résolution d'équations différentielles en électronique

[inviteb1b35b93]

Bonsoir,

Je travaille actuellement sur un projet concernant le calcul analogique, la résolution d'équations différentielles grace aux amplificateurs opérationnels, j'ai réussi à récolter un certain nombre d'informations concernant la traduction des équations en schémas fonctionnels, mais je n'arrive pas à passer au circuit, comment cabler des amplificateurs opérationnels pour résoudre une équation différentielle aussi simple soit elle, y'=y pour commencer?
Les sources ont l'air d'etre extremement rares dans le domaine. Merci pour votre aide!
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[PIXEL]

un simple circuit différenciateur C-R donne la dérivée première du signal entrant (on appelle donc ce circuit un différenciateur).

aprés il faut cadrer l'échelle et la fréquence des signaux.

avec un AOP , ça donne :

http://electoonix.free.fr/amplimontage.htm

paragraphe 8

[Jack]

Bonsoir,

Je travaille actuellement sur un projet concernant le calcul analogique, la résolution d'équations différentielles grace aux amplificateurs opérationnels, j'ai réussi à récolter un certain nombre d'informations concernant la traduction des équations en schémas fonctionnels, mais je n'arrive pas à passer au circuit, comment cabler des amplificateurs opérationnels pour résoudre une équation différentielle aussi simple soit elle, y'=y pour commencer?
Les sources ont l'air d'etre extremement rares dans le domaine. Merci pour votre aide!

Je ne vois pas comment un circuit électronique va résoudre une équa diff. Par exemple, pour y' = y, comment va-t-on voir apparaitre la fonction exponentielle?

On peut faire du calcul avec les ampli opérationnels (d'où leur nom), mais pas de la résolution d'équation. Ou alors si c'est le cas je m'endormirai moins bête ce soir.

A+

[stefjm]

Bonjour,
C'est tout bête, il suffit de prendre un intégrateur (et non un dérivateur pour des questions de faisabilité et de théorie) et de brancher sa sortie sur son entrée.
On a alors y' en entrée de l'intégrateur et y en sortie.
On fixe la condition initiale avec la charge du condensateur.
Cordialement.

Edit : Bonne nuit, Jack! Et joyeux Nöel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Rebonsoir,

Un peu d'info ici sur les variables d'état.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C3..._d%27%C3%A9tat

[PIXEL]

le camarade JCE fait un stage dans l'artillerie ?

[Jack]

Bonjour,
C'est tout bête, il suffit de prendre un intégrateur (et non un dérivateur pour des questions de faisabilité et de théorie) et de brancher sa sortie sur son entrée.
On a alors y' en entrée de l'intégrateur et y en sortie.
On fixe la condition initiale avec la charge du condensateur.
Cordialement.

Edit : Bonne nuit, Jack! Et joyeux Nöel.

Ton système répond à une ED, mais ce n'est pas ce que j'appelle résoudre une équation différentielle.

A+

[DAUDET78]

mais ce n'est pas ce que j'appelle résoudre une équation différentielle.

Ben si .... et avant les calculateurs numériques qui ont tués les calculateurs analogiques, on avait des opérateurs intégrateurs, additionneurs, seuils (pour simuler un jeu dans un engrenage), multiplieur, valeur absolue etc etc
Plein de potentiomètres dix tours, plein de fils d'interconnexion ..... et beaucoup de mauvais contact et de dérive.

Et avec ça, on faisait les calculs de table de tir ....

Si je ne me trompe pas, je crois que le simulateur du Concorde était entièrement analogique .

[Jack]

Ben si ....

ben non.

résoudre une équation différentielle, c'est trouver les fonctions solutions de cette ED.
En l'occurrence, si mes souvenirs ne se sont pas trop estompés, la solution de y' = y, c'est à dire y' - y = 0, c'est y = f(x) = e^x. Je ne vois pas un montage à ampli op me sortir cette fonction

et avant les calculateurs numériques qui ont tués les calculateurs analogiques, on avait des opérateurs intégrateurs, additionneurs, seuils (pour simuler un jeu dans un engrenage), multiplieur, valeur absolue etc etc

j'ai connu ces calculateurs analogiques, mais comme je l'ai dit précédemment, ils ne faisaient que simuler un système correspondant à une équation différentielle.

Quand un montage de sortie s et d'entrée e répond à s(t) = e'(t), tout ce qu'on peut dire c'est que la sortie est la dérivée de l'entrée. Ca na pas résolu l'ED.

A+

[DAUDET78]

Je ne vois pas un montage à ampli op me sortir cette fonction

dans la liste des opérateurs ... j'ai oublié les fonctions LOG et anti-log.

[Tropique]

C'était utilisé entre autres pour résoudre des équations différentielles. Quelques exemples:
http://pcplus.techradar.com/node/3194
http://www.analogmuseum.org/english/introduction/
http://asaha.com/ebook/zMTU3OTE-/Han...es-%281967.pdf

Ca s'emploie encore pour des problèmes complexes, comme les équations différentielles non-linéaires.

[Jack]

dans la liste des opérateurs ... j'ai oublié les fonctions LOG et anti-log.

on est toujours en désaccord sur le terme de "résolution". Si je câble un dérivateur entre entrée et sortie (s(t) = e'(t)), comment pourras-tu en déduire que la solution est une exponentielle?

A+

[DAUDET78]

On câble un intégrateur et la sortie de l'intégrateur est une exponentiel. Attention, la fonction intégrateur est inversée. Donc il faut reboucler la sortie de l'intégrateur sur son entrée par un ampli de gain -1
CQFD

[invite87420132543]

Bonjour,

Avec un nombre suffisant d'additionneur, d'intégrateur et de multiplicateur, on peut donc résoudre n'importe quelle équation différentielle ce qui permet aussi de faire des oscillateurs.
Est-il néanmoins possible de fixer les conditions initiales ?

[Tropique]

La fixation des conditions initiales est un des aspects les plus importants des calculateurs analogiques. C'est ce qui conditionne les constantes de l'équation.

[stefjm]

ben non.

Ben si...

résoudre une équation différentielle, c'est trouver les fonctions solutions de cette ED.
En l'occurrence, si mes souvenirs ne se sont pas trop estompés, la solution de y' = y, c'est à dire y' - y = 0, c'est y = f(x) = e^x.

On est d'accord sauf pour la variable x qui est plutôt le temps. (c'est peut-être pour cela que tu dis que cela ne résoud pas l'ED?)

Je ne vois pas un montage à ampli op me sortir cette fonction

Soit ce n'est pas ta nuit, soit tu rates une évidence!

Pour la circuiterie :
On part du signal y'
On l'intègre à l'aide d'un intégrateur et on obtient y.
On reboucle y sur y'. (contre réaction)

Le signal y sera obligatoirement de la forme e^t, soit la solution de l'ED. (pas stable, mais j'ai gardé l'exemple de jce006)

j'ai connu ces calculateurs analogiques, mais comme je l'ai dit précédemment, ils ne faisaient que simuler un système correspondant à une équation différentielle.

Là, il va vraiment falloir que tu m'expliques la différence que tu vois entre simuler et résoudre analogiquement une équation différentielle!

Quand un montage de sortie s et d'entrée e répond à s(t) = e'(t), tout ce qu'on peut dire c'est que la sortie est la dérivée de l'entrée. Ca na pas résolu l'ED.

Je suis quasi sur que tu as lu trop vite et que tu as oublié de voir la contre réaction...

Parce que sinon

Cordialement.

[stefjm]

Avec un nombre suffisant d'additionneur, d'intégrateur et de multiplicateur, on peut donc résoudre n'importe quelle équation différentielle ce qui permet aussi de faire des oscillateurs.
Est-il néanmoins possible de fixer les conditions initiales ?

On peut en fixant les tensions sur les condensateurs des intégrateurs.

Pour convaincre Jack :
deux intégrateurs : 1/p^2
Avec le rebouclage en contre réaction négative : 1/(1+p^2)
soit un superbe oscillateur de solution sin t

un intégrateur : 1/p
Avec le rebouclage en contre réaction négative : 1/(1+p), soir un premier ordre de réponse e^(-t)

Pour une fois que je suis d'accord avec Daudet, tu me contredis pour le plaisir?

Merci à Tropique pour les liens.
Ça m'a rajeuni!

@+

[invite87420132543]

Merci à Tropique et à stefjm pour vos réponses.

Effectivement en fixant au préalable les tensions sur les condensateurs les conditions initiales seront fixés.
Ce qui revient à fixer l'état de départ du système.

[Jack]

ok, ok, je viens de lire les références de doc de TROPIQUE et je me rends compte que j'étais à côté de la plaque.

Merci aussi stefjm pour ta démo.

A+

[stefjm]

Ben si .... et avant les calculateurs numériques qui ont tués les calculateurs analogiques, on avait des opérateurs intégrateurs, additionneurs, seuils (pour simuler un jeu dans un engrenage), multiplieur, valeur absolue etc etc
Plein de potentiomètres dix tours, plein de fils d'interconnexion ..... et beaucoup de mauvais contact et de dérive.

Il y avait des défauts mais il faut reconnaitre que pour "sentir la physique", c'était parfait!
On voyait physiquement la transformée de Fourier d'un signal, bien mieux qu'avec une FFT actuelle.
Je me souviendrai toujours de mon premier analyseur de spectre à balayage de fréquence. (multiplieur +passe bas). On voit qu'un sinus, ben ça a deux fréquences : Une positive et une négative.

Et que cela n'a rien d'un artifice de calcul puisque c'est de la physique.

Et avec ça, on faisait les calculs de table de tir ....

L'automatisation a toujours fait des progrès en temps de guerre.
Il faut dire qu'un missile en boucle ouverte, c'est rigolo à voir tourner . (si on est un peu loin du missile)

Pour ceux que cela intéresse, une ancienne discussion sur Analogique-Numérique.
http://forums.futura-sciences.com/de...alogiques.html

Cordialement.

[LPFR]

Bonjour.
Mon expérience avec des calculateurs analogiques se réduit à un TP de calculateur analogique faite il ya plus de 40 ans.

Peu d'entre vous savent que le nom de "amplificateur opérationnel" vient de là. Des amplificateurs utilisés pour faire des opérations dans des calculateurs analogiques. Il faut voir qu'à l'époque, les transistors venaient de faire leur apparition et les circuits intégrés pas encore.

Un "amplificateur opérationnel" était simplement un amplificateur à tubes à vide qui fonctionnait en continu. Ce qui est très difficile à faire avec des tubes car tous les tubes sont des "NPN" et il n'y a pas des tubes "PNP". La tension de sortie se retrouve quelques dizaines de volts continus au dessus de la tension d'entrée et il faut se débrouiller pour la faire redescendre. Ces amplificateurs étaient des vraies "usines à gaz".
Celui que j'ai utilisé, était fait avec des transistors. Il tenait sur une table. Avec un tiroir pour chaque ampli.

Pour ce qui est de la solution des équations, ces calculateurs avaient un système de relais, pour fixer les conditions initiales et "relâcher" le calcul. On pouvait faire ça de façon répétitive en fixant la période.
L'intégration, la dérivation, la somme et la différence étaient faciles à faire. Et aussi la multiplication par une constante.
Ce qui était difficile était la multiplication et la division des variables. Dans le calculateur commercial que j'ai utilisé, le produit était fait en utilisant des diodes pour passer en logarithmique et pour revenir au normal. On pouvait aussi "fabriquer des fonctions" avec des potards et des diodes.

La réflexion de PIXEL (post #6) avait déjà cours à l'époque. Il n'y avait que les militaires pour utiliser encore des calculateurs analogiques. Mais il est vrai qu'à l'époque, les calculateurs analogiques étaient beaucoup plus rapides que les calculateurs numériques.

Par contre, je ne comprends pas l'intérêt du projet de JCE06, à part pour "faire joujou".
Au revoir.

[Tropique]

il y a encore de l'intérêt pour l'étude de systèmes complexes, les systèmes chaotiques ou les réseaux neuronaux par exemple:
http://www.google.be/url?sa=t&source...7Ej4zg&cad=rja

http://www.google.be/url?sa=t&source...Y2CeLA&cad=rja

[PIXEL]

On pouvait aussi "fabriquer des fonctions" avec des potards et des diodes.
.

J'ai bien connu ça dans une autre vie, le radar CYRANO avait des systèmes de calculs par micro-moteurs entrainant des potentiomètres et des resolvers à travers des systèmes mécaniques invraisemblables...

mode nostalgie OFF

[LPFR]

il y a encore de l'intérêt pour l'étude de systèmes complexes, les systèmes chaotiques ou les réseaux neuronaux par exemple:
http://www.google.be/url?sa=t&source...7Ej4zg&cad=rja

http://www.google.be/url?sa=t&source...Y2CeLA&cad=rja

Re.
Vous avez raison, j'ai toujours eu l'impression que ceux qui jouaient avec des réseaux neuronaux étaient en train de réinventer les calculateurs analogiques.
A+

[inviteb1b35b93]

Merci beaucoup, c'est visiblement la question des conditions initiales que je maitrisais mal, j'ai réussi à visualiser mon exponentielle grace à un logiciel de simulation (crocodile clips) avec un montage intégrateur , d'ailleurs il ne m'a pas l'air top, si quelqu'un a en tête un logiciel pour pratique, n'hésitez pas.
Mon intérêt pour ce sujet a l'air de susciter beaucoup de curiosité, en effet, je l'ai choisi en TIPE (travaux personnels encadrés) en classes préparatoires pour satisfaire mon intérêt pour l'électronique tout en restant dans le cadre du thème commun à respecter et qui est "mobilité/mouvement" auquel se rattache le thème des équations différentielles,très importantes en mécanique. Je suis ravie d'apprendre que le calcul analogique est encore utilisé, c'est un excellent argument pour me défendre face au jury, je vous remercie!

[Tropique]

LTspice est un programme de simu plus sérieux que crocodile clip.
Il est assez facile et intuitif, mais c'est une philosophie spice à laquelle il faut se faire.
Il est gratuit et bien supporté, quelques détails ici:
http://forums.futura-sciences.com/pr...coeoeoeoe.html

[stefjm]

Bonsoir,
Vous avez cherché à simuler un système instable (y'=y a pour solution e^t qui diverge)
C'est plus facile avec un système stable (y'+y=entrée, qui répond en e^(-t) qui converge vers 0.
Du coup, on peut laisser le système revenir tout seul en position initiale sans être embêter ni par les valeurs initiales (nulles), ni par les divergences.

On peut simuler une chute libre, une chute en parachute, un oscillateur, un benji avec amortissement, un saut en trampoline (la mise en route, l'arret), etc...

Pour l'utilisation industrielle, il se peut qu'il y ait encore des calculateurs analogiques dans les rafales.
Les militaires aiment bien la redondance pour qu'en cas de problèmes, il n'y ai pas de problèmes. (3 calculateurs numériques et un calculateur analogique)

http://www.chear.defense.gouv.fr/fr/...1/annexeA2.pdf

Cordialement.

[PIXEL]

il y a encore du calcul analogique dans les systèmes à "usage unique"

il y en avait aussi dans le regretté CONCORDE avant que les amerloques ne réussissent à l'abattre , comme ils l'avaient toujours promis

[inviteb1b35b93]

Mais comment font alors les calculateurs analogiques pour résoudre une équation différentielle qui correspond à un système instable? c'est censé résoudre toutes les équations normalement non?

[stefjm]

Ils les résolvent bien sûr, mais saturent ensuite à la valeur maximum.
Si on joue avec des AOP alimenté en +-10V, e^t est une exponentielle jusqu'à ce qu'elle vaille 10.
Après, ben, elle vaut 10.

C'est simplement un peu plus chaud à voir car une exponentielle, ça peut partir très vite.

Joyeux Noël!