Logique du chaos

[invite67cee7ed]

Bonjour,
Dans son ouvrage de vulgarisation Dieu joue t'il aux dés ? ou les Mathématiques du chaos, Ian Stewwart, page 39, propose quelques lignes de code, qui en permettant de modifier deux facteurs (x et K) font apparaître des cycles (nombres) plus ou moins réguliers et de conclure: "du chaos naît la régularité. Les deux sont inextricablement liés".

Ces lignes, écrites en basic "1990" , pour un calculatrice sont obsolètes en 2019, non pas dans à travers le concept mais dans l'écriture (Basic 2019).
1

0   INPUT k
20   x=0.54321 
30   FOR n=1 To 50
40   x=K*x*x-1
50   NEXT n
60   FOR n=1 To 100
70   x=k*x*x-1
80   PRINT x
90   NEXT n
100 STOP

2019: ?
(variables k et x modifiées*)

IF 1.40 THEN 'k'=1.40 
'x'=0.535
FOR n=1 TO 50
'x'='k'1.40'x'0.535 x-1
ENDFOR 'n'
FOR n=1  TO 100 
'x'='k'1.40'x'0.535x-1 
ENDFOR 'n'
ENDIF

* " je vous encouragerai à explorer le comportement pour k compris entre 1 et 1.40155 et au-delà"

Question
Comment visualiser la suite des nombres et éventuellement la courbe obtenue non pas sur une calculatrice, mais sur un ordinateur et quel logiciel utiliser sur Windows 10.
merci.
-----

[invite6c250b59]

Excel ou un autre tableur fera très bien le travail.

[invite67cee7ed]

En vous remerciant.

[invite67cee7ed]

Avec basic 256 et
https://www.01net.com/telecharger/wi...es/132706.html

et K=2

INPUT k
x =0.535
FOR n=1 TO 50
x=k*x*x-1
NEXT n
FOR n=1 TO 100
x=k*x*x-1
PRINT x
NEXT n


On obtient:
0.306321741844
-0.812333980948
0.319772993204
-0.795490465635
0.265610161831
-0.858902483864
0.475426953575
-0.547938423628
-0.399526967824
-0.680756403962
-0.073141436929
-0.989300660408
0.957431593367
0.833350511954
0.388946151549
-0.69744178239
-0.027149920353
-0.99852576365
0.994107401344
0.976499050816
0.907100792488
0.645663695463
-0.166236784722
-0.944730662811
0.78503205051
0.232550640656
-0.891840399061
0.590758594795
-0.302008565351
-0.817581652909
0.336879518347
-0.773024380236
0.195133384879
-0.923845924212
0.706982583364
-0.000351253639
-0.999999753242
0.999999012967
0.999996051871
0.999984207514
0.999936830554
0.999747330196
0.998989448466
0.995959836294
0.98387199102
0.936008189429
0.752222661355
0.131677864512
-0.965321879995
0.863692663994
0.491930035674
-0.516009680003
-0.467468020287
-0.562947300018
-0.366180674805
-0.731823426798
0.071131056022
-0.989880745738
0.959727781567
0.842154829423
0.418449513441
-0.649800009402
-0.155519895563
-0.951627124168
0.811188366906
0.316053133208
-0.800220833979
0.28070676627
-0.842407422741
0.419300531778
-0.648374128101
-0.159221980019
-0.949296722158
0.802328533398
0.287462151009
-0.834731023474
0.393551763102
-0.690234019519
-0.047153996596
-0.99555300121
0.982251556436
0.929636240243
0.728447078348
0.061270291907
-0.992491902659
0.970080353688
0.882111785224
0.556242403263
-0.381188777624
-0.709390231627
0.006469001455
-0.99991630404
0.999665230171
0.998661144827
0.994648164376
0.978649941793
0.915511417142
0.676322309834
-0.085176266441
-0.98549000727
----------------------------------------
ET avec:

INPUT k
x =0.54321
FOR n=1 TO 50
x=k*x*x-1
NEXT n
FOR n=1 TO 100
x=k*x*x-1
PRINT x
NEXT n

k=2:

0.809198698433
0.309605067091
-0.808289404864
0.30666352403
-0.811914966059
0.318411824222
-0.797227820391
0.271144395211
-0.852961433892
0.455086415413
-0.585792709014
-0.313693804133
-0.803192394498
0.290236045158
-0.831526076182
0.382871230743
-0.706819241339
-0.000813120146
-0.999998677671
0.999994710689
0.99997884281
0.999915372135
0.999661502865
0.998646240622
0.994588627815
0.97841307716
0.914584299114
0.67292888037
-0.094333443928
-0.982202402714
0.929443119792
0.727729025859
0.059179070155
-0.992995675311
0.972080822373
0.889882250453
0.583780839341
-0.318399863237
-0.797243054182
0.271192974883
-0.852908740749
0.454906640091
-0.586119897603
-0.312926931268
-0.804153471374
0.293325611046
-0.827920171809
0.370903621776
-0.724861006707
0.050846958087
-0.994829173707
0.979370169715
0.918331858656
0.686666805246
-0.056977397147
-0.993507152429
0.974112923854
0.89779197684
0.612060867358
-0.250762989298
-0.874235846397
0.528576630251
-0.441213491906
-0.61066130912
-0.254185531087
-0.870779431572
0.516513636899
-0.466427325795
-0.564891099504
-0.361796091402
-0.738207176492
0.089899670848
-0.983836098363
0.935866936884
0.751693847103
0.130087279546
-0.966154599401
0.866909419885
0.503063884572
-0.493853456078
-0.51221752784
-0.475266408347
-0.548243682194
-0.398857729869
-0.681825022647
-0.070229276985
-0.990135697308
0.960737398169
0.84603269648
0.431542647027
-0.627541887593
-0.212382358631
-0.909787467484
0.655426471984
-0.140832279646
-0.960332538019
0.844477167157
0.4262833717
-0.636564974023
-0.189570067693

*
https://www.01net.com/telecharger/wi...es/132706.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Et pour ceux qui n'auraient pas forcément le luxe de se payer windows... la version F90 qui marche partout :

program test
real :: k = 2., x = 0.535
integer :: i
do i = 1, 50
 x = k*x*x-1
enddo
do i = 1, 100
x=k*x*x-1
write(*,*) x
enddo
end program

je n'obtient pas la même chose que vous (la première valeur affichée est -0.432297170).

[invite67cee7ed]

Bonjour,

Au regard de la publication de l'ouvrage Dieu joue t'il aux dés en 1989, ou Ian Stewwart utilise pour ses lecteurs la calculette ou l'ordinateur , j'ai employé ici Basic 256 (2006) . Celui donne des résultats bizarres: impossibilité d'aller au-delà de k =2.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Basic_(langage)

[invite67cee7ed]

"Et pour ceux qui n'auraient pas forcément le luxe de se payer windows... la version F90 qui marche partout "

Fortran 90 téléchargeable où svp ?
Merci.

[obi76]

Bonjour,

pour windows/mac ici : https://gcc.gnu.org/wiki/GFortran
sous linux c'est par défaut dans les dépots de n'importe quelle distribution.

[invite67cee7ed]

Bonjour,
j'ai installé Fortran 95 en mode free, sous Win 10.
Avec k= 2.75, la réponse est la suivante: " l'opération arithmétique a provoqué un dépassement de capacité".
Le mode free est-il à votre avis, bridé ?

[invite67cee7ed]

Ps. iIn:
program test
real :: k = 2., x = 0.535
integer :: i
do i = 1, 50
x = k*x*x-1
enddo
do i = 1, 100
x=k*x*x-1
write(*,*) x
enddo
end program

[obi76]

Pour le fortran il existe des compilateurs open source sans restrictions (comme le lien que je vous ai envoyé)... Sinon essayez par là : https://www.cygwin.com/

Ce genre d'erreur, je n'ai jamais vu, aucune idée...

[invite577a1421]

du chaos naît la régularité. Les deux sont inextricablement liés.

Je pense qu'il y a confusion entre les définitions des mots et l'application sur des cas particuliers.



Par définition, un phénomène chaotique produit une distribution de probabilités imprévisible.

Dans la nature, la plupart des phénomènes ont une distribution de probabilités prévisible.

Du coup, il n'y a jamais de phénomène chaotique pur dans la nature. La nature est un cas particulier.

Lorenz a découvert le chaos dans un jeu d'équations, pas dans la nature.

[JPL]

Merci de bien vouloir utiliser la balise Quote pour les citations.

[Deedee81]

Salut,

Par définition, un phénomène chaotique produit une distribution de probabilités imprévisible.
Dans la nature, la plupart des phénomènes ont une distribution de probabilités prévisible.
Du coup, il n'y a jamais de phénomène chaotique pur dans la nature. La nature est un cas particulier.

Holàlà, pas d'accord avec tout ça.

Tout d'abord des probabilités imprévisibles c'est au mieux une lapalissade au pire on oxymore !!!

Il serait mieux de dire que le chaos déterministe conduit à une évolution qui varie fortement avec de petites variations des conditions initiales (influence sensitive des conditions initiales) et comme la précision des mesures est limitée, l'évolution devient rapidement imprévisible.

Quand on étudie les attracteurs on voit aussi que les attracteurs dans le cas du chaos ont une forme particulière, dit attracteur étrange, avec une structure fractale qu'on a tendance à associer au chaos.

Les fractales sont fréquentes dans la nature mais ne sont stricto sensus que des fractales approchées (l'autosimilarité avec le changement de taille est limité tant vers le bas que vers le haut).

Par contre, les évolutions chaotiques/sensibles aux conditions initiales sont la normes plutôt que l'exception dans les phénomènes naturels. Ne fut-ce que la simple gravité, dès qu'il y a trois corps on rentre dans ce régime (même l'évolution du système solaire est chaotique mais, heureusement pour nous, sur des échelles de temps en milliards d'années).

Et on sait que les phénomènes météorologiques sont soumis à l'influence sensitive des conditions initiales (on ne pourra jamais prédire exactement les précipitations sur Paris un an à l'avance !) même si la situation est complexe (le modèle de Lorenz était d'une simplification extrême) et s'il existe aussi des régimes plus réguliers (bilans énergétiques, ensoleillement, effets liés au jet stream.... heureusement pour les prédictions climatiques).

Pendant longtemps (et encore souvent) tout l'art de l'ingénieur a été d'éviter les régimes chaotiques (me souvient de mes cours d'automatiques : évitez les contrôleurs dérivatifs ).

Depuis on a appris :
- à utiliser des régimes chaotiques (ils peuvent être très intéressant par exemple dans les mécanismes de mélange, de transfert de chaleur...)
- à dégager les aspects réguliers au sein des régimes chaotiques

[invite577a1421]

Je ne comprends toujours pas en quoi on peut systématiquement obtenir de la régularité du chaos.


Enfin, je n'ai peut-être pas la même définition du déterminisme que vous.

Pour moi, le déterminisme c'est de dire que le passé conditionne le futur et ça marche aussi bien pour la masse que les probabilités de gagner au loto demain.
Je suis peut-être biaisé par mon expérience, je n'ai plus le cours en tête.
Ceci explique pourquoi je dis qu'un système chaotique pur doit être imprévisible, probabilités incluses.

Je trouvais intéressant de remarquer que dans la nature, le chaos n'existe pas formellement car même si on est bloqué sur des variables "instantanées", on peut se rattraper avec des probabilités. Le chaos bloque la prévision de variables mais on a toujours d'autres variables du système qui sont prévisibles. Cela justifie la recherche sur tous les systèmes naturels accusés initialement d'être chaotiques !

[Deedee81]

Je ne comprends toujours pas en quoi on peut systématiquement obtenir de la régularité du chaos.

Je n'ai pas dit ça

Pour moi le chaos c'est.... chaotique

Ceci explique pourquoi je dis qu'un système chaotique pur doit être imprévisible, probabilités incluses.

Oui pour presque toute la phrase (mais je ne comprend pas le "probabilité incluse", des "probabilité imprévisibles" ça ne veut rien dire).
Notons que les systèmes chaotiques sont (ou peuvent être) totalement déterministe mais ne sont pas prévisibles (tout simplement parce qu'il est impossible de connaitre les conditions initiales avec une infinie précision).
Voir par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Sensib...ions_initiales

Je trouvais intéressant de remarquer que dans la nature, le chaos n'existe pas formellement car même si on est bloqué sur des variables "instantanées", on peut se rattraper avec des probabilités. Le chaos bloque la prévision de variables mais on a toujours d'autres variables du système qui sont prévisibles. Cela justifie la recherche sur tous les systèmes naturels accusés initialement d'être chaotiques !

Je trouve ton explication contradictoire :
"le chaos n'existe pas car on peu s'en sortir avec les probabilités dues .... au chaos"

Sinon, je suis d'accord avec ça. J'aurais dû le noter ci-dessus dans les cas (relativement récents !) de l'approche des systèmes chaotiques : on peut le faire à travers les probabilités.
Mais, si, les systèmes naturels sont presque toujours chaotiques.
D'ailleurs je l'ai dit, même le mouvement des planètes est chaotique : c'est même de là qu'est né la théorie du chaos, avec les travaux de Poincaré sur le système Terre-Lune-Soleil
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...3%A8me_solaire
Ca lui a vallu un prix quand même (prix du roi Oscar)

Tu sembles confondre "chaotique" avec "on ne sait rien en faire" ou avec une définition naïve du mot "chaos". C'est faux, on peut en faire quelque chose (voir les cas que je citais, ou comme tu le disais toi même en utilisant les probabilités).

C'est hyper courant dans les phénomènes naturels (et du vrai chaos, le chaos déterministe) : turbulence, systèmes complexes, ...

[invite577a1421]

Si vous ne comprenez pas pourquoi j'inclus les probabilités, je pense que je n'ai pas la même définition du déterminisme.
Du coup, oui je comprends pourquoi pour vous un système peut être chaotique et en même temps qu'on peut prévoir les probabilités.


Par contre, la phrase initiale du topic "le chaos et la régularité sont intrinsèquement liés", je pense que c'est un non-sens total.
Dans ma vision métaphysique, très influencée par la pratique en sciences de la Terre, le chaos est l'ennemi de la régularité. La régularité est imposée par la grande échelle, laquelle est prévisible, comment la régularité pourrait-elle être influencée par le chaos ?

[Amanuensis]

Ceci explique pourquoi je dis qu'un système chaotique pur doit être imprévisible, probabilités incluses.

Disons que dans la nature on rencontre surtout des systèmes chaotiques impurs.

[invite6c250b59]

Si vous ne comprenez pas pourquoi j'inclus les probabilités, je pense que je n'ai pas la même définition du déterminisme.

Pourquoi ne pas aller voir les definitions usuelles dans wikipedia ou une autre encyclopédie? Les mots “chaos”, “déterminisme”, “probabilité” ont des définitions précises, les utiliser t’éviterait certaines affirmations fantaisistes.

@deedee: pas clair que la plupart des systèmes naturels soient chaotiques. Plus précisément, un système chaotique de très haute dimension est indifférenciable d’un système stochastique. Concernant le chaos dans le système solaire, un lien d’intérêt: http://www.astrosurf.com/luxorion/ch...mesolaire4.htm

[Deedee81]

Salut,

A noter pour les recherches que "systèmes dynamiques" est peut-être moins connoté.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...mes_dynamiques

Plus précisément, un système chaotique de très haute dimension est indifférenciable d’un système stochastique.

Ca par contre je ne savais pas et c'est fort intéressant. Pas facile de trouver des infos. Tu aurais un lien ? (vulgarisé ou technique ou les deux)

j'ai un super bon bouquin sur la théorie du chaos, "Théorie des systèmes dynamiques", très technique et abordant tout le classique, les systèmes continus et discrets, les grands théorèmes, Lyapunov et consors, les attracteurs et le fameux truc génial : période 3 = chaos, avec les structures fractales et tout et tout..... Mais à bien y réfléchir.... tous les cas traités sont à faible nombre de dimensions. De tête je ne me souviens plus de l'auteur (bidjou et amazon bloqué chez nous, c'est nouveau çà).

[Deedee81]

Rectification, j'ai accès à amazon (j'avais un mauvais lien) mais je ne retrouve pas le nom (livre un peu ancien sans doute)

[invite6c250b59]

https://physics.stackexchange.com/qu...haos-in-models

[Deedee81]

https://physics.stackexchange.com/qu...haos-in-models

Merci beaucoup.

[Deedee81]

C'est vraiment intéressant et je comprend mieux le rapprochement "chaos <-> stochastique".
Etonnament, on trouve même des systèmes chaotiques a peu de dimensions simulant très bien le "bruit stochastique" comme l'application de Zaslavsky que je connaissais pas.

Ca a des implications sur ce qu'on disait plus haut sur les "systèmes naturels". Mais je ne veux pas spéculer, je vais y réfléchir
(en tout cas ça rapproche ma position de celle de Cts131 où je crois que principalement on n'arrivait pas à bien se comprendre).

[invite577a1421]

du chaos naît la régularité. Les deux sont inextricablement liés

LOGIQUE du chaos

Je ne crois pas que ce sont des définitions de wikipédia ?

Si on ne veut pas faire de métaphysique, il faut mieux alors ne pas suggérer qu'on en fait.

[Deedee81]

Je ne crois pas que ce sont des définitions de wikipédia ?

Ni même des définitions scientifiques

Mais je crois que les réponses ont bien recadrés les choses, enfin, j'espère (ce genre de sujet s'y prête assez mal... me demande pas pourquoi, j'en sais rien).

Si on ne veut pas faire de métaphysique, il faut mieux alors ne pas suggérer qu'on en fait.

Heu.... c'est toi qui a parlé de métaphysique (message 17). Les messages d'aeram ne me semblaient pas métaphysique, ils utilisaient juste une terminologie floue (la logique du chaos c'est effectivement très bizarre, c'est comme si je disais la logique de Navier-Stokes )

[invite577a1421]

Originellement, la discussion est informatique ok.

Par contre, je comprends que https://fr.wikipedia.org/wiki/Ian_St...C3%A9maticien) dit dans des livres de vulgarisation "du chaos naît la régularité. Les deux sont inextricablement liés".

La citation ne serait-elle pas mauvaise ? Je vulgarise peut-être à ma façon mais n'ai-je pas raison de protester contre cette citation ?

[invite6c250b59]

n'ai-je pas raison de protester contre cette citation ?

Tu protestes contre une citation que tu ne comprends pas ("qui n'a aucun sens selon ma vision métaphysique inspirée des sciences de la terre"). N'est-ce pas suffisant pour conclure sur la pertinence de ta protestation?

[invite577a1421]

On est dans un livre de vulgarisation donc par définition je comprends les mots. Je pourrais ne pas comprendre les mots si c'était un livre hyper technique.

Je pense que l'auteur utilise des mots hyper techniques pour tenter des conclusions "choc" dans un livre de vulgarisation. Mais la vulgarisation est là pour former, pas pour tenter des conclusions "choc". Pour moi, c'est une conclusion hyper polémique pour un livre de vulgarisation.

[JPL]

Ian Stewart est un écrivain scientifique d’excellent niveau. Il faut donc lire la citation dans son contexte avant de la critiquer. Le chaos n’est pas le désordre ; par exemple il crée dans l’eau des tourbillons très structurés. De façon plus générale si on représente le comportement de systèmes chaotiques dans un espace de phases on voit que leurs attracteurs ont une structure bien précise, sauf qu’ils ne décrivent jamais des courbes fermées.