3 arguments du théorème de Shannon

[inviteed07c2ea]

Bonjour,

dans mon cours du traitement du signal électronique, je n'ai pas compris le principe du théorème de Shannon. Quelqu'un pourrait m'expliquer le principe en qq lignes et en français?

Egalement, nous avons vu 3 arguments justificatifs
- le 1er relatant au problème des variations rapides du signal
- le 2eme disant que pr reproduire correctement le signal à partir des échantillons, il faut pouvoir produire les variations rapides du signal (?) et disposer l'expression de la composante spectrale à la fréquence la + élevée (?)
- le 3eme ??? dit qu'il est possible de reconstituer le signal analogique de départ à parir des échantillons (??? suivi d'1p de calcul et de 3p de petits graphiques)


les notions vues en classe ne sont pas très claires, qqn pourrait-il me les ré-expliquer/résumer en qq lignes? (ou me donner un lien versu n site explicatif).

Je précise que je fait des études de cinématographie, dc il n'es pas nécessaire d'aller en profondeur avec plein de calculs et d'exemple, cequi nosu interesse c'est ce qu'on en retient


MERCI A TOUS!!! (examen bientôt..)
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[invitea2a307a0]

bonjour,
quand on échantillonne un signal de fréquence unique, soit F, avec une période Te d'échantillonnage (fréquence Fe = 1 / Te), alors on crée la fréquence Fe - F, et d'autres également.
Si la fréquence Fe - F est plus petite que F, alors le signal reconstitué par un filtre passe-bas (laissant passer les fréquences inférieures à une valeur caractéristique) contiendra F et Fe - F. Ce nouveau signal est donc différent de l'original.
Pour éviter cela, on choisit Fe-F supérieur à F et donc le théorème de Shannon dit que Fe > 2 F.
Ais-je été clair ?
Bonne continuation.

[inviteed07c2ea]

Merci bcp pr ta réponse chrisric!
Je suis en train de revoir la matière à l'instant, ca devrait aller, jsuis sur la bonne piste, si j'ai une question ou précision à demander, je vienrai te voir ^^"

Sinon, heureusement, j'ai trouvé un prof particulier avec qui revoir une partie de la matière demain.

[gcortex]

là tu as 2 échantillons par période
avec ces 2 échantillons, on ne peut pas reconstituer le signal
car on ne peut pas deviner l'amplitude

par contre avec 3, on peut retracer le sinus passant par ces points

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c20f11a]

Bonjour Izzy,

Une autre façon de voir les choses:
On suppose une belle sinusoïde de fréquence F, et on te demande de la représenter par des points (échantillons) régulièrement répartis. Tu vois tout de suite, que plus tu as de points, mieux tu pourras la dessiner avec précision. Avec 10 points, c'est bon.

Et maintenant, on te diminue le nombre de points, il n'y a plus que 5 points, cela va être difficile, mais un calculateur rapide va encore arriver à placer la sinusoïde en passant sur les 5 points.

Et quelle est la limite, le nombre de points minimum en dessous duquel il devient impossible de placer la sinusoïde, le théorème te dit que c'est deux, donc tu dois échantillonner à une fréquence au moins de 2 fois F.
Pas compliqué.
(tous les mécanos connaissent ça!)

[gcortex]

pont2 a le mérite d'avoir gardé les pieds sur terre !

de même qu'on peut pas tracer une droite avec un seul point
ou une parabole avec 2 points...

[inviteec6b577e]

hey!
Moi aussi je suis dans la même école,même année...Peut etre qu'on se connait?
Je comprend rien non plus à ce théorème de Shannon. Je préfère les choses expliquée simplement...
Donc en gros, Pour reconstituer un signal, on prend des ptits échantillons (de ce signal) selon un certaine fréquence, qui elle, doit être au moins 2 fois plus grande que la fréquence maximum qui se trouve dans le signal de départ? Pis on rejoint tous ces échantillons...Et on refait le signal.
C'est ça?? Enfin, si j'explique ca comme ca à mons prof,... Ca pourrait aller?
Voilà merci

[fiatlux]

misstyler,

Tu as un signal de départ qui est analogique, ou continu si tu préfères (un sinus, par exemple). Pour traiter ce sinus (l'amplifier, le filtrer, faire des trucs avec ) il faut d'abord le numériser, car c'est beaucoup plus simple de traiter un signal numérique qu'un signal analogique. Comment numériser ? En échantillonnant le signal analogique. Qu'est-ce que ça veut dire? On échantillonne à une certaine fréquence Fe appelée fréquence d'échantillonnage. La période d'échantillonnage est donc Te = 1/Fe. Donc si tu échantillonne ton sinus (qui a, admettons, une fréquence F) avec une période d'échantillonnage de Fe, tu vas venir lire la valeur de ton sinus toutes les Te secondes. Par exemple si tu as un sinus de fréquence F = 1Hz, alors sa période est T = 1s. Si tu prends une fréquence d'échantillonnage de Fe = 10 Hz, alors tu as Te = 0.1s. Donc en échantillonnant, tu connaitras la valeur de ton sinus après 0s, après 0.1s, après 0.2s, après 0.3s, après 04s, ..., après 1s. Tu ne sais pas quelles valeurs il a entre deux, tu sais juste quelles valeurs il a toutes les Te secondes.
Donc maintenant tu as ton signal numérique. Tu les traites, le filtres, le chais-pas-quoi-que-tu-veux-faire-avec, puis tu dois le reconvertir en signal analogique. Admettons pour faire simple que tu veux retrouver exactement le même signal qu'au départ (ton sinus analogique), alors le théorème de Shannon te dit si tu veux pouvoir reconstruire ton signal analogique sans erreur à partir des échantillons de ton signal numérique, il faut que Fe soit au moins 2 fois plus grande que F, ce qui est le cas dans l'exemple ci-dessus (Fe = 10 > 1 = F).
Imagine maintenant que tu aies choisi Fe = 1.5 Hz (alors Te = 0.667s). Alors en échantillonant ton sinus, tu connaîtrais ses valeurs à 0s et à 0.667s, c'est tout. Selon le théorème de Shannon, il est impossible de reconstruire le signal analogique original à partir de ces échantillons, car on n'a pas respecté la règle Fe > 2F. Pour reconstruire un sinus, il faut connaître au moins 3 points du sinus (tout comme pour construire une droite, il faut connaitre au moins 2 points de la droite). Donc la fréquence d'échantillonnage minimale qui t'assure d'avoir 3 échantillons de ton sinus à 1Hz, c'est Fe = 2Hz. Ainsi, tu as des échantillons à 0s, 0.5s et 1s. C'est donc bien la fréquence d'échantillonnage minimale pour un sinus à 1Hz.

PS: De manière général, comme les signaux réels sont en réalité une superposition de sinus (théorie de Fourier), la fréquence d'échantillonnage doit être au moins 2 fois plus grande à la plus élevée des fréquences qu'on trouve parmis ces sinus.

PS2: En pratique, quand on échantillonne un signal, on choisit Fe environ 10 fois supérieure à F, histoire d'avoir de la marge, même si en théorie Fe = 2F suffit.

[inviteed07c2ea]

Bonjour,
j'ai passé mon examen il y'a déjà 2semaines, voici les conclusions que j'en avais tiré, en assemblant différentes explications:
(donc effectivement misstyler, nosu devons être dans la même école ^^ avec le lutin plop?)

Le théorème de Shannon rentre en compte dans le passage d'un signalanalogique à un signal numérique.
Ce passage du signal se fait sur base d'échantillonage, et se passe en troistemps (les trois arguments)

::: 1° > l'échantillonage :::
- choix de la quantification temporelle: détermination de Ts (période
d'échantillonage) sur base d'analyse du domaine temporel. Pour contrer le problème des variations rapides du signal il faut que fs > 2. f max du signal.
- choix de la quantification en amplitude: détermination de la fréquence du signal

::: 2° > traitement :::
pour pouvoir traiter correctement le signal dont on a "prélevé" les
échantillons, il faut disposer de l'expression spectrale de la fréquence la +élevée (fmax).
Il dispose de 3 paramètres: l'amplitude, la fréquence et la phase à
l'origine

::: 3° > reconstitution :::
le théorème de Shannon affirme qu'il sera possible de reocnstitueter le signal analogique de départ à partir des échantillons.
+ le pas de quantification sera petit, + on en aura, + la qualité du signal sera meilleure. (respecter les conditions minimales, par ex: on ne pourra pas tracer une droite avec un point, il en faut au moins deux, pareil avec une parabole, 2 points ne suffisent pas, i len faut au moins 3).
mais attention, +la fréquence d'échantillonage sera élevée, + il y'aura de circuiterie électronique (alors c'est ptet rapide et marche mieux, mais c'est cher et prend bcp de place).

((( Egalement, l'onde porteuse? (je sais plus...) devra être rapide, car il doit avoir le temps de prendre un échantillon, de le reconstituer, et de filer échantilloné le suivant, avant de redescendre pour envoyer le nouveau "point", pour reconstituer le signal analogique de départ. Elle sera entourée d'enveloppes de modulation.. ? )))


:::Conclusion:::
Pour que l'on puisse reconstituer le signal analogique àpd des échantillons il ne faut pas qu'il y'aie confusion entre les composantes spectrales du signal échantillonné.

la fréquence d'échantillonage doit être suffisament éleveée pur qu'il n'y ai pas de confuson entre les signaux.

[alayn91]

Bonjour,

Je vais ajouter mon grain de sel !

Mr Shannon dit que l'on peux reconstituer une SINUSOïDE avec deux échantillons. C'est des maths.

Mr Nyquist a rajouté que l'on peux reconstituer un signal analogique
quelconque, possédant une certaine BANDE PASSANTE( ce qui signifie qu'il n'y a plus d'information en dehors de cette BP), avec au moins 2 échantillons, échantillonnés à au moins 2 fois la bande passante du signal.

Tout le monde dit qu'il y a une différence entre la théorie et la pratique. Rien n'étant parfait en ce bas monde.

Salutations.
Alain.

[invite1c20f11a]

Bonjour

. .Et l'examen, ça a donné quoi, finalement? C'est fait, tu es ingénieur?
pont

[invite1c20f11a]

Bonsoir Izzzy,

[inviteec6b577e]

Re bjr tout le monde!
J'ai examen demain, (seconde sess) Et JE NE COMPREND TJS PAS CES ARGUMENTS
J'ai besoin d'aide!!!!
Donc en gros pour echantillonner un signal analogique, il faut le faire a une fréquence 2 fois plus grande que la frequence max. Mais c'est la fréquence la plus hautes, ou alors la fréquence qui a lamplitude la plus haute???
Et pour les arguments, je comprend pas. C'est pas possible d'expliquer ca tout simplement??? SVP
Merci

[PIXEL]

la fréquence la plus haute.

c'est bien pour quoi , en audio , si on considère la fréquence maximum à transmettre : 20 KHz , on "pourrait" échantillonner à 40 KHz.

pratiquement, pour des raisons historiques hors de contexte ici , on numérise à 44,1 KHz en audio standard ( gravure sur CD).

[inviteec6b577e]

merci PIXEL!
J'ai compris le théoreme. Je crois que c'est le principal, pour les arguments c'est vague, mais c'est plus ou moins la. Je vais blablater un peu, j'espere que ca marchera