Le zéro et l'infini.

[invite6754323456711]

Ce que tu dis est donc que le vide mathématique n'a rien à voir avec le vide physique : en quoi cette remarque sur le vide ne serait pas applicable à 1, à 2, à un cercle, à un vecteur, etc... Sans compter les difficultés de définition (vide physique par exemple).

Pour moi c'est la même compréhension. Maintenant il s'avère que les mathématiques sont l'expression de la nature mais (la ce n'est qu'un acte de foi gratuit) Il n'ont pas besoin de la nature car se sont la nature.

Patrick
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[invité576543]

mais alors un autre problème pointe son nez (même si on élimine les deux fonctions "limites" (y=0 et x=0) : je ne vois pas à quoi correspondrait pour les ordinaux, la symétrie des germes par rapport à la première diagonale.

Cordialement,

[Médiat]

HS : Il en respecte souvent la définition, e.g., égal à l'union de ses éléments

HS² : oui mais pas certaines propriétés intéressantes (c'est pour cela qu'il est exclu), comme par exemple être équipotent à son successeur, et cela complique une définition d'ordinal fini (ne pas contenir d'ordinal limite) ...

Ceci étant dit, c'est pour moi du même ordre d'idée que "1 est ou n'est pas un nombre premier", la définition généralement admise c'est qu'il n'est pas premier, et pourtant il respecte certaines définitions e.g. n'admettre que 1 et lui-même comme diviseur.

Cordialement,

[Médiat]

Pour moi c'est la même compréhension. Maintenant il s'avère que les mathématiques sont l'expression de la nature mais (la ce n'est qu'un acte de foi gratuit) Il n'ont pas besoin de la nature car se sont la nature.

Je comprends de moins en moins, d'un côté tu dis que le vide mathématique et le vide physique (et j'ai compris "vide de la nature") n'ont rien à voir, et maintenant tu dis que les mathématiques sont la nature et donc que le vide mathématique est le vide de la nature

[invite6754323456711]

Je vais essayer de reformuler différemment. Pour moi (ma compréhension) "le vide" n'est pas un être mathématique mais un être physique.

Il existe un premier élément (le plus petit ordinal) qui représente l'absence d'élément. C'est un être mathématique qui a une existence en soi et qui n'a nullement besoin du vide physique pour exister et faire sens.

Patrick

Autrement dit laissons faire notre imagination/intuition mathématiques et on découvrira ce qu'est la nature.

Patrick

[Médiat]

Cordialement,

Je vois bien le lien qui peut exister entre le germe et le germe , je ne vois pas à quoi ce lien pourrait correspondre pour les ordinaux.

[invite6754323456711]

Si au contraire, on part du principe que seuls les entiers naturels sont "naturels" (par la grâce de Dieu (selon Kronecker) ou de Peano), et que les autres ensembles de "nombres" sont construits sur celui-ci,

C'est la définition "officielle/consensus" du terme naturel en ce qui concerne les entiers ?

est-ce que le 0 des réels est une "coupure de Dedekind

on dirait construire à partir du vide

Peut on dire alors que est le successeur de 0 ?

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour

est-ce que le 0 des réels est une "coupure de Dedekind

Ou alors, autre vision, pourquoi la coupure d'un ensemble réel n'est pas un nombre transfini ?

Cela rejoint l'interrogation de "Les Terres Bleues"

Patrick

[Médiat]

Je vois bien le lien qui peut exister entre le germe et le germe , je ne vois pas à quoi ce lien pourrait correspondre pour les ordinaux.

Il faut lire :

entre le germe et le germe ,

[Médiat]

C'est la définition "officielle/consensus" du terme naturel en ce qui concerne les entiers ?

Si on parle de formalisme (formalisation), oui.

Peut on dire alors que est le successeur de 0 ?

Non, le successeur de 0 est s(0), généralement noté 1, de plus n'est le successeur d'aucun ordinal.

[Médiat]

Ou alors, autre vision, pourquoi la coupure d'un ensemble réel n'est pas un nombre transfini ?

La coupure de Dedekind dans les réels donne ... un réel, pourquoi dire que ce pourrait être un transfini ; je ne vois pas le sens de cette interrogation.

[invité576543]

entre le germe et le germe ,

Je ne le vois pas comme cela.

Plutôt comme une relation d'ordre ("converge plus vite que"), définie par le comportement près de 0, avec 1<x<x²<...xⁿ<...<exp(-1/x)<exp(-1/x²)<...<exp(-exp(x)) < ... etc.

(attention, c'est < au sens de l'ordre, mais > au sens de la valeur près de 0)

Avec un ensemble bien choisi de fonctions, n'est-il pas possible de mettre en correspondance avec les ordinaux?

Rappelons que c'est juste "philosophique", une tentative de mettre en rapport une notion plurielle d'infinis avec une notion plurielle de 0.

Cordialement,

PS: Je cherche la revue, sans succès pour le moment...

[invité576543]

HS : Question annexe: cela a-t-il un sens de se demander quelles sont les fonctions non nulles Cinfini en 0 mais dont toutes les dérivées sont nulles en 0 (comme exp(-1/x))? Et surtout s'il y en a une "plus petite" f(x), au sens où pour toute fonction g(x) ayant la même propriété, f(x)/g(x) ne tend pas vers 0?

Cela correspondrait alors au premier ordinal limite () si on voit dans le degré minimal du développement de Taylor le correspondant d'un ordinal fini.

Cordialement,

PS : Une contrainte assez naturelle est de se limiter aux fonctions (constantes ou) strictement croissantes.

[Les Terres Bleues]

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Je conçois aisément qu’il ne soit pas très simple pour des gens compétents dans les domaines concernés de condescendre à débattre avec des amateurs qui ne savent étayer leur argumentation qu’avec ce qu’ils possèdent, c’est-à-dire bien peu.
Aussi, mon but n’est pas de m’appuyer sur des travaux que je ne maîtrise pas, encore moins de les contester ou de prétendre faire mieux. Cantor et Dedekind, Peano ou les autres peuvent gésir tranquille. Non, je m’interroge obstinément sur la signification que l’on semble associer « automatiquement » à des notions abstraites qui restent selon moi sujettes à caution.
Pour les quelques opérations auxquelles je suis parfois conduit, je n’utilise ni les octonions ni les sédénions, juste l’ensemble C*³ des nombres complexes moins le zéro, élevé à la puissance trois. Je me demandais donc pourquoi j’avais à tout prix ce besoin « d’enlever ce zéro qui gêne en plein milieu ». Je dois dire honnêtement que malgré leur rudesse certains messages sur ce fil m’ont été fort utiles, et j’en suis déjà moins idiot. Je vous en remercie.

Pour répondre, brutalement à la question posée brutalement : "Mathématiquement, physiquement, conceptuellement, en quoi le zéro diffère-t-il de l’infini ?", je pourrais répondre "en tout", mais ce serait une infâme simplification.

Il me semble pourtant qu’ils possèdent en commun le fait de ne pas nécessiter de faire appel à l’unité pour être confirmés. Mais bien sûr, ça ne correspond pas à nos définitions admises par consensus, alors encore une fois, j’aurai tout faux.

[invite6754323456711]

La coupure de Dedekind dans les réels donne ... un réel, pourquoi dire que ce pourrait être un transfini ; je ne vois pas le sens de cette interrogation.

En mathématiques, une coupure de Dedekind d'un ensemble totalement ordonné E est un couple (A,B) de sous-ensembles de E, lesquels forment à eux deux une partition de E, et où tout élément de A est inférieur à tout élément de B.

D'une certaine façon, une telle coupure conceptualise quelque chose qui se trouverait « entre » A et B, mais qui ne serait pas forcément un élément de E.

La coupure conceptualise quoi 0 ou l'infini (un certain infini) ?


Patrick

[Médiat]

Plutôt comme une relation d'ordre ("converge plus vite que"), définie par le comportement près de 0, avec 1<x<x²<...xⁿ<...<exp(-1/x)<exp(-1/x²)<...<exp(-exp(x)) < ... etc.

[...]

Avec un ensemble bien choisi de fonctions, n'est-il pas possible de mettre en correspondance avec les ordinaux?

Il te reste juste à montrer que ton ensemble de fonctions ainsi défini est un bon ordre.
Une autre façon d'avoir un doute : l'ordre sur les ordinaux est discret, ce qui n'est évidemment pas le cas des germes (entre x et x², il y a x^3/2 (tu ne parles bien que de nombres positifs, sinon il y aurait un problème avec exp(-1/x))). Bien sur, tu peux choisir une certaine "suite" de fonctions (en disant suite j'évoque la bijection entre l'ensemble de fonction et un ordinal), mais alors il doit y avoir une gros travail de justification pour montrer que ce n'est pas artificiel).

Par exemple x, x², ... xⁿ ... pourrait correspondre aux ordinaux finis
e^-1/x à
xe^-1/x à + 1
...
e^-1/x² à à +

etc.

[invité576543]

il y a x^3/2

Pas Cinfini en 0.

Cordialement,

[Médiat]

La coupure conceptualise quoi 0 ou l'infini (un certain infini) ?

Les coupures de Dedekind de nombres rationnels permettent de construire les réels à partir des rationnels, pour 0 c'est facile et pas très intéressant, il suffit de poser A = les rationnels strictement négatifs et B = les rationnels positifs ou nuls ; mais pour racine(2) qui n'est pas rationnel c'est plus riche :
A = {x | x² < 2}
B = {x | x² > 2}

[invite6754323456711]

La coupure conceptualise quoi 0 ou l'infini (un certain infini) ?

La question ne porte pas sur les objets de la séparation mais sur l'objet qui est la cause de la séparation.


Patrick

[Médiat]

Pas Cinfini en 0.

J'avais zappé cet aspect (tu ne l'as pas rappelé dans ton message #42), mais en tout état de cause, on peut en trouver d'autres (e.g. : x < x.ln(x+1) < x²)

[Médiat]

La question ne porte pas sur les objets de la séparation mais sur l'objet qui est la cause de la séparation.

Je ne sais absolument pas ce que veut dire cette remarque, et donc ne peut pas y répondre ; peux-tu expliciter ...

[invite6754323456711]

Les coupures de Dedekind de nombres rationnels permettent de construire les réels à partir des rationnels, pour 0 c'est facile et pas très intéressant, il suffit de poser A = les rationnels strictement négatifs et B = les rationnels positifs ou nuls ; mais pour racine(2) qui n'est pas rationnel c'est plus riche :
A = {x | x² < 2}
B = {x | x² > 2}

Peut on couper un infini ?

Patrick

[Médiat]

Par exemple x, x², ... xⁿ ... pourrait correspondre aux ordinaux finis
e^-1/x à
xe^-1/x à + 1
...
e^-1/x² à à +

etc.

Je suppose que tu avais rectifié, il faut lire (encore un abus de copier-coller) :

Par exemple x, x², ... xⁿ ... pourrait correspondre aux ordinaux finis
e^-1/x à
xe^-1/x à + 1
...
e^-1/x² à +

etc.

[invité576543]

J'avais zappé cet aspect (tu ne l'as pas rappelé dans ton message #42), mais en tout état de cause, on peut en trouver d'autres (e.g. : x < x.ln(x+1) < x²)

Si Cinfini, alors il y a un développement de Taylor, et donc un degré polynomial minimal bien défini en 0, d'où un classement dans l'un des xⁿ si au moins une dérivée n'est pas nulle.

ln(x+1) = x - x²/2 + ..., donc xln(x+1) est congruent à x².

Je ne vois pas de problème avec les fonctions ayant au moins une dérivée en 0 non nulle. C'est pour celles avec toutes dérivées nulles que je patauge.

Cordialement,

[Médiat]

Peut on couper un infini ?

Dans les rationnels il n'y a pas d'infini donc la question ne se pose pas, dans un ordinal, la construction de Dedekind peut s'appliquer (puisqu'elle peut s'appliquer à n'importe quel ensemble muni d'une relation d'ordre), mais je ne pense pas que cette construction engendre quoi que ce soit qui n'existe déjà dans l'ordinal considéré.

[invite6754323456711]

Peut on couper un infini ?

Patrick

Autrement dit : Il semblerait que l'on puisse couper 0 ... 2... mais peut on couper des nombres irrationnels transcendants ?

Patrick

[Médiat]

Autrement dit : Il semblerait que l'on puisse couper 0 ... 2... mais peut on couper des nombres irrationnels transcendants ?

On ne coupe pas 0 ou 2 (sinon quelqu'un va nous dire que si on coupe 2, le résultat n'est plus égal à 2 ), on coupe en 0 ou en 2. Et bien sur que l'on peut couper en tous les transcendants puisque c'est un moyen de construire les réels.
Pour Pi, il suffit de considérer l'ensemble des rationnels strictement plus petit que Pi, et l'ensemble des rationnels strictement plus grand que Pi (dit comme cela ce n'est pas très constructif, mais il suffit de considérer deux suites qui convergent vers Pi (une par valeurs supérieures et une par valeurs inférieures) pour que cela marche.

[Médiat]

Si Cinfini, alors il y a un développement de Taylor, et donc un degré polynomial minimal bien défini en 0, d'où un classement dans l'un des xⁿ si au moins une dérivée n'est pas nulle.

Dit comme cela c'est clair pour moi, et je n'ai plus d'objection pour la correspondance avec les ordinaux finis.

[invite6754323456711]

On ne coupe pas 0 ou 2 (sinon quelqu'un va nous dire que si on coupe 2, le résultat n'est plus égal à 2 ), on coupe en 0 ou en 2. Et bien sur que l'on peut couper en tous les transcendants puisque c'est un moyen de construire les réels.
Pour Pi, il suffit de considérer l'ensemble des rationnels strictement plus petit que Pi, et l'ensemble des rationnels strictement plus grand que Pi (dit comme cela ce n'est pas très constructif, mais il suffit de considérer deux suites qui convergent vers Pi (une par valeurs supérieures et une par valeurs inférieures) pour que cela marche.

Donc en fait la coupure permet de définir un nombre représentant l'infini (la puissance du continu) tel que pi par exemple.

Quel était donc ta penser quant tu posais l'interrogation :

est-ce que le 0 des réels est une "coupure de Dedekind des rationnels"

Que le 0 se définit comme l'infini ?

Patrick

[Médiat]

Donc en fait la coupure permet de définir un nombre représentant l'infini (la puissance du continu) tel que pi par exemple.

Représenter l'infini et appartenir à un ensemble infini, ce n'est pas tout à fait semblable, il me semble.

Quel était donc ta penser quant tu posais l'interrogation :
Que le 0 se définit comme l'infini ?

Surtout pas, ma pensée, c'est que les réels, donc le 0 des réels, se construisent usuellement de deux façons très différentes, les coupures de Dedekind et les suites de Cauchy, ces deux façons permettent de construire un ensembles de coupures, je suis donc autorisé à dire que le 0 des réels est une "coupure de Dedekind des rationnels", et un ensemble quotient pas une certaine relation, je suis donc autorisé à dire que le 0 des réels est "une classe d'équivalence, pour une relation particulière, de suites de rationnels ayant la propriété de Cauchy", d'où ma première interrogation : ces deux 0 sont-ils les mêmes, et ma deuxième interrogation : que veut dire "les mêmes" en mathématiques (cf. mon message #24