PLL MATLAB - Trouver les gains Kp et Ki

[Xxxx]

Bonjour à tous.

J'essaie de configurer une PLL du deuxième ordre sur MATLAB. Pour la faire courte, je génère un flux binaire de 1000 bits que je module en PCM/FM, et j'utilise ensuite l'algorithme Mid/End pour détecter les bits et reconstituer le signal d'origine. Chaque bit est échantillonné N_SR fois, ce qui me donne une trame de 1000*N_SR échantillons (un symbole fait donc N_SR bits).

Mon problème est le suivant : je cherche à trouver à une formule qui permette au gain proportionnel Kp et au gain intégral Ki de la PLL de s'ajuster aux paramètres du code, notamment le débit et la fréquence d'échantillonnage (fe).
La partie de la modulation PCM/FM ne pose pas de problème, mais celle juste en dessous, oui. Je voudrais un amortissement de ksi = 0.7 pour un wn fixé à debit*1e-3. J'ai les formules théoriques de Kp et Ki (voir image), mais je n'arrive pas à trouver comment les ajuster pour toutes les situations de mon code. J'ai donc essayé de rajouter le débit pour que les courbes correspondent à l'amortissement attendu, mais quand je change le débit ou la fréquence d'échantillonnage, il ne correspond plus à ce qui est attendu. Il est possible que le problème vienne du gain général K à qui il manquerait une valeur à rajouter, mais je ne vois pas laquelle ni sur quelle piste partir pour chercher. Je vous joins également un schéma de la PLL.

Merci d'avance à tous ceux qui essaieront de m'aider !


Voici le code commenté :

% Paramètres initiaux
debit = 2e6;              % Débit symbole (symb/s)
fe = 50e6;                % Fréquence d'échantillonnage (Hz)
N_SR = fe / debit;        % Nombre d'échantillons par symbole
nb_bits = 10000;          % Nombre de bits à transmettre
Tb = 1/debit;             % Durée d'un symbole
Ts = 1/fe;                % Période d'échantillonnage

% Modulation PCM/FM ========================================
% Génération du bitstream NRZ
bitstream = 2 * randi([0 1], 1, nb_bits) - 1; % Suite binaire NRZ (+1/-1)
nrz = kron(bitstream, ones(1, N_SR));         % Suréchantillonnage NRZ

% Filtre de mise en forme (cosinus sur un symbole)
h = 0.7; L = 1; v = 0:(L*N_SR - 1);
g = (1 / (2 * L * N_SR)) * (1 - cos(2 * pi * v / (L * N_SR)));

% Filtrage du NRZ
s_filtree = conv(nrz, g);

% Modulation de phase (CPM)
phi = 2 * pi * h * cumsum(s_filtree) / N_SR;
S_ideal = exp(1i * phi);           % Signal complexe idéal modulé en phase
phi_ideal = unwrap(angle(S_ideal));% Phase non-ambiguë (pour éviter les sauts de 2pi)
S = exp(1i * phi_ideal);           % Recalcule le signal complexe

% Offset de phase (pour simuler un décalage de la porteuse)
phi_offset = pi/8;
S = S * exp(1i * phi_offset);
% Fin de la modulation PCM/FM ====================================

% Paramètres de la boucle de synchronisation de symboles
ksi = 0.7;                          % Facteur d'amortissement cible 
wn = debit*1e-3;                % Pulsation propre de la boucle
K = sum(g);                        % Gain global de la chaîne (filtre de mise en forme)
Kd = Ts/K;                          % Gain du comparateur (phase detector)
Knco = K/Kd;                      % Gain du NCO (oscillateur numérique)

% Réglage des coefficients du correcteur PI (discret). Au secours 
Kp = (ksi*wn) / (K*debit);          % Gain proportionnel 
Ki = (wn)^2*Ts / (K*debit);        % Gain intégral (inclut Ts pour le discret)

incr = 1/(N_SR);                          % Valeur initiale du NCO

% Variables pour la synchronisation de symboles
alpha = 0;                                  % Phase du NCO pour détecter le timing symbole
Aq_mid = 0; Aq_end = 0;            % Accumulateurs pour la détection Mid/End
alpha_prec = 0;                          % Phase précédente du NCO
top_symb = 0;                           % Indicateur de détection de symbole
S_end = 0; S_mid = 0;               % Valeurs stockées pour la détection
S_end_prec = 0; 
S_mid_prec = 0;
k = 1;                                      % Compteur de symboles
err_ph = 0;                              % Erreur de phase estimée
sum_err_ph = 0;                      % Somme cumulée des erreurs de phase (pour l'intégrale)

nco_sync = zeros(1, length(s_filtree)-1); % Trace de la synchronisation NCO

% Boucle principale sur les échantillons
for n = 1:length(s_filtree)-1
    alpha = alpha + incr;          % Avance la phase du NCO
    top_symb = 0;

    % Détection du "milieu" du symbole (Mid)
    if alpha >= 0.5 && alpha_prec < 0.5
        S_mid_prec = S_mid;
        S_mid = Aq_mid;
        Aq_mid = s_filtree(n);
    else
        Aq_mid = Aq_mid + s_filtree(n);
    end

    % Détection de la "fin" du symbole (End)
    if alpha >= 1.0
        alpha = mod(alpha,1.0);    % Remise à zéro de la phase du NCO
        S_end_prec = S_end;
        S_end = Aq_end;
        Aq_end = s_filtree(n);
        top_symb = 1;              % Indique qu'un symbole a été détecté
        k = k+1;
    else
        Aq_end = Aq_end + s_filtree(n);
    end

    % Calcul de l'erreur de phase à chaque détection de symbole
    if top_symb == 1
        nco_sync(n) = 1;           % Marque la synchro pour suivi
        % Détection de transition de signe (zéro-crossing)
        if (S_end_prec >0 && S_end <=0)
            err_ph(k) = S_mid/N_SR;  % Calcul de l'erreur de phase 
        elseif (S_end_prec <= 0 && S_end > 0 )
            err_ph(k) = -S_mid/N_SR; % Calcul de l'erreur de phase 
        else
            err_ph(k) = err_ph(k-1); % Pas de transition détectée
        end
        sum_err_ph = sum_err_ph + err_ph(k); % Intégrale de l'erreur
        incr = incr0 - Kp*err_ph(k) - Ki*sum_err_ph; % Correction du NCO (PI)
    end

    alpha_prec = alpha;             % Mise à jour de la phase précédente
end

% Evolution de l’erreur de phase estimée par la PLL au cours du temps (en microsecondes)
figure;
plot((0:length(err_ph)-1)*Tb/1e-6,err_ph);
title('PLL erreur de fréquence (bitsync - nco)');
xlabel('Temps (us)');
ylabel('Erreur de phase');
grid on;

P.S.: sur l'image des formules, Kd = K dans mon code. J'espère que ça ne vous embrouillera pas trop.
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