les équations de Navier-Stokes

[MR88]

Bonjour,
J'ai essayé de résoudre les équations de Navier-Stokes, ce que j'ai trouvé:

https://1drv.ms/b/s!Am-h5X4nmYJpgQH2...vCBgM?e=Ks7I18

Merci de les vérifier et de me donner vos avis, suggestions…
Merci.
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[obi76]

Bonjour,

je vous avoue que vérifier 27 pages d'équations, je n'ai pas trop le courage.

Par contre, je ne vois pas, de près ou de loin, ce que la longueur de Planck vient faire là dedans. Ce qu'on veut c'est la solution de ces équations, pas une solution discrète.

Donc déjà résolvez ce problème, on verra ensuite...

[MR88]

Salut,

merci, obi76.

J'ai déjà essayé de trouver une solution générale, mathématiquement.

J'ai utilisé "c" (vitesse de la lumiere):
pour rendre moins difficile le terme '' u nabla u ''
pour faciliter l'études de la convergence

Je vais supprimé le terme de Planck (j'ai pensé a la pression qui règne au cœur des astres qui est plus grandes que celle de notre planète, c'est pour ca je l'ai mis) , malgré que j'ai écrit que c'est une constante que l'on peut changer en utilisant des conditions initiales.

de plus , je n'ai pas une grosse idée sur les mécaniques des fluides/milieux continues/hydrostatique, (j'ai une idée sur : dynamique des fluides, théorème de Bernoulli, écoulement de Poiseuille... ''niveau licence'')

J'ai enlevé le terme de Planck:
https://1drv.ms/b/s!Am-h5X4nmYJpgQJgicl2HIrOFgdy

[obi76]

Ben oui, et mathématiquement, je ne vois pas ce que vient faire l'échelle de Planck là dedans quand même. Et si encore l'argument était physique, ça ne veut quand même absolument rien dire, les équations de NS n'étant valables qu'à l'échelle mésoscopique.

Et je ne vois pas ce que "u nabla u" a à voir avec la vitesse de la lumière...

"Résoudre NS" c'est trouver le vecteur vitesse, et le champ de pression (scalaire) dans le cas le plus élémentaire en fonction de (x,y,z), c'est tout. Et si vous voulez faire converger un truc, utilisez epsilon que vous ferez tendre vers 0, comme tout le monde...

Donc je ne vois toujours pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Avez-vous comparé vos résultats à ceux d'un calcul numérique direct sur une situation modèle ?

[MR88]

Bonjour, Albanxiii
Franchement, Non.
je vais le faire ce soir.
J'ai pensé que vous prenez vos temps de verifier les passages mathématiques.
Mais Obi76, est très rapide.

[MR88]

est maintenant? (malgré que ca nécessite une démonstration)

[obi76]

Heu u_i c'est la vitesse initiale.... OK, mais dans quelles conditions ? On peut prendre n'importe quoi ?

Et dans votre solution, u_x est une exponentielle décroissante selon x. C'est bien, mais c'est un cas particulier ça. Ce n'est jamais le cas, sauf cas d'école très restreint.

Sinon un écoulement proche paroi, pour commencer, à Re faible, on connaît la solution analytique (et dans ce cas u_x n'est pas une exponentielle décroissante selon x, mais une section de parabole selon la normale à la paroi : bref pas du tout ce que vous avez écrit).

Après on va pouvoir s'amuser un peu : écoulement autour d'un cylindre.

Mais très sincèrement, je ne vois pas, de près ou de loin, en quoi ceci est une solution de NS (dans le cas général).

Déjà trouvez une solution sans la gravité, on pourra discuter après...

[extrazlove]

Pourquoi vous le vérifier pas vous même, il suffit de voir si votre solution vérifie bien les 4 équations de NS.

[obi76]

En fait même pas besoin d'essayer, le premier exemple que je trouve ne correspond pas à cette "solution" (qui n'en est pas une, du coup)...

Et il y a encore un autre problème : lorsque le temps augmente, votre solution diverge.

[extrazlove]

J'ai une question a propos de vecteur U est ce que U vérifie et et

Dans ce cas le terme qui es multiplié par la viscosité s'annule dans les 3 équations et on aura une solution exacte.

[obi76]

Non, parce que ce que vous écrivez là est (encore) un cas très particulier, qui n'est pas une solution générale.

Déjà est-ce que div(U) = 0, on va commencer par là.

Quant au reste, les problèmes que j'ai soulevés montrent que ceci n'est pas une solution de NS (et de très loin).

[extrazlove]

Non, parce que ce que vous écrivez là est (encore) un cas très particulier, qui n'est pas une solution générale.

Déjà est-ce que div(U) = 0, on va commencer par là.

Quant au reste, les problèmes que j'ai soulevés montrent que ceci n'est pas une solution de NS (et de très loin).

Merci pour votre réponse j'ai une autre question est ce que U^2=Ux^2+Uy^2+Uz^2?

[obi76]

oui .

[extrazlove]

Merci et la derniere question est que Ux x y= Ux y x et Uy x z=Uy z x par exemple ?

[obi76]

Je ne comprends pas ce que vous avez écrit.

[extrazlove]

se sont les dérivés partial seconde écrite par une autre notation mathématique par exemple Ux y ou UX y et =Ux y y ou UX y y.

[MR88]

Pour Obi76
« On peut prendre n'importe quoi ? »
- Oui (tous vitesse non nulle), j’ai déjà trouvé les résultats en utilisant « c ».
« Et dans votre solution, u_x est une exponentielle décroissante selon x. C'est bien, mais c'est un cas particulier ça. Ce n'est jamais le cas, sauf cas d'école très restreint. »
- Oui, j’ai déjà remarqué la convergence vers 0, et c’est pour ça, je suis ici ��
« Après on va pouvoir s'amuser un peu : écoulement autour d'un cylindre. »
- Ok, je vais essayer avec cette situation modèle

« Déjà trouvez une solution sans la gravité, on pourra discuter après... »
- C’est difficile, car la gravité apparaitre dans les équations différentielles de NS.
- De plus la gravité joue un rôle dans les régimes de masse et de déplacement !
- Mais je vais essayer de forcer et de trouver une solution sans la gravité, malgré que ça sera difficile.

Pour extrazlove,
"Pourquoi vous le vérifier pas vous-même, il suffit de voir si votre solution vérifie bien les 4 équations de NS."
Merci d’essayer de remplacer les résultats dans les NS, il suffit de simplifier les deux coté par exp(2c²t/v), déjà il apparait beaucoup, pour voir que l’equation tends vers 0.

obi76
« Et il y a encore un autre problème : lorsque le temps augmente, votre solution diverge. »
J’ai déjà vu ce problème , et j’ai quelque idées , je peux considérer que l’ Ecoulement est permanent ou plus générale d’ intervenir le terme au cours de la resolution…

« Déjà est-ce que div(U) = 0, on va commencer par là. »
- Il ne suffit pas de montrer que lorsque x=0, y=0 et z=0 , div(U) = 0, et lorsque x,y,z tends vers + l’infini , div(U) tends 0, pour dire que div(U) = 0 ?? c’est déjà le cas !

[obi76]

- Oui (tous vitesse non nulle), j’ai déjà trouvé les résultats en utilisant « c ».

Oui donc ne respectant même pas les conditions limites imposées.

- Oui, j’ai déjà remarqué la convergence vers 0, et c’est pour ça, je suis ici ��

Ben certes, mais t = 0 c'est la solution initiale. t il évolue, puisque c'est un temps...

- Ok, je vais essayer avec cette situation modèle

Non, faites le plus simple : une couche limite, c'est plus simple, c'est stationnaire (et on connaît la solution analytique), et votre solution ne convient même pas.

- C’est difficile, car la gravité apparaitre dans les équations différentielles de NS.
- De plus la gravité joue un rôle dans les régimes de masse et de déplacement !
- Mais je vais essayer de forcer et de trouver une solution sans la gravité, malgré que ça sera difficile.

Non, la gravité est un terme source qui PEUT être rajouté si la gravité n'est plus négligeable. Mais avant d'essayer de complexifier tout ça, essayez déjà avec le truc le plus élémentaire : incompressible, sans gravité, 2D, isotherme, etc.
D'ailleurs en incompressible, le terme de gravité n'intervient pas dans les vitesses solutions en monophasique (à rho constant quoi). Or il apparaît dans vos solutions. Encore un truc faux.

J’ai déjà vu ce problème , et j’ai quelque idées , je peux considérer que l’ Ecoulement est permanent ou plus générale d’ intervenir le terme au cours de la resolution…

Sauf qu'un écoulement stationnaire est un cas particulier. Un écoulement autour d'un cylindre n'est généralement pas stationnaire (pas "permanent")

- Il ne suffit pas de montrer que lorsque x=0, y=0 et z=0 , div(U) = 0, et lorsque x,y,z tends vers + l’infini , div(U) tends 0, pour dire que div(U) = 0 ?? c’est déjà le cas !

Quels que soient x, y et z, en incompressible div(U) est censé être nul (hypothèse faite dans votre approche). Et non, dire que quand x,y,z = 0, div(U) = 0, et que quand x,y,z tendent vers l'infini div(U) tend vers 0 n'est pas suffisant. div(U) il est nul partout et tout le temps. Point.

Bref, je pense que vous devriez lire des cours de méca flotte serieux, parce que là vous vous lancez dans un truc complètement faux, et de surcroît pas physique du tout.