Rebonjour,
En m'interrogeant sur le système duodécimal, il m'est venu l'idée de convertir la suite de Fibonacci dans ce mode de compte. En ne conservant que le dernier chiffre de la conversion, une répétition est apparue. Par exemple, pour: 13=12x1+1 , on ne conservera que le 1, ou pour 34=12x2+10, on ne conservera que le 10, soit le A dans le système duodécimal.
La suite est :
1 1 2 3 5 8 1 9 A 7 5 10
5 5 A 3 1 4 5 9 2 B 1 10
Les colonnes 3, 9 et 10 semblent segmenter les cases du tableau en 6 groupes de 3 chiffres. Plusieurs points remarquables peuvent être identifier sur cette suite de nombres:
- La somme des colonnes est un multiple de 6.
- Une symétrie existe dans la disposition de ces nombres dont une symétrie par rapport à 6 pour les chiffres du milieu des groupes (cf fichier joint)
Transposons ces 6 groupes de nombres en système décimal et considérons-les comme des coordonnées de points dans l'espace tels que*:
A (1;1;2) D (5;5;10)
B (5;8;1) E (1;4;5)
C (10;7;5) F (2;11;1)
Il est alors possible de calculer la longueur des segments correspondant par la formule*:
AB =RAC((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²)
D'où*:
AB = FE = RAC66 = 8,124
BC = ED = RAC42 = 6,481
AC= FD = RAC126 =11,225
AE = BF = RAC18 =4,243
AD = CF = RAC96 = 9,798
BD = CE = RAC90 = 9,487
AF = RAC102 = 10,100
BE = RAC48 = 6,928
CD = RAC54 = 7,348
Nous pouvons d'ailleurs constater quelques relations unissant les longueurs de ces segments*:
RAC(BE²+AE²)=AB et RAC(BE²+BF²)=EF
RAC(BE²+DE²)=DB et RAC(BE²+CB²)=CE
Les triangles AEB, FBE, DEB et CBE sont donc rectangles.
De plus, il existe une équivalence pythagoricienne entre les sommets de ces triangles rectangles tel que*:
RAC(BE²+CD²)=AF
Par ailleurs, on obtient:
AC=RAC(AB²+AE²+BC²) et FD=RAC(EF²+BF²+ED²)
RAC(CD²+BC²)=AD=CF=RAC(CD²+ED² )
RAC(AC²+AE²)=RAC(CD²+BD²)=RAC( CD²+CE²)=RAC(AF²+BC²)=RAC(AF²+ ED²)=RAC(FD²+BF²)=RAC(BE²+AD²) =RAC(BE²+CF²)=12
- En donnant un angle à chaque chiffre, 1=0°, 2=30°, 3=60°... Il apparait que ces 6 groupes de chiffres représentent des angles respectivement de 150°, 30°, 60°, 90° et 120°. Seul de groupe 1, 4, 5 représente un triangle avec, pour un côté de 1, un hypothénuse de 2 et un autre côté de 1,7321
- En attribuant un angle aux notes de musique, il est possible d'établir une construction graphique des mélodies.Do=0°, Do#=30°, Ré=60°, Ré#=90°... (Application à Ah! vous dirais-je maman et à la suite des nombres premiers en pièce jointe)
Voilà tout, j'attends vos remarques !
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Envoyé par Astetoile 