Effet Casimir

[Atlas2013]

Haha, je crois que j'ai trouvé ce qui vous tarabiscote...

Ce n'est pas parce que l'état d'une particule est vecteur propre d'une observable, qu'il sera en général vecteur propre d'une autre. Donc une mesure réduisant le paquet d'onde d'une particule à un seul état propre, ne signifie pas qu'une autre mesure "incompatible" (dont l'opérateur qui lui est associé ne commute pas avec l'opérateur associé à la première mesure) va conserver cet état propre.
En fait, je crois me souvenir qu'il y a un théorème qui dit que cela n'est vrai que si et seulement si les opérateurs associés aux observables commutent.

Un petit exemple avec les opérateurs positions et quantité de mouvement. On peut les définir comme:

Opérateur position: (1)
Opérateur quantité de mouvement: (2)

On observe par (1) que est toujours vecteur propre de , de valeur propre x.

Par contre, par (2) n'est vecteur propre de , de valeur propre que si (A étant une constante).

Par ailleurs, on peut voir que (on mesure la position de la particule) n'est en général pas vecteur propre de :

--> La seconde mesure a perturbé l'état de la particule, malgré que cet état initial était un état propre de l'opérateur position.

juste pour corriger ta derniere equation:

tu ne peux pas poser: cette partie se rapporte à la mesure de la position.
non plus car tu as appliqué

ce qui est evident et n'Explique pas la non commutativité.
je te reviens avec plus de details
merci
-----

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Oui, je me suis aperçu que ma dernière équation est bancale. Voici donc un calcul plus correct et plus général. Son but est de montrer que deux opérateurs A et B qui ne commutent pas possèdent deux ensembles différents d'états propres.
Ensuite, je vais montrer qu'effectuer l'observation associé à l'opérateur A, puis celle associée à l'opérateur B n'est pas équivalent à effectuer l'observation associée à l'opérateur B, puis à l'opérateur A.
Durant ces démonstrations je ne ferais jamais appel au principe d'incertitude d'Heisenberg, montrant que ce principe n'est pas nécessaire pour ce qui nous occupe.

1) Lemme. Soient deux opérateurs hermitiens A et B d'états propres respectifs et . C'est-à-dire:




Si , alors

Demonstration

Supposons par l'absurde que , c'est-à-dire .

Dans ce cas:



On en conclut que , ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc il existe aux moins deux états propres différents entre A et B: .
Ainsi, A et B possèdent deux ensembles différents d'états propres: . cqfd.

2) Soient, A et B deux opérateurs hermitiens qui ne commutent pas. Par le lemme ci-dessus, ils possèdent deux ensembles différents de vecteurs propres. Par ailleurs:

Effectuer l'observation associé à l'opérateur A, puis à l'opérateur B revient à calculer: .
Effectuer l'observation associé à l'opérateur B, puis à l'opérateur A revient à calculer: .

Si ces deux observations sont équivalentes (donnent le même résultat), alors: .
Hors, comme est quelconque cela implique , ce qui est contraire à l'hypothèse.

En conclusion, effectuer une observation A puis une observation B ne donnera pas le même résultat qu'effectuer une observation B et ensuite une observation A si les opérateurs associés A et B ne commutent pas. De plus, les ensembles des vecteurs propres de ces opérateurs sont différents.

[Atlas2013]

Bonjour,

Oui, je me suis aperçu que ma dernière équation est bancale. Voici donc un calcul plus correct et plus général. Son but est de montrer que deux opérateurs A et B qui ne commutent pas possèdent deux ensembles différents d'états propres.
Ensuite, je vais montrer qu'effectuer l'observation associé à l'opérateur A, puis celle associée à l'opérateur B n'est pas équivalent à effectuer l'observation associée à l'opérateur B, puis à l'opérateur A.
Durant ces démonstrations je ne ferais jamais appel au principe d'incertitude d'Heisenberg, montrant que ce principe n'est pas nécessaire pour ce qui nous occupe.

1) Lemme. Soient deux opérateurs hermitiens A et B d'états propres respectifs et . C'est-à-dire:




Si , alors

Demonstration

Supposons par l'absurde que , c'est-à-dire .

Dans ce cas:



On en conclut que , ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc il existe aux moins deux états propres différents entre A et B: .
Ainsi, A et B possèdent deux ensembles différents d'états propres: . cqfd.

2) Soient, A et B deux opérateurs hermitiens qui ne commutent pas. Par le lemme ci-dessus, ils possèdent deux ensembles différents de vecteurs propres. Par ailleurs:

Effectuer l'observation associé à l'opérateur A, puis à l'opérateur B revient à calculer: .
Effectuer l'observation associé à l'opérateur B, puis à l'opérateur A revient à calculer: .

Si ces deux observations sont équivalentes (donnent le même résultat), alors: .
Hors, comme est quelconque cela implique , ce qui est contraire à l'hypothèse.

En conclusion, effectuer une observation A puis une observation B ne donnera pas le même résultat qu'effectuer une observation B et ensuite une observation A si les opérateurs associés A et B ne commutent pas. De plus, les ensembles des vecteurs propres de ces opérateurs sont différents.

tu fais deux erreurs dans ta demonstrations: regarde la deuxieme equation de ton lemme
puis revise ta demonstration, ca ne tient pas mon ami

une fois revisé je vais relancer la notion de topologie: la regle generale-----: tu as le droit de créer ta propre tpologie pour modéliser un comportement

[Atlas2013]

dans ta premiere demonstration: si tu suppose que les deux etats propres sont diffrents , pourquoi tu pose les deux Kets sont identiques?? revise ta demonstration SVP

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Correct, il y a une coquille dans la première ligne de la démonstration du lemme (un égal qui s'est transformé en un différent). Il faut lire:

Supposons par l'absurde que , c'est-à-dire .

[Atlas2013]

je vais relire ta demonstration, je suis au boulot
regarde aussi en haut dans la deuxiema application il faut appliquer l'operateur B au ket psi B et non A au psi B

à ce soir

[Atlas2013]

tes deux demonstrations ne tiennent pas
tu pars avec la meme hypothese de produit scalaire nul avec des kets identique normalisé et tu arrive à un resultat de commuation nul, donc tu ne trouve rien tu ne demontre rien.

je te conseille d'essayer avec un produit scalaire de deux ket orthogonaux, ca peux aboutir, je ne le l'ai pas essayé, je te laisse la chance de le tester.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Je viens de me relire en vitesse et je n'ai pas repéré d'erreurs (je me relirais plus en profondeur quand j'aurais un peu plus de temps devant moi).

Concernant la démonstration 1: j'ai supposé que et posé par l'absurde que les deux ensembles de vecteurs propres sont les mêmes. J'arrive alors à , ce qui est contradictoire. Donc les deux ensembles de vecteurs propres sont différents. C'est l'idée de la démonstration et cela me semble tenir debout. Je relirais à tête reposée pour vérifier si je rempli bien ce programme dans ma démonstration.

regarde aussi en haut dans la deuxieme application il faut appliquer l'operateur B au ket psi B et non A au psi B

Vous parlez des lignes de calcul ?
Si c'est le cas, comme j'ai posé par l'absurde que les deux ensembles de vecteurs propres sont les mêmes, ceux-ci sont interchangeables (et je ne m'en prive pas dans le calcul). Moyennant cette hypothèse (qui mène à une absurdité), on a et

Pour la démonstration 2: je ne pars d'une hypothèse de produit scalaire nul (à savoir . Je pose (peu clairement il est vrai) que l'état est quelconque. Donc . Je suppose alors, une nouvelle fois par l'absurde, qu'appliquer A après B ou B après A (avec ) donne le même résultat (égalité avec 0). J'arrive alors à , seule solution possible pour maintenir l'égalité puisque l'état est quelconque*. Ceci est bien sûr contradictoire (), j'en viens à la conclusion qu'appliquer A après B ou B après A n'est pas équivalent (résultat non-nul).

Il est vrai que cette seconde démonstration ne fonctionne pas si, par exemple, ou . Cependant, ces cas sont exclus car j'ai supposé A et B hermitiens (pas de valeur propre nulle).
Donc, je suis couvert de ce côté là.

*Une exception: cela ne fonctionne pas si , mais bien pour tout autre état. Si je ne me trompe pas, cet état est de toute manière non-physique et exclu car non-normalisable.

[Atlas2013]

tu commence deja ta demonstration par: [A, B] = 0
c'est normale que tu arrive à [A, B] = 0
c'est pour cela je t'ai dis d'essayer des kets orthogonaux
je vais relire encore une fois
je suis au boulot

[Atlas2013]

dans ta premiere demonstration tu suppose par absurde que les deux etats propre psi-A et psi-B sont différent, pourquoi alors les deux vecteurs propres associés sont interchageables??? tu vois ton erreur?

[Atlas2013]

Praboloide: tu as essayé mais selon moi ta demonstration est ratée.

cependant on sait que le produit tensoriel n'est commutative comme le produit de deux tenseurs.

en tous cas: l'expérience que je pose: passer un isolant à un etat supraconducteur et voila l'effet casimir apparait. s'il n'existait pas dans l'etat isolant, cela ne veut pas dire qu'il nexistait pas pas seulement annulé par opposition, ce qui laisse croire à un phenomene intrinséque.
à suivre

[Paraboloide_Hyperbolique]

tu commence deja ta demonstration [n°2] par: [A, B] = 0
c'est normale que tu arrive à [A, B] = 0
c'est pour cela je t'ai dis d'essayer des kets orthogonaux

Négatif, je commence avec . Ensuite je pose par l'absurde l'hypothèse (fausse) que l'ordre des observables est interchangeable, ce qui conduit trivialement à , donc à une contradiction, donc ordre des observables non-interchangeable.

dans ta premiere demonstration tu suppose par absurde que les deux etats propre psi-A et psi-B sont différent, pourquoi alors les deux vecteurs propres associés sont interchageables??? tu vois ton erreur?

Oui, j'ai signalé cette coquille. Voir la correction à mon post #35.

Paraboloide: tu as essayé mais selon moi ta demonstration est ratée.

Personne n'est à l'abri de l'erreur, mais je crois que les démonstrations sont correctes (quoique perfectibles du point de vue formel).

cependant on sait que le produit tensoriel n'est [pas] commutative comme le produit de deux tenseurs.

Lapalissade ? En tous cas je suis d'accord, le produit tensoriel n'est en général pas commutatif (C'est le cas sous certaines conditions).

en tous cas: l'expérience que je pose: passer un isolant à un etat supraconducteur et voila l'effet casimir apparait. s'il n'existait pas dans l'etat isolant, cela ne veut pas dire qu'il nexistait pas pas seulement annulé par opposition, ce qui laisse croire à un phenomene intrinséque.
à suivre

Je suis d'accord, nous nous sommes éloignés de votre question initiale. Cependant, je ne sais pas si un isolant peut devenir supraconducteur.