon ma question sur le de reste.
merci.

[Jmlesfrites]

Slt,
Je sais que vous allez rebondir dessus pour évincées les questions , mais ai-je dit une c*******, ou plus poliment une bêtise, pour un tel silence ?
Enfin ceci dit je sais que pour certains anciens il est temps de prendre son velouté de tomate et d'aller faire dodo, après une certaine heure il n'y a plus grand monde ici (malheureusement). a demain peut être.

bye

[mach3]

Ne manquez pas de respect aux "anciens" qui ont un travail et ne peuvent pas être disponibles dans la minutes sur un forum.

Merci

[Jmlesfrites]

Slt,
Je ne voulais pas manquer de respect, juste un peu les bousculez.
peut on revenir au sujet. Merci.

[Jmlesfrites]

Slt,

juste un peu les bousculez.

...bousculer.

a demain peut- être.

j'en suis sûr maintenant.

même si le sujet demeure je me fais du souci.

[Lansberg]

Sinon ma question sur le de reste.
merci.

Pas de réponse parce qu'on ne voit pas de quoi il s'agit.
Quel d² ?
Il y a des ds², dt², dl² mais pas de d².

[Jmlesfrites]

Slt je parle du de dans .


Ps: Premier message.

Merci

[Lansberg]

La distance au carré dans la formule de Newton traduisant le fait que la force gravitationnelle s'exerçant entre deux corps est inversement proportionnelle au carré de la distance.
Si c'est de son origine dont il est question, la réponse est simple : il suffit de partir de la troisième loi de Képler dans le cas simple des orbites circulaires et du principe fondamental de la dynamique (ça se voit en term normalement). Un petit "moulinage" de formules et on retombe sur la loi de la gravitation.
Comme le précise mach3, "rien à voir avec l'expression d'une métrique".

[Jmlesfrites]

Slt,
Se que j'essaye de dire c'est que je me surprends a voir dans le seul de les de , en omettant le bien sur.


Apres il y a pleins de choses surprenantes . Mais ca ma frapper.
Sinon en autre c'est le "inversement proportionnelle" qui me fait tilter. Et encore c'est pas tant la métrique qui me pose problème mais plutôt ces dimensions .