C'est postuler que parler d'un tel énoncé a un sens. Je ne vois pas cela comme indépendant de la position platonicienne. Or il n'est pas licite de poser une question dans le cadre formaliste à partir d'une prémisse n'ayant de sens que dans le cadre platonicien.Envoyé par Sephi
C'est exactement la question à poser. Mais aux platoniciens!Il sort d'où cet énoncé, surtout qu'il est vrai ?
Cordialement,
Bien sûr qu'il y a un sens à parler d'un tel énoncé, puisqu'on est mathématiquement assuré de son existence d'une part, et de sa vérité d'autre. On peut avoir des exemples concrets : Supposons que l'hypothèse de Riemann soit indécidable dans ZFC (supposé consistant). Dans ce cas, on peut montrer qu'elle est nécessairement vraie. Comment un formaliste, pour lequel toute vérité découle du système formel, peut-il rendre compte de la partie en gras ?
Le platonicien n'a pas de réponse standard et reconnue (mais il y a beaucoup de suggestions). En général, on est platonicien car le problème de la nature (ontologique) des objets mathématiques est perçu comme moindre que les problèmes qui s'adressent aux formalistes.
En complément de ce qu'a répondu Michel. Son contraitre peut aussi être considérer comme vrai voir par exemple le postulat des parallèles qui permet de construire le modèle Euclidien et sans le postulat (considéré comme faux) il est possible de développer une géométrie non euclidienne en remplaçant ledit postulat par l'impossibilité de mener par un point une parallèle à une droite donnée.
Patrick
Dire cela, c'est présupposer le formalisme, en disant que la vérité ne dépend que de la démontrabilité. Mais justement, l'existence d'énoncés indémontrables (dans le système formel considéré) et vrais rend une telle position intenable, en exhibant un moyen d'accès à la vérité qui ne soit pas réduit à l'application de règles formelles.
Dans le cas d'un énoncé seulement indécidable, on pourrait encore parler du choix de sa valeur de vérité (comme c'est le cas du postulat des parallèles, par ex.). Mais à partir du moment où on sait que cet énoncé est vrai, supposer le contraire c'est partir d'une prémisse fausse et alors notre ami "ex contradictione sequitur quodlibet" (d'une contradiction, tout peut être déduit) nous guette.
Dernière modification par Sephi ; 05/04/2009 à 13h23.
pour la notion de vérité.
Je ne vois pas comment une notion précise et absolue de "vérité" serait commune aux formalistes et aux platoniciens. (Je vois très bien comment une telle notion peut coïncider selon les deux points de vue, dans nombre des cas. Ce qui n'est pas la même chose.)
Pour ce que j'en comprends, l'approche sur laquelle travaille Woodin semble répondre très bien à cette question.On peut avoir des exemples concrets : Supposons que l'hypothèse de Riemann soit indécidable dans ZFC (supposé consistant). Dans ce cas, on peut montrer qu'elle est nécessairement vraie.
Comment un formaliste, pour lequel toute vérité découle du système formel, peut-il rendre compte de la partie en gras ?
Je ne trouve pas que c'est un bon exemple, parce que j'entrevois comment cela peut "coïncider".
L'hypothèse du continu serait un meilleur exemple de divergence potentielle sur la notion de vérité. (Mais les travaux de Woodin pourrait amener une réponse, au minimum à un sens compatible avec le formalisme, il me semble.)
Si je me trompe, et que la notion de "vérité" est identique pour les deux points de vue, je ne comprends pas le fond du débat.
Cordialement,
Tu peux préciser la 1ère ligne ? Sinon, les notions de vérité pour le formaliste et le platonicien ne coïncident pas : la vérité est cohérence pour le formaliste, et correspondance (dans un sens subtil) pour le platoniste.
Je ne vois pas comment une notion précise et absolue de "vérité" serait commune aux formalistes et aux platoniciens.
Question qui n'a pas de sens pour un formaliste, il n'a donc pas a lui donner de statut.
C'est quoi un énoncé vrai, surtout quand vrai est écrit en gras ?
Simple : montre-moi la démonstration de ce qui est en gras, mais cela me faciliterait les chose si tu choisissais la conjecture de Goldbach.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Dans un certain monde (intelligible pour les platoniciens) mais pas dans un autre. Le monde de Reimman serait moins "intelligible" que celui d'Euclide ? C'est quoi dans ce cas le monde intelligible des platoniciens ?
Patrick
Les mathématiques, comme la peinture ont commencé par le réalisme, mais ce que tu décris ne s'applique pas Kandinski par exemple.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je le répète : tu aurais raison si l'existence même d'un énoncé vrai et indémontrable est hypothétique. Or, ce n'est pas le cas : on peut démontrer mathématiquement l'existence d'un tel énoncé, c'est ce que fait Gödel. Il n'y a donc rien d'hypothétique : un tel énoncé existe pour tout système formel consistant contenant l'arithmétique. On peut donc légitimement, quelle que soit sa conviction philosophique, s'interroger sur cet énoncé. Un tel énoncé est désigné par "phrase de Gödel" (Gödel sentence).
Toutes les conjectures ne sont pas nécessairement indécidables, et tout énoncé indécidable n'est pas susceptible d'être une phrase de Gödel. Je suis donc incapable de transposer la chose à Goldbach.
L'hypothèse de Riemann (HR) affirme que les zéros non-triviaux de la fonction zêta se trouvent tous hors d'une zone Z du plan complexe. En supposant que HR est indécidable dans ZFC (supposée consistante), cela signifie qu'il est impossible de trouver un zéro dans Z (car si on en trouve un, cela prouverait que HR est fausse, donc décidable). Mais comme est impossible de trouver un zéro dans Z, cela signifie que tous les zéros sont hors de Z, c.-à-d. que HR est vraie. Conclusion : si HR est indécidable, alors elle est vraie.
(C'est emprunté à un ouvrage de David Ruelle.)
Pourquoi le dissocier du fait que ce même énonce peut être considéré faux (son contraire indémontrable) ? Ne faut-il pas considérer le problème dans son ensemble est non une sous partie du problème.
Les définitions suivantes :
Appui la vision qui est de dire que être platonicien ou formaliste ce n'est qu'un acte de foi. Si on arrive à le démontrer (voir juste le montrer) la réponse à la question platonicien vs formaliste n'est plus à chercher dans le domaine des mathématiques (tel que par exemple énoncé vrai non démontrable).On appelle platonisme mathématique la profession de foi dans l'existence réelle et a priori des objets idéaux mathématiques; on oppose alors le platonisme à l'intuitionnisme ou au formalisme. L'intuitionnisme postule que les objets idéaux n'existent pas a priori, mais sont construits au fur et à mesure des besoins (et donc ne sont pas déterminés à l'avance). Le formalisme postule aussi que les objets idéaux n'existent pas a priori, mais qu'on peut fabriquer des axiomatiques en langage codé qui, une fois acceptées, pourront tenir lieu d'objet idéal.
Patrick
Sinon cela ne conduit t-il à l'erreur de vouloir donner un statut absolu de la notion d'énoncé vrai ?
Patrick
Parce qu'on sait que cet énoncé n'est pas faux. Si tu veux, il y a deux sortes d'énoncés indécidables : ceux dont la vérité dépend entièrement du système formel (donc, on peut choisir leur valeur de vérité puis les ajouter au système) et ceux dont la vérité dépasse le système formel et est accessible par une preuve méta-mathématique.
Le vrai peut être absolu et rester local pour autant. Tant qu'il n'est pas complètement relatif (au système formel donné).
Ce que je conteste ce n'est pas l'existence d'énoncé indécidable, mais de la signification que tu donnes à "vrai", et que tu n'as toujours pas explicité, je maintiens que pour moi, non en tant que formaliste, mais en tant que mathématicien, la phrase, malheureusement trop souvent colportée (y compris par Girard) "vraie et indémontrable" n'a pas de sens, car "vraie" réfère à un modèle, et indécidable (que je préfère à indémontrable pour éviter des confusions de sens) à une théorie.
Ne sachant rien de l'hypothèse de Riemann, je préférais Golbach (des explications plus complètes sur ce sujet se trouve dans le petit document sur l'arithmétique que j'ai posté dans le forum mathématiques du supérieur), mais tes explications sont très claires, donc, comme dit plus haut, "vrai" veut dire pour toi "vrai dans un modèle particulier, qui se trouve être inclu dans tous les modèles", donc, sur le même schéma, je peux affirmer que la commutativité qui est indécidable dans la théorie des groupes est vraie, en effet elle est vraie dans le groupe trivial qui est inclu dans tous les groupes ; je pense que tu seras d'accord pour dire que cette affirmation sur les groupes n'est pas tenable, et bien pour moi, et cela n'a rien à voir avec platonisme ou formalisme, ce n'est pas tenable pour Riemann, Goldbach ou les énoncés de Gödel, pour les mêmes raisons.
Pour ceux qui m'ont déjà lu, ceci est une illustration de la raison de ma grande défiance face à ce vocabulaire (vrai/faux).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je n'ai que peu de notions de théorie des modèles, mais j'aurais plutôt dit : "être vrai, c'est être vrai dans tous les modèles", et non "dans un modèle contenu dans tous les modèles".
Dans ton exemple, pour que la commutativité soit vraie, il faudrait qu'elle soit vraie dans tous les groupes, et non dans un sous-groupe commun à tous les groupes.
Alors là nous sommes d'accord à 100000%, mais avec cette définition du vrai, tu ne peux pas dire si HC est indécidable elle est vraie, tu peux juste dire si HC est indécidable elle est indécidable; désolé de l'ironie (pas méchante), j'aurais dû dire si HC est indécidable, alors il y a des modèles où elle est vraie (dont le modèle standard) et d'autres où elle est fausse.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
http://forums.futura-sciences.com/at...on-modeles.pdf
Patrick
Ce n'est pas moi qui choisis de le dire, je relate le fait qu'on peut démontrer que si elle est indécidable, alors elle est vraie. C'est là qu'arrive la question : quelle définition du vrai doit-on adopter pour rendre compte de ce fait ?
Si tu veux, c'est le problème dans l'autre sens : plutôt qu'adopter une déf. du vrai pour ensuite savoir quoi dire sur la vérité de HR, c'est l'inverse : on a concrètement et légitimement qqch à dire sur la vérité de HR, et on se demande quelle déf. du vrai adopter.
Pour le formaliste, vrai rime avec démontrable, et une telle déf. est incompatible avec les situations du genre HR ou les phrases de Gödel.
Dernière modification par Sephi ; 05/04/2009 à 15h05.
Il me semble que c'est justement le contraire. il s'attache à considérer la différence fondamentale entre les deux. D'où justement la raison de deux théories : théorie des modèles et théorie de la démonstration.
Patrick
Bonjour,
On peut voir des analogies entre les deux théories mais cela ne veut pas dire équivalence
Notion syntaxique ~ Notion sémantique
dérivable ~ conséquence logique
théorème ~ tautologie
inconsistant ~ contradictoire
consistant ~ satisfiable
Patrick
Pas avec la définition de "vrai" que tu as donnée, et qui me va, plutôt mieux que les autres.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est incompréhensible. HC et NHC sont toutes deux indécidables, si l'une l'est, l'autre aussi par définition.
Il y a un choix qui est fait entre les deux si on veut inférer "vrai".
Comment est fait ce choix? Quel critère rompt la symétrie?
Cordialement,
ù100fil,
Merci pour les définitions.On appelle platonisme mathématique la profession de foi dans l'existence réelle et a priori des objets idéaux mathématiques; on oppose alors le platonisme à l'intuitionnisme ou au formalisme. L'intuitionnisme postule que les objets idéaux n'existent pas a priori, mais sont construits au fur et à mesure des besoins (et donc ne sont pas déterminés à l'avance). Le formalisme postule aussi que les objets idéaux n'existent pas a priori, mais qu'on peut fabriquer des axiomatiques en langage codé qui, une fois acceptées, pourront tenir lieu d'objet idéal.
Médiat,
Pourquoi dis tu que cela ne s'applique pas à Kadinski? Toutes peintures, toutes œuvres sont un témoignage d'un vécu. le fait que ce soit du réalisme ou pas ne change rien...sauf pour celui qui regarde peut être.Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
Pas clair pour moi. Cela semble mettre la perception obtenue comme but. Quelle différence avec un peintre qui fait en sorte que sa peinture fasse percevoir un paysage? On ne va pas dire qu'il invente le paysage, on va dire qu'il invente une représentation d'un paysage qui existe, qu'il cherche, via cette représentation, faire percevoir quelque chose qui existe. Non?
Les mathématiques, comme la peinture ont commencé par le réalisme, mais ce que tu décris ne s'applique pas Kandinski par exemple.
Cela n'a la valeur que d'une définition trouvée sur internet.
Patrick
Dernière modification par invite6754323456711 ; 05/04/2009 à 15h41.
Nous sommes parfaitement d'accord, le formaliste, ainsi que le platonicien, qu'ils le veuillent ou non expriment ce qu'ils sont, même s'il ne copie pas la nature.
Ce qui ne s'applique pas à Kandinski c'est :
Sauf si on dit qu'il s'agit d'un paysage intérieur ... et voila l'ontologie qui revient
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Médiat,
Mais là je ne suis pas d'accord car les œuvres réalistes,abstraites ou autres sont issues d'un travail intellectuel après un vécu avec le sensible.Sauf si on dit qu'il s'agit d'un paysage intérieur ... et voila l'ontologie qui revient
Pour toutes il y a le paysage extérieur et intérieur.
La théorie des modèles n'est pas une propriété exclusive du formaliste, c'est l'œuvre du mathématicien tout court. Et elle est plus compatible avec le platonisme qu'avec le formalisme. En général, à partir du moment où l'on considère que les énoncés mathématiques se réfèrent à qqch (i.e. conception sémantique -> théorie des modèles), on s'éloigne du formalisme pour lequel les maths ne se réfèrent pas et ne sont qu'un jeu de symboles.
"Si HC (NHC) est indécidable dans ZFC, alors elle est vraie (fausse) dans ZFC tout en restant indécidable dans ZFC." Cet énoncé se démontre (mais pas dans ZFC !), on ne choisit donc pas de dire que HC est vraie. De même, on peut démontrer que la phrase de Gödel associée à un système formel convenable est indécidable dans ce système, et vraie pour ce système. Il n'y a pas de choix !
Dernière modification par Sephi ; 05/04/2009 à 15h58.
Il existe aussi le concept de l'ontologie négative. Ontologie de l'absence et du manque. Kazimir Severinovitch Malevitch peignit le célèbre Carré noir sur fond blanc http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3...sur_fond_blanc
Patrick
Oui je n'ai jamais dit le contraire. Sur ce point je suis entièrement en phase avec toi.
C'est justement le point de vue que l'on défend. Être Platonicien ou Formaliste n'est qu'un acte de foi.
Patrick
Il y a peut être quiproquo. On parle bien de deux visions (interprétations) des mathématiques par les Mathématiciens : l'interprétation formaliste des mathématiques et l'interprétation platonicienne.
Les résultats mathématiques ne sont il pas indépendant de notre interprétation ?
Patrick
