zéro comme tout le monde ?

[ilelogique]

Bonjour,
Zéro est-il un entier naturel comme les autres ?
Il est entendu qu'on peut trouver, pour chaque entier naturel, une propriété caractéristique qui le distingue des autres ; alors, puisqu'on peut le faire pour zéro aussi : comment justifier le fait qu'il soit "particulier" ?
Est-ce, par exemple, que la propriété qui le distingue des autres entiers ne soit pas de même nature que celles qui distinguent les entiers les uns des autres ?
merci
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[erik]

Salut,

Je ne suis pas bien certain de comprendre ce que tu veux dire par : "comment justifier le fait qu'il soit "particulier"" ? Après tout chaque entier est "particulier", rien que par le fait qu'un entier donné est différent de tout les autres.

Toutefois on peu distinguer zéro des autres entiers par le fait que c'est le seul entier qui n'est le successeur d'aucun autre entier.
Et c'est à partir de 0 que l'on construit les autre entiers dans l'axiomatique de Peano (jette un oeil sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano )

[Médiat]

Comme on peut le trouver dans les axiomes de Peano :

0 est le plus petit élément de la relation d'ordre naturelle sur IN
0 est l'élément neutre de l'addition
0 est l'élément absorbant de la multiplication

Oui c'est bien un élément particulier (c'est d'ailleurs le seul qui appartiennent au langage qui permet de décrire l'arithmétique de Peano).

[invite765732342432]

Et c'est à partir de 0 que l'on construit les autre entiers dans l'axiomatique de Peano (jette un oeil sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano )

Un peu lié: 0 est l'élément neutre pour l'addition.

Oups, grillé par Médiat

[A voir en vidéo sur Futura]

[ilelogique]

Oui mais 5 est le seul entier qui n'a que 5 entiers qui le précèdent...
La question que je pose porte sans doute sur la nature des propriétés, car comme je l'ai dit : on peut en effet distinguer chaque entier des autres par une propriété qu'il sera le seul à vérifier ; c'est le cas de zéro mais des autres aussi ! il est donc "comme tout le monde" ?

[ilelogique]

Au fond : quelle est la définition d'un élément "particulier" dans un ensemble ?

[Médiat]

Oui mais 5 est le seul entier qui n'a que 5 entiers qui le précèdent...
La question que je pose porte sans doute sur la nature des propriétés, car comme je l'ai dit : on peut en effet distinguer chaque entier des autres par une propriété qu'il sera le seul à vérifier ; c'est le cas de zéro mais des autres aussi ! il est donc "comme tout le monde" ?

Chaque élément de est définissable de façon unique, donc il va de soi que chaque élément aura une particularité : sa définition ; néanmoins c'est une vue assez courte, et d'abord, il faudrait préciser de quoi l'on parle, j'ai bien cité dans mon message précédent que je faisais référence aux axiomes de Peano, ce qui m'a permis d'affirmer les 3 propriétés qui sautent aux yeux du 0 (et le fait qu'il soit le seul à appartenir au langage (nécessaire) aux axiomes de Peano est un autre argument, à lui seul suffisant). Prenons un autre exemple, est-ce que 0 est particulier dans ? Réponse : je ne sais pas !

1. Si on parle du groupe additif , oui 0 est particulier, c'est l'élément neutre.
2. Si on parle de , oui encore puisque c'est l'élément absorbant.
3. Si on parle de , non, 0 je joue aucun rôle particulier dans cette structure.

PS hors sujet à destination des mathématiciens de passage : est-ce qu'il peut y avoir des éléments "particuliers" dans un ordre dense sans extrémité ?

[inviteea6fd0dc]

PS hors sujet à destination des mathématiciens de passage[/I][/U] : est-ce qu'il peut y avoir des éléments "particuliers" dans un ordre dense sans extrémité ?

Si je ne me fourre pas le doigt dans l'oeil jusqu'au coude (ce qui est tout à fait possible) et si j'ai bien compris la question et ses implications (ce qui n'est pas nécessairement vrai) : si une structure récursivement saturée est dénombrable alors elle "fait partie" d'une suite infinie et indiscernable (voir J.P. Ressayre)

D'un autre côté, Schmerl a prouvé qu'un modèle récursivement saturé de Peano peut être engendré par une suite indiscernable.

La réponse serait donc non !

Amicalement

Alain

[ilelogique]

Est-ce qu'au fond ce n'est pas une histoire de constante et de variables dans le langage ?
Et le choix de l'interpétation de l'élément particulier dans l'ensemble qu'on réalise peut, ou non, être libre ?

[Médiat]

La réponse serait donc non !

J'étais un peu gêné de parler de maths sur ce fil, si tu parle de modèles récursivement saturé et d'Ehrenfeucht tu vas faire fuir mêmes les mathématiciens : je te propose, si cette petite question t'intéresse de la poursuivre en mathématique du supérieur, pour ne pas polluer ce fil plus que je ne l'ai fait...

[Médiat]

Est-ce qu'au fond ce n'est pas une histoire de constante et de variables dans le langage ?

Oui, et non : si 0 est bien une constante du langage dans l'arithmétique de Peano, l'élément neutre de la théorie des groupes ne l'ai pas forcément.

Et le choix de l'interpétation de l'élément particulier dans l'ensemble qu'on réalise peut, ou non, être libre ?

Vaste sujet, peux-tu préciser ta pensée (a priori la réponse est oui, le choix est libre, mais qu'est-ce que cela veut dire ?)

[jiherve]

Bonsoir
Historiquement mais aussi mathématiquement je pense(Mediat me détrompera si je me gourre) le zéro est ce qui permet la numération de position.
JR

[ilelogique]

Peut-on axiomatiser l'arithmétique (créer les naturels, donc l'ordre, voire l'addition et la multiplication) de plusieurs façons, de sorte que la première façon forçat le choix de l'interprétation de la constante (le zéro) et que la seconde ne le fit pas (l'ensemble vide en théorie des ensembles ?).
C'est à dire : ne peut-on recréer les entiers en ne prenant que 17 comme constante ?
Finalement je sens bien, comme tout le monde, que zéro est spécial mais quand il s'agit de le prouver...je me dis que, peut-être, il est le seul à être distinguable par un énoncé du métalangage (parler des prédicats dans le langage)

[GrisBleu]

Salut

Si tu aiomatise N (Ce qui est fait depuis un siecle, cf peano), tu vas tomber sur un ensemble en bijection avec N et avec les memes proprietes. Juste une maiere de re ecrire la meme chose. Donc ton 0 sera la de nouveau.

[Médiat]

Bonsoir
Historiquement mais aussi mathématiquement je pense(Mediat me détrompera si je me gourre) le zéro est ce qui permet la numération de position.
JR

Tu ne te gourres pas, mais ce n'est qu'un problème de représentation, même sans le 0, 10 (quelque soit la base) existe sauf qu'on ne peut pas l'écrire ainsi.

[Médiat]

Peut-on axiomatiser l'arithmétique (créer les naturels, donc l'ordre, voire l'addition et la multiplication) de plusieurs façons, de sorte que la première façon forçat le choix de l'interprétation de la constante (le zéro) et que la seconde ne le fit pas (l'ensemble vide en théorie des ensembles ?).

Je ne comprends pas ce que tu veux dire avec l'ensemble vide.

C'est à dire : ne peut-on recréer les entiers en ne prenant que 17 comme constante ?

Comme je l'ai déjà dit plus haut tous les entiers naturels sont définissables, donc, oui, on peut utiliser 17, mais essaye de ré-écrire les axiomes des Peano avec "17" comme seul symbole de constante ... Bien sur que c'est possible, mais tu vas être obligé de définir le 0 dans quelques axiomes...
, c'est un peu moins simple que , et surtout cela m'a obligé à définir le 0, alors que je ne suis pas obligé de définir 17 pour écrire les axiomes de Peano avec 0 comme symbole de constante.

Finalement je sens bien, comme tout le monde, que zéro est spécial mais quand il s'agit de le prouver...je me dis que, peut-être, il est le seul à être distinguable par un énoncé du métalangage (parler des prédicats dans le langage)

Il est aussi le seul à vérifier , le seul à vérifier , ou encore le seul à vérifier , et ce n'est pas du méta-langage.

Et nous n'avons parlé ici que de Peano, mais la définition de Lawvere utilisant la notion de problème universel doit difficilement se passer du 0. Et si on prend IN comme l'ensemble des mots qui peuvent s'écrire avec une seule lettre dans l'alphabet, 0 est le seul mot qui ne s'écrit pas (mais comme tous les entiers sont définissables, on peut dire que "a" est le seul mot qui s'écrit avec une seule lettre), mais 0 est le seul qui s'écrit de la même façon pour tous les alphabets etc...

Encore un exemple, le coureur arrivé en 25 147^ième place au marathon de Paris 2007 est définissable, puisque je viens de le faire, mais prétendre que le premier n'a pas un rôle particulier serait exagéré, non ? le 28 261^ième a aussi un rôle particulier d'ailleurs, mais dans IN, ce rôle n'est pas rempli (il l'est dans d'autres ensembles)

Bref, il ne faut pas confondre "être définissable" et "jouer un rôle particulier qui fasse sens", si tu fais cette confusion, alors tu peux dire que 0 n'a rien de spécial (mais au prix d'une confusion).

[ilelogique]

je comprends ce qui est dit, merci.

Pour ce qui est de l'ensemble vide, je parle de la construction, en théorie des ensembles, du plus petit ensemble ayant pour cardinal Aleph zéro, il est clairement en bijection avec N.

Au fond, la question que je pose revient à demander ce que signifie "être particulier" dans un ensemble ?
(Je voulais savoir si cela sous entendait nécéssairement que l'élément particulier vérifie des propriétés qui ne s'expriment que dans le métalangage)

[Médiat]

Au fond, la question que je pose revient à demander ce que signifie "être particulier" dans un ensemble ?

Le problème dans cette façon de présenter les choses c'est que "particulier" n'est pas du langage mathématique, même pas du métalangage, c'est juste du français, donc, à la limite c'est à toi de dire ce que tu veux dire.
Comme on peut deviner un peu ce que tu veux dire, on peut toujours dire que est particulier puisque c’est le seul ensemble à vérifier , mais on peut dire la même chose de l’ensemble , puisque c’est le seul ensemble qui vérifie etc. C'est-à-dire que l’on retombe sur la notion de définissabilité dans le langage.
Maintenant, il y a des ensembles plus particuliers que les autres (c’est le plus petit ordinal limite, ce qui s'exprime parfaitement dans le langage de ZF), etc.

[ilelogique]

Oui, c'est bien pour ça que je parlais de constantes et de variables.
il me semble qu'un élément particulier est, en général, une constante ;
or l'existence de cette constante doit être précisée dans la construction même du langage (donc en métalangage).

non ?

[inviteea6fd0dc]

Oui, c'est bien pour ça que je parlais de constantes et de variables.
il me semble qu'un élément particulier est, en général, une constante ;
or l'existence de cette constante doit être précisée dans la construction même du langage (donc en métalangage).

non ?

Bonsoir,

J'avoue ne plus comprendre ?
Si une constante est une constante, pourquoi l'appeler "élément particulier" et pas simplement "constante" ?
Depuis quand une constante doit-elle être définie dans un "métalangage" (que veut dire définie "dans la construction du langage" ?)

Interrogativement

[ilelogique]

Au quai,
rendons nous...
Svp, quelle est la définition de : "a est un élément particulier de E" ?
En logique s'entend.
Merci
PS : E est un ensemble, et a un élément de E.

[erik]

Mediat t'a donné une réponse (message #18)

Le problème ... c'est que "particulier" n'est pas du langage mathématique, même pas du métalangage, c'est juste du français, donc, à la limite c'est à toi de dire ce que tu veux dire.

le mot "particulier" n'a pas de définition en mathématique / en logique

[Médiat]

D’abord une petite précision : en logique on peut distinguer 3 niveaux :

• Les langages
• Les théories dans ce langage
• Les modèles de ces théories

Pour revenir sur l’intervention, judicieuse, de baguette, et pour la préciser : dans un langage on trouve des symboles de constantes (et non des constantes, mais tout le monde, moi le premier, fait cet abus de langage (c’est le cas de le dire)), dans les modèles on trouve des constantes qui interprètent les symboles de constantes du langage (et qui doivent vérifier les axiomes de la théorie).

Pour essayer de cerner ton souci, que je ne conçois que comme une question qui se pose au niveau des modèles, je propose la hiérarchie suivante pour définir des éléments particuliers tout en gardant en tête les messages #18 et #22 (avec des exemples après) :

1. (désolé, mais cette partie est très mathématique) soit M un modèle d’une théorie, alors il existe un sous-ensemble A (éventuellement vide) de M tel que pour tous les automorphismes f de M :
   (f restreint à A ne peut être que l’identité de A), alors l’ensemble des éléments de A sont « particuliers de type 1 »
2. Les éléments définissables uniquement avec les éléments du langage (il existe une formule à une seule variable libre que seul cet élément vérifie) sont « particuliers de type 2 », les constantes sont donc, obligatoirement et au moins, des éléments particuliers de type 2.
3. (désolé, mais cette partie n’est pas mathématique du tout) Parmi les éléments définissables, certains possèdent des propriétés « notables » (pas mieux), les constantes sont sans doute, mais ce n’est pas obligatoire (s’il y en une infinité, par exemple), de type 3.

Remarque : Type 3 Type 2 (par définition) et Type 2 Type 1 (puisqu’un automorphisme respecte les formules, ils respectent donc les formules définissant un élément).
Exemples : le langage de l’arithmétique, PA la théorie axiomatique de Peano, et le modèle standard, alors tous les éléments du modèle sont de type 2 (donc de type 1), 0 (la constante appartenant à et interprétant le 0 du langage) est incontestablement de type 3, pour les autres éléments, c’est discutable puisque les notions de « particulier » ou de « notable » ne sont pas définies formellement.
, T la théorie des ordres totaux, discrets, sans premier ni dernier élément, et muni de la relation d’ordre naturelle un modèle de T : aucune constante, aucun élément définissable, donc aucun de type 2 et a fortiori de type 3, et on peut démontrer qu’il n’y a pas d’élément de type 1
, T la théorie des ordres totaux denses sans premier ni dernier élément, et muni de la relation d’ordre naturelle un modèle de T : aucune constante, aucun élément définissable, donc aucun élément de type 2 et a fortiori de type 3, par contre 0 est bien de type 1 (ce qui répond positivement (désolé baguette ) à la question du message # 7). Si on considère le modèle muni de la relation d’ordre naturelle : aucune constante, aucun élément définissable, donc aucun élément de type 2, et aucun élément de type 1, ce qui montre bien que l’élément 0 du premier modèle n’est pas le même que le 0 du deuxième.

Pour les connaisseur, la différence entre Type 1 et Type 2 est essentiellement la même différence qu'entre "modèles élémentairement équivalents" et "modèles isomorphes".
Je peux préciser quelques points à la demande.

[inviteea6fd0dc]

aucune constante, aucun élément définissable, donc aucun élément de type 2 et a fortiori de type 3, par contre 0 est bien de type 1 (ce qui répond positivement (désolé baguette )

Ah ben oui, quand on confond : indéfini, indiscernable et sans extrémité ... fatalement on se plante. Ce que j'ai fait

Entre nous, pas besoin d'être désolé, quand je dis une bêtise .... je préfère le savoir, ce qui évite de la perpétuer !

Amicalement

[invitee1c6d6b1]

Bonjour.

Revenons à une terminologie floue, exemple le français.
Le nombre zéro est troublant.

Le nombre zéro "serait" le signifié du vide du néant de l'inexistant.
Le chiffre zéro "serait" le signifiant du vide.

Les autres nombres "seraient" les signifiés et signifiants du non-vide, de l'existant, au moins en quantité.

Et pourtant c' est à partir du zéro, l'inexistant, que l'on construit les autres nombres, l'existant.

Le zéro serait-il un sujet insaisissable, quasi inexistant, qu'on ne peut toucher du doigt, mais qui serait essentiel, à la base de tout.

Est ce que des travaux mathématiques ont approché ces considération d'ordre métaphysique ?

[Médiat]

Le nombre zéro "serait" le signifié du vide du néant de l'inexistant.

Lorsque l'on parle des ordinaux, 0 est un autre nom pour l'ensemble vide, donc cela ne me dérange pas, mais pour prolonger cela dans une langue naturelle, il faut faire attention aux connotations des termes utilisés, pour le néant (cf. Sartre), et pour "inexistant", à titre personnel, je ne le sens pas : je ne verrais aucun problème à dire "ma maison est vide d'enfant" comme parfait synonyme de "ma maison abrite 0 enfant" (c'est les vacances ), je ne me vois pas dire "dans ma maison les enfants sont inexistants" (ne serait-ce que pour que l'on ne comprenne pas que dans ma maison, les enfants n'ont pas de personnalité, ou pas d'importance).

Le chiffre zéro "serait" le signifiant du vide.

Il me semble, encore plus aujourd'hui, que faire la différence entre chiffre et nombre quand on parle du 0 est une première approche absolument nécessaire.
Je suppose que lorsque que tu dis que "Le chiffre zéro "serait" le signifiant du vide" tu fais allusion à la notation positionnelle, où il peut être remplacé par un espace par exemple (avec les problèmes de lecture que cela peut poser s'il doit y en avoir plusieurs à la suite), c'est donc juste un séparateur typologique

Et pourtant c' est à partir du zéro, l'inexistant, que l'on construit les autres nombres, l'existant.

Et voila une deuxième raison pour laquelle je me sens moins à l'aise avec existant/inexistant, construire l'existant à partir de l'inexistant semble ressortir plus de la magie ou de la théologie qu'aux mathématiques (même problème théologique avec néant) ; mathématiquement cela ne pose, évidemment, aucun problème, même sans magie.

Le zéro serait-il un sujet insaisissable, quasi inexistant, qu'on ne peut toucher du doigt, mais qui serait essentiel, à la base de tout.

Et voila une troisième raison pour laquelle je me sens moins à l'aise avec existant/inexistant, après avoir dit que 0 serait le signifiant de l'inexistence, tu lui refuse le statut d'existant, même si tu ne dis pas qu'il est inexistant, tu dis bien qu'il n'est pas existant (l'apparition du "quasi" est, peut-être révélateur d'une gêne à écrire qu'il était inexistant, c'est bien cela ?)

Est-ce que des travaux mathématiques ont approché ces considération d'ordre métaphysique ?

Ce n'est, a priori, pas le rôle des mathématiques que de faire de la métaphysique, et je ne suis au courant que d'un seul travail de cet ordre, pas et par n'importe qui : Gödel lui-même, qui a écrit une "preuve ontologique de l'existence de Dieu" ; malgré tout le respect que je voue à Gödel (ne serait-ce que pour son théorème de complétude), cette preuve ne prouve rien.

[invite6754323456711]

Ce n'est, a priori, pas le rôle des mathématiques que de faire de la métaphysique, et je ne suis au courant que d'un seul travail de cet ordre, pas et par n'importe qui : Gödel lui-même, qui a écrit une "preuve ontologique de l'existence de Dieu" ; malgré tout le respect que je voue à Gödel (ne serait-ce que pour son théorème de complétude), cette preuve ne prouve rien.

Comment faut-il alors comprendre le 0 ?

Uniquement par sa "sémantique" opératoire (Premier élément, Neutre, Absorbant ..)

Pourquoi une approche ontologique du zéro (sémantique de l'être en soi indépendant de toute fonction opératoire), non pas pour prouver quelque chose mais pour comprendre quelque chose, ne pourrait pas être considéré comme une approche Epistémologique ?

Les deux approches sont elle vraiment indépendante ?

Patrick

[invite6754323456711]

Il me semble, encore plus aujourd'hui, que faire la différence entre chiffre et nombre quand on parle du 0 est une première approche absolument nécessaire.

C'est vrai pour tout les nombres pourquoi particulièrement pour 0 ?

Pour cela ? :

Le mot « chiffre » vient de l'arabe sifr (أَلصِّفْر ʾaṣ-ṣifr), utilisé pour « zéro » et signifiant « le vide ».

Un chiffre est un symbole employé pour représenter des nombres.

Patrick