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Les équations de Navier-Stokes



  1. #1
    Jeanveux

    Les équations de Navier-Stokes


    ------

    Bonjour à tous !

    Depuis quelque temps je m'intéresse aux équations de Navier-Stokes, malgré quelques lectures de vulgarisation sur le sujet je ne saisi toujours pas ce que les physicien/mathématicien cherche à obtenir et surtout qu'est ce qui pose difficulté ?

    Voilà si on pouvait me vulgariser tous ça,disons comme à un collégien , merci d'avance.

    Bonne journée !

    -----

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  3. #2
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Salut,

    Pour les physiciens, il n'y a pas réellement de problème les équations de NS sont (très) couramment utilisés sans difficultés autres que le volume des calculs (numérisation, calcul sur supercalculateur : aérodynamique, hydrodynamique, météo).

    C'est un problème mathématique (je suppose que tu fais référence au "problèmes du Millenium" ? Ce sont des problèmes de math). Mais avec éventuellement un impact en physique (les équations sont-elles bien fondées).

    Et la question est toute bête : hors les solutions triviales, l'équation admet-elle des solutions sans divergences ? Question simple mais réponse... très difficile.
    Keep it simple stupid

  4. #3
    0577

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Et la question est toute bête : hors les solutions triviales, l'équation admet-elle des solutions sans divergences ? Question simple mais réponse... très difficile.
    la question est de montrer que pour toute donnée initiale (régulière) au temps t=0, il existe une unique solution (régulière) pour tous les temps t>0. La réponse est connue pour certaines données initiales explicites ou avec des symétries particulières (par exemple invariantes sous translation dans une direction: on peut alors se ramener au problème analogue en dimension 2 qui est connu). La difficulté est de traiter une donnée initiale arbitraire (et non pas de trouver une condition initiale où tout se passe bien).

  5. #4
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Citation Envoyé par 0577 Voir le message
    la question est de montrer que pour toute donnée initiale (régulière) au temps t=0, il existe une unique solution (régulière) pour tous les temps t>0. La réponse est connue pour certaines données initiales explicites ou avec des symétries particulières (par exemple invariantes sous translation dans une direction: on peut alors se ramener au problème analogue en dimension 2 qui est connu). La difficulté est de traiter une donnée initiale arbitraire (et non pas de trouver une condition initiale où tout se passe bien).
    Merci d'avoir précisé.

    Jeanveux, as-tu été voir les articles wikipedia et ceux de l'institut Clay ? Parce que cela me semble assez clair, non ? C'est pas comme si tu posais une question sur la conjecture de Hodge (là d'accord, faut déjà arriver à comprendre la question )
    Keep it simple stupid

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Jeanveux

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    D'abord merci pour vos réponse ,


    Je parle bien du problème mathématique a 1 millions de dollars, j'ai lu et regarder l'ensemble de la vulgarisation (dont les page wikipédia) sur le sujet en anglais et en français (enfin surtout ce qui est en français),le problème est que soit c'est bien vulgarisé mais ne donne pas suffisamment de détails sur ce qui pose problème ou alors tout l'inverse donne plein de détails mais je n'y comprend rien.
    Ce que je pense avoir compris :

    Ont à des équations qui d'écrivent de manière générale comment les fluides devrais ce comporté, mais ont n'arrive pas à trouver de solution globale, unique et stable à ces équations

    Peut être que je dit une bêtise mais ça ne ressemble pas à un problème à N corps ?

    De ce que tu me dit Deedee81 les physiciens utilise des modèles mais ne sont pas sur qu'il décrive la réalité ?
    Mes questions :
    Peut t'on me décrire un peu comment fonctionne les équations
    Quels sont les différentes méthodes testables et testés ?
    Ou en est la recherche à ce niveau ?


    Je suis vraiment nul en mathématique je n'est qu'un bagage niveau collège .

    Voilà merci d'avance !



    Ps: Je sais que j'en demande beaucoup à vulgarisé merci quand même !

  8. #6
    obi76
    Modérateur*

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    Ont à des équations qui d'écrivent de manière générale comment les fluides devrais ce comporté, mais ont n'arrive pas à trouver de solution globale, unique et stable à ces équations
    Unique, d'accord (en effet je ne crois pas que l'on ai démontré l'existence d'une solution unique), mais c'est quoi pour vous une solution "stable" et "globale"... ?

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    Peut être que je dit une bêtise mais ça ne ressemble pas à un problème à N corps ?
    Pas du tout

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    De ce que tu me dit Deedee81 les physiciens utilise des modèles mais ne sont pas sur qu'il décrive la réalité ?
    Il décrit un système, avec certaines hypothèses, qui s'approche le plus possible du comportement d'un fluide "réel". Comme n'importe quel modèle en physique.

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    Quels sont les différentes méthodes testables et testés ?
    On discrétise et on résout par la simulation numérique (cf https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...num%C3%A9rique).

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    Ou en est la recherche à ce niveau ?
    Elle avance, on arrive à résoudre des trucs extrêmement complexes de plus en plus vite et de façon de plus en plus numériquement stable. Mais là c'est clairement hors de portée de l'amateur. Il s'agit d'un métier à part entière.
    Dernière modification par obi76 ; 19/04/2021 à 14h29.
    Paradoxalement, ce sont les débats stériles qui se reproduisent le plus.

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  10. #7
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    J'avais lu que certains avaient fait quelques avancées, Terence Tao notamment si je ne me trompe, mais on est loin de la solution et c'est extrêmement pointu (et c'est peu de le dire et c'est vrai des 7 problèmes, les approchez "simples" ayant déjà été tentées. Les solutions se trouver très certainement dans divers domaines pointus avec des "ponts" entre ces domaines, ponts encore à construire, un peu comme pour la conjecture de Poincaré ou le théorème de Fermat bien que lui de faisait pas partie du Milenium).

    Le mieux est d'aller voir wikipedia, ça doit être documenté
    Keep it simple stupid

  11. #8
    Jeanveux

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Merci pour les réponses

    Unique, d'accord (en effet je ne crois pas que l'on ai démontré l'existence d'une solution unique), mais c'est quoi pour vous une solution "stable" et "globale"... ?
    Je crois que ça veut dire quel l'on veut des solutions pour n'importe quels condition initiale tant quel n'est pas trop extrême (donc globale) et stable voudrais dire qu'en changeant très légèrement les condition initiale ça ne changerais pas trop la solution et surtout qu'elle n'exploserai pas .

    Le meilleurs lien que j'ai ces ça :https://terrytao.wordpress.com/2007/...tokes-is-hard/


    Ca date mais je pense que c'est le plus complet que je puisse trouver si on quelqu'un peut me le résumer de façon vulgarisé c'est bien venu

    Ce lien mieux vulgarisé ma beaucoup aidé aussi mais bon je ne suis pas rassasié :
    http://images.math.cnrs.fr/Turbulenc...s.html?lang=de


    Concernant Wikipédia je trouve ça assez indigeste (je ne sais même pas lire les symbole mathématique) !

    Voilà merci à l'âme charitable qui saura me rassasié !
    Dernière modification par Jeanveux ; 19/04/2021 à 15h07.

  12. #9
    obi76
    Modérateur*

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    Je crois que ça veut dire quel l'on veut des solutions pour n'importe quels condition initiale tant quel n'est pas trop extrême (donc globale)
    Je ne vois pas le lien entre le fait qu'elles ne sont pas trop "extrêmes" (définissez "extrême", déjà...), et le fait qu'elles soient "globales" ou non.

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    et stable voudrais dire qu'en changeant très légèrement les condition initiale ça ne changerais pas trop la solution et surtout qu'elle n'exploserai pas .
    C'est quoi une solution qui "explose" ?

    Et si vous avez bien lu les liens que vous avez mis :

    Le modèle reflète-t-il la réalité ?

    On croit souvent qu’une procédure fiable de vérification est de comparer les solutions numériques avec des données expérimentales. Mais il s’agit là d’une idée fausse. On peut certes ajuster progressivement un modèle de turbulence jusqu’à ce que la solution numérique approche les données expérimentales avec une grande précision, mais ce n’est pas ainsi que l’on améliore notre compréhension de la turbulence.

    Par ailleurs, comme j’y ai fait allusion, les équations de Navier-Stokes ne constituent qu’un modèle mathématique de l’écoulement d’un fluide visqueux, et il n’est pas garanti que ce modèle soit toujours conforme à la réalité physique.
    vous y avez déjà la réponse à l'une de vos questions.

    Et pour finir il y a plein de NS et dérivés, par exemple en incompressible, en dilatable, en Low Mach, etc.

    Bref il n'y a pas une réponse claire et simple à vos interrogations, c'est un cours de méca flotte complet qu'il vous faudrait.
    Dernière modification par obi76 ; 19/04/2021 à 15h13.
    Paradoxalement, ce sont les débats stériles qui se reproduisent le plus.

  13. #10
    Jeanveux

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Ok sinon qu'est-ce que la résolution de ces équations pourrait nous apportés de plus (en physique et en math) puisqu'on les utilise déjà partout (même si se sont des des solutions approchées) ?

  14. #11
    Merlin95

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Pas tant dans le résultat que dans une nouvelle approche des équations différentielles (en général).
    « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. »

  15. #12
    Anonyme007

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Bonsoir,

    Sur le lien suivant, https://silo.tips/download/las-ecuac...-navier-stokes , on présente de manière détaillée le problème de Navier Stokes.

    Cordialement

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  17. #13
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Salut,

    Vu le nombre très grand de sources disponibles, une source en espagnol est-elle vraiment appropriée ?
    Keep it simple stupid

  18. #14
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    Pas tant dans le résultat que dans une nouvelle approche des équations différentielles (en général).
    +1

    La plupart des problèmes du millénium sont de ce type :
    - considérés comme importants (petit caillou dans la chaussure d'un domaine extrêmement important, comme p!=np supposé mais non démontré par la majorité des codes de cryptographie)
    - considérés comme difficiles et ayant totalement résisté jusque là
    mais une démonstration n'est alors généralement qu'une simple confirmation (ouf, c'est bon, ou ça va, on a délimité le domaine de validité). Il faut donc ajouter :
    - la démonstration fera appel a des domaines mathématiques pointus, jettera des ponts entre ces domaines (j'en parlais plus haut), créera de nouveaux outils.
    Et c'est là que résidera l'utilité principale (mathématiques mais après aussi évidemment dans les mathématiques appliquées et peut-être la physique).

    Ceci dit, il n'est pas exclut d'avoir des surprises :
    - une démonstration simple: chouette, mais l'objectif serait raté !!!!
    - des conséquences importantes sur le domaine (par exemple, résoudre le problème de Yang et Mills aidera-t-il a construire une théorie axiomatique des champs complète ?)

    Mais il est clair que pour Navier-Stokes, la résolution du problème n'aura strictement aucun impact sur la plupart des usages. On continuera à calculer le profil des avions, etc... avec les codes numériques actuels (utilisant NS). Sans sourciller. Et ce quel que soit le résultat de la résolution. De même si on démontrait P=NP, on n'arrêterait pas pour autant d'utiliser les cryptages actuels (qui sont mieux que de ne rien crypter du tout).... surtout si on démontre que un problème NP est de complexité N^10 par exemple
    Dernière modification par Deedee81 ; 20/04/2021 à 06h58.
    Keep it simple stupid

  19. #15
    Jeanveux

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Bonjour,

    Merci pour les réponse et pour le lien Deedee81 concernant la cryptographie je sais pas mais je mettrais de l'argent dans un coffre car clairement résoudre P=NP puis se mettre à piraté tout le monde est bien plus lucratif que gagner 1 millions de dollars !
    On à aucune chance si on est attaqué par surprise .

    Ceci dit, il n'est pas exclut d'avoir des surprises :
    - une démonstration simple: chouette, mais l'objectif serait raté !!!!
    - des conséquences importantes sur le domaine (par exemple, résoudre le problème de Yang et Mills aidera-t-il a construire une théorie axiomatique des champs complète ?)

    Pourquoi se serait raté si la démonstration est simple (?),au contraire ça veut dire qu' il nous manquait une pierre angulaire pour nos raisonnement future ( je préfère nettement des raisonnement simple qui nous demande peu de temps peu d'énergie et surtout de seulement mettre en pratique le B-A-BA plutôt qu'une solution extrêmement coûteuse sorti de nul part).

  20. #16
    obi76
    Modérateur*

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    Merci pour les réponse et pour le lien Deedee81 concernant la cryptographie je sais pas mais je mettrais de l'argent dans un coffre car clairement résoudre P=NP puis se mettre à piraté tout le monde est bien plus lucratif que gagner 1 millions de dollars !
    On à aucune chance si on est attaqué par surprise .
    L'un n'empêche pas l'autre, comme l'a expliqué Deedee.

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    Pourquoi se serait raté si la démonstration est simple (?),au contraire ça veut dire qu' il nous manquait une pierre angulaire pour nos raisonnement future ( je préfère nettement des raisonnement simple qui nous demande peu de temps peu d'énergie et surtout de seulement mettre en pratique le B-A-BA plutôt qu'une solution extrêmement coûteuse sorti de nul part).
    Oui, n'empêche que si vous partez de ce postulat, vous tomberez dans le DK le plus complet. S'il y en a, tant mieux, mais la probabilité qu'elle existe est extrêmement faible, vu le nombre de personnes qui s'y sont attaqués.
    Paradoxalement, ce sont les débats stériles qui se reproduisent le plus.

  21. #17
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Salut,

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    Pourquoi se serait raté si la démonstration est simple (?)
    Bien sûr, tout le monde aime les démonstrations simples. Mais ici ces démonstrations ne seront que de simples confirmations. Le plus gros intérêt est ce qu'apporte en plus ces démonstrations. Et une démonstration simple n'apporte rien de plus. J'en ai parlé ci-dessus. L'intérêt de la démonstration de Wiles de Fermat par exemple n'est pas tant le résultat (on s'en doutait et avait déjà été vérifié dans la plupart des cas ! Manquait "juste" un petit bout) que les outils formidables qu'il a mis au point et qui ont donné un coup de boost au programme de Langlands.

    Parfois l'intérêt n'est le clou à enfoncer mais le marteau qui sert à ça

    Et j'en avais parlé aussi plus haut, une démonstration simple est hautement improbable (il y a même un des cas où il a déjà été montré qu'une démonstration simple ne peut pas exister. Je ne sais plus quel problème, P/NP je crois, faut aller lire les documents présentés par Clay ou alors c'est sur Syracus, je suis plus sîr).

    Le plus merveilleux serait :
    - de trouver une démonstration apportant énormément : outils, nouveaux domaines des mathématiques, etc...
    - puis de la simplifier pour qu'elle soit compréhensible par le commun des mortels (ou presque)

    Mais faut pas rêver, ça c'est un rêve plus que pieux (j'ai lu des résumés bien fait de la démonstration de Wiles, et le principe, la méthode générale, no stress, je comprend, mais faut pas me demander les détails. Il y a certains aspects qui font appel à des connaissances que je n'ai pas. Idem avec la démonstration de la conjecture de Poincaré : l'histoire des coupures, de l'utilisation de flot de Ricci, ça va mais les détails me dépassent).

    La démonstration de NS sera certainement extrêmement complexe (je prend les paris ). Faudra faire avec.

    Par contre pour ce genre de sujet, faut pas avoir peur, il y aura des présentations vulgarisées extrêmement bien faites de la méthode utilisée. Comme pour Wiles, Poincaré....
    (je connais des démonstrations imbuvables mais non vulgarisées car les théorèmes en question ne sont grosso modo connus que des spécialistes. Mais ici, les problèmes du Millenium, c'est connu de tous... enfin presque )
    Exemple : le théorème de classement des représentations du groupe SU(3) avec les poids et tout ça. Costaud. Jamais vu une présentation "simplifiées" (dans le sens expliquée dans les grandes lignes pour le non spécialiste). Mais on s'en fout car quel non spécialiste s'intéresse à la théorie des représentations du groupe SU(3) ???

    EDIT contre-exemple : le classement des groupes finis semi-simples. Jamais vu d'explication vulgarisée complète. Bon faut sans doute le temps de le faire vu que la démo est grosse comme un énorme bottin téléphonique.
    Dernière modification par Deedee81 ; 20/04/2021 à 08h57.
    Keep it simple stupid

  22. #18
    obi76
    Modérateur*

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    La démonstration de NS sera certainement extrêmement complexe (je prend les paris ). Faudra faire avec.
    De toutes façons c'est comme pour P=NP, on ne sait même pas si c'est démontrable...

    Et sincèrement vu le truc tordu que c'est NS, j'en doute. Enfin bon, wait & see.
    Dernière modification par obi76 ; 20/04/2021 à 08h55.
    Paradoxalement, ce sont les débats stériles qui se reproduisent le plus.

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  24. #19
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    De toutes façons c'est comme pour P=NP, on ne sait même pas si c'est démontrable...
    Avec les axiomes habituels tu veux dire, je suppose. La question est également posée. Je pense que si on démontrait ça (le caractère indécidable) ce serait aussi accepté par Clay. Resterait à voir dans quelle axiomatique le démontrer (sans bêtement ajouter l'axiome P=NP ou P!=NP bien sûr ).

    Certains des problèmes de Hilbert ont subis ce sort. Cela ne les rend pas moins intéressant
    Keep it simple stupid

  25. #20
    Jeanveux

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Re ,

    Dîtes vous savez comment où je pourrais trouver une démonstration des équations de Navier-Stokes en 2 dimension ?

  26. #21
    mtheory

    Re : Les équations de Navier-Stokes

    Citation Envoyé par Jeanveux Voir le message
    Re ,

    Dîtes vous savez comment où je pourrais trouver une démonstration des équations de Navier-Stokes en 2 dimension ?
    Il faut regarder là https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_toc.html, commencer par le calcul vectoriel infinitésimal et ensuite aller voir les leçons sur l'élasticité et la mécanique des fluides.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

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