Cardinaux infini est-ce juste qu'une définition ?

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Avant tout je souhaite préciser que c'est une question de recherche de compréhension du sens qui à conduit à la notion de cardinal pour les ensembles infini et non une démarche de recherche de remise en cause.

La notion de nombre cardinal, semble modéliser la « taille » des ensembles fini comme infini.

Je me restreint dans un premier temps au cardinal des ensembles infinis dénombrables (« aleph-zéro »).

Sa définition s'appuie sur l'existence d'une bijection avec l'ensemble des entiers naturels. Cela semble avoir remis en cause l'idée "le tout est plus grand que la partie" que l'on croyait être une tautologie (et donc l'infini actuel paraitre être un paradoxe)

Partant de cette définition lié à la notion de bijection nous avons alors l'ensemble des entiers naturels qui a le même cardinal que par exemple le sous-ensemble des entiers pairs ou que celui de l'ensemble des entiers relatif.

Maintenant il existe aussi des surjections qui ne sont pas injective, par exemple (fonction valeur absolu) entre l'ensemble des entiers relatif et l'ensemble des entiers naturel ou autre exemple (quotient de division entière par le diviseur 2) entre l'ensemble des entiers naturels eux mêmes (NxN). Cela conduit aux conclusions suivantes :

La taille des entiers relatif est plus grande que la taille des entiers naturel.

ou

La taille des entiers naturels est plus grande qu'elle même.

Pourquoi (au sens est-il ainsi) la définition du cardinal en ce qui concerne les ensembles infinis s'appuie sur le concept de la bijection et non pas par exemple sur celui de la surjection ?

Ou tout simplement pourquoi en ce qui concerne les ensembles infinis la notion de taille n'a-t'elle pas été indéterminé ? Vouloir le définir n'est ce pas jouer avec l'infini ?


Patrick
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[invité576543]

Maintenant il existe aussi des surjections qui ne sont pas injective, par exemple (fonction valeur absolu) entre l'ensemble des entiers relatif et l'ensemble des entiers naturel

Ou comme la surjection de N vers Z :

n multiple de 4 --> -n/4
n=1 mod 4 --> (n-1)/4
n=2 mod 4 --> -(n+2)/4
n=3 mod 4 --> (n-3)/4

Cela conduit aux conclusions suivantes :

La taille des entiers naturels est plus grande que la taille des entiers relatifs.

Pourquoi (au sens est-il ainsi) la définition du cardinal en ce qui concerne les ensembles infinis s'appuie sur le concept de la bijection et non pas par exemple sur celui de la surjection ?

A ton avis?

Cordialement,

[invite6754323456711]

A ton avis?

L'infini du fait qu'il est infini semble être totalement malléable ce qui nous permet de lui faire dire ce que l'on veut. Pourquoi existerait-il une "vérité" absolu ?

Patrick

[invite6754323456711]

Pourquoi existerait-il une "vérité" absolu ?

Précision afin d'éviter toute ambiguïté d'interprétation concernant ce que j'entends par une "vérité" absolu. Pourquoi la bijection ("vérité" absolu) serait un concept plus représentatif/objectif de la "réalité" de l'infini (en ce qui concerne sa taille) que la surjection ?


Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[Les Terres Bleues]

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Ce n'est toujours que par convention, tu commences à avoir l'habitude, non ?

D'accord, j'attaque avec une mauvaise boutade, mais c'est pas pour autant que je ne n'ai rien à dire. S'il arrive parfois que des sujets de discussion partent dans tous les sens, ce coup-ci, il n'y avait aucun risque à mon avis puisque la réponse se trouvait déjà dans la question.

Zéro entier naturel ? Pas de problème, c'est un axiome.
Un cardinal pour l'infini ? Pas de souci, c'est par définition.
Etc.

Note bien que j'ai écrit "Pas de problème" et "Pas de souci" au lieu de zéro problème ou zéro souci. J'ai mis etc. en blanc parce qu'on aurait pu m'objecter qu'il s'agissait d'un infini potentiel.

Plus sérieusement, nous avons énormément de mal à aborder ces questions franchement, parce qu'elles remettent forcément en cause des choses importantes. Et que ça doit nous être difficile d'avancer hors des sentiers battus ou de penser en dehors des lieux communs.
Dit autrement, ce n'est pas facile d'être à contre-courant, sans compter en plus que le fait d'être à contre-courant n'est absolument pas la garantie d'avoir juste.

Bon courage et cordiales salutations.

[invite6754323456711]

sans compter en plus que le fait d'être à contre-courant n'est absolument pas la garantie d'avoir juste.

Tout à fait mais d'avancer hors des sentiers battus c'est pourtant cela qui permet de conserver notre esprit critique et salvateur afin d'éviter les idées et images qui pourraient être toutes faites.


Patrick

[Les Terres Bleues]

Tout à fait mais d'avancer hors des sentiers battus c'est pourtant cela qui permet de conserver notre esprit critique et salvateur afin d'éviter les idées et images qui pourraient être toutes faites.

Idées et images toutes faites n'impliquant aucun jugement de valeur, car la justesse ou la fausseté ne résident pas dans la reconnaissance.
Les axiomes, postulats et autres définitions sont de formidables outils de travail (indispensables en plus), mais ils ne devraient pas empêcher de toujours travailler et retravailler les concepts qu'ils sous-tendent.

Cordiales salutations.

[invité576543]

Tout à fait mais d'avancer hors des sentiers battus c'est pourtant cela qui permet de conserver notre esprit critique et salvateur afin d'éviter les idées et images qui pourraient être toutes faites.

Il est aussi débile de rester systématiquement sur les sentiers battus que de chercher systématiquement à aller hors des sentiers battus. L'esprit critique ne consiste pas à rejeter les idées ou images toutes faites, cela consiste à utiliser sa liberté de choix. Y compris le choix des sentiers battus et des images toutes faites.

Ou encore, c'est trop facile de ne pas chercher à comprendre "les sentiers battus" sous prétexte qu'il serait préférable de les éviter. La vraie sagesse (et c'est très difficile) c'est d'attendre d'avoir parfaitement compris les "sentiers battus" avant de s'aventurer ailleurs. Ne pas chercher à comprendre et partir tout de suite "hors sentiers battus" n'est pas faire preuve d'esprit critique, juste faire preuve de rébellion. Mais il est facile de se leurrer soi-même en pensant le contraire...

Cordialement,

[Les Terres Bleues]

(...)

La critique est sévère, et à mon avis relativement injustifiée concernant Patrick. Elle serait plus appropriée certainement dans ma direction, surtout à travers la mise en opposition des termes "d'esprit critique" et de "rébellion" que je dois avoir une tendance chronique à confondre.

Mais que veux-tu Michel, je ne suis pas assez jeune pour tout savoir.

Cordiales salutations.

[invite6754323456711]

La vraie sagesse (et c'est très difficile) c'est d'attendre d'avoir parfaitement compris les "sentiers battus" avant de s'aventurer ailleurs.

C'est pour cela que j'interroge sur FS et pour l'instant contrairement à ce que tu affirmes je suis toujours dans l'expectative.

Maintenant si tu détiens cette sagesse tu ne devrais n'avoir aucune difficulté d'en faire profiter tout le monde comme tout sage le ferait.

Patrick

[invité576543]

C'est pour cela que j'interroge sur FS et pour l'instant contrairement à ce que tu affirmes je suis toujours dans l'expectative.

Tttt... Je n'ai rien affirmé à ton sujet ni au sujet de qui que ce soit. Tu as fait une remarque générale, j'ai répondu par une autre remarque générale. Suffit de lire pour le vérifier.

C'est d'ailleurs assez mauvais comme réponse de montrer qu'on se sent attaqué alors qu'il n'y a pas d'attaque explicite. C'est toi qui t'attaques toi-même ce faisant. (Ou LTB qui t'a attaqué en faisant croire que je l'avais fait .)

Cordialement,

[invité576543]

A part cela, au lieu de vous sentir visés et agressés, vous pourriez dire si vous êtes d'accord ou non avec ce que j'ai écrit, qui visait à modérer quelque peu les deux messages qui précédaient.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Bonjour,

Je repose différemment mon interrogation puisqu'elle semble avoir suscité des interprétations qui ne sont pas les miennes.

Pourquoi conserver le même qualificatif (taille/quantité/cardinal) caractérisant parfaitement un nombre fini d'éléments pour l'infini ?

Quel est le sens donné à cardinal infini ?

Quel sens est donné à bijection/équipotent ? Qu'il existe des infinis qui soit dénombrable (mais sans terminaison) et que l'on ai pu le formaliser est une prouesse remarquable ? Mais pourquoi vouloir en faire dire plus (taille ?) sur cet l'infini qui est infini (malléable / elastique) ?

Par exemple si je retire au entier naturel un élément, les éléments restant auront toujours le même cardinal infini (normal puisque qu'il reste infini) malgré qu'il aura toujours un éléments en moins. Quel est donc la signification que nous faisons porté à ce plus petit cardinal infini ?

Patrick

[invité576543]

J'imagine que tu as réalisé entre temps qu'il n'y a pas d'alternative genre utiliser les surjections...

A part cela, ta question peut s'interpréter à deux niveaux différents.

Le premier est celui du cas particulier de la notion de cardinal, le second la question générale qui est pourquoi en mathématiques on privilégie certains concepts et pas d'autres?

Pour le cas général, il me semble que c'est une vaste interrogations sans réponse claire, et avec des réponses qui vont couvrir une vaste gamme dont l'utilitarisme pur (parce que c'est ce qui est utile), l'esthétisme (cela fait des jolies théories), ce que j'appelle l'approche du lampadaire (parce qu'avec ces concepts il y a quelque chose à dire à la fois pas trop trivial et pas trop dur), etc.

Pour le cas particulier, pour moi c'est le b.a.ba de la notion de structure. Dire que deux "choses" sont traitables de la même manière pour au moins certains aspects, on fait toujours appel à une bijection qui conserve certaines propriétés structurelles (iso/homo/difféo/etcetaromorphisme).

La structure d'ensemble, la plus simple dans le montage à partir de la théorie des ensembles, amène la notion de bijection elle-même, qui conserve une structure et donc certains attributs, et le cardinal est le plus évident ce ces attributs.

A mon sens, c'est directement lié à l'axiome définissant l'égalité entre deux ensembles. Si deux ensembles sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments, il s'ensuit presqu'immédiatement qu'il est intéressant d'étudier la mise en correspondance un élément pour un élément entre deux ensembles, c'est à dire la bijection, et d'étudier la structure que cela conserve.

Si faire cela pour les ensembles finis semble intuitif, cela ne change strictement rien à l'intérêt intrinsèque de la notion pour tous les ensembles, finis ou non.

(Je ne domine pas vraiment la théorie des catégories, mais la notion de foncteur doit s'appliquer au cardinal, il me semble, ce qui ramène à la "seconde question" ci-dessus...)

Cordialement,

[invite6754323456711]

A part cela, au lieu de vous sentir visés

A bon tu visais qui d'autre ?

Il me semble t'avoir répondu. Je n'ai alors pas compris ton sous-entendu "a ton avis", que j'ai interprété comme : la bijection permet de levé les paradoxes créé par la surjection (bien qu'elle en laisse d'autre qui sont fonction du sens que je porte à cardinal infini).

Ces paradoxes n'apparaissent t-ils pas parque nous cherchons à contenir l'infini (ensemble, infini considéré comme un tout) ? Question que je pose tout simplement car je n'ai pas pour l'instant une compréhension satisfaisante concernant la signification du concept de cardinal pour l'infini dénombrable. Pourquoi n'est-il pas plutôt indéterminé ?


Patrick

[invité576543]

A bon tu visais qui d'autre ?

Pourquoi veux-tu qu'un message tel celui que je l'ai écrit vise qui que ce soit de particulier?

Je n'avais pas considéré que le message de ta part auquel cela répondait visait qui que ce soit, par exemple. Me suis-je trompé?

Cordialement,

[invite6754323456711]

A part cela, ta question peut s'interpréter à deux niveaux différents.

Merci ta réponse est très claire. Je l'interprète comme : tout dépend de ce à quoi on s'intéresse.

Patrick

[invité576543]

que j'ai interprété comme : la bijection permet de levé les paradoxes créé par la surjection (bien qu'elle en laisse d'autre qui sont fonction du sens que je porte à cardinal infini).

Il y a de ça. Mais plus précisément, tu semblais proposer une sorte de relation d'ordre à partir des surjections. Or cela ne marche pas; si A et B ont le même cardinal infini, alors il y a des surjections de A vers B et des surjections de B vers A. Les surjections ne permettent pas de casser la symétrie, pas plus que les injections.

je n'ai pas pour l'instant une compréhension satisfaisante concernant la signification du concept de cardinal pour l'infini dénombrable. Pourquoi n'est-il pas plutôt indéterminé ?

Je pense que tu cherches trop loin quelque chose qui est devant le bout du nez. Mon approche d'abord utilitariste m'empêche de me torturer la tête comme cela : la notion de bijection et de cardinal est opérationnelle et utile, cela me suffit pour justifier son introduction dans la panoplie des concepts.

Qui plus est, je ne vois pas en quoi introduire un concept peut nuire : cela n'empêche jamais d'en introduire d'autres! Si la notion de cardinal telle que définie ne te plaît pas, ajoute autre chose, mais tu n'as aucunement besoin de remplacer le concept de cardinal par autre chose.

Si tu veux une notion "indéterminée" pour la comparaison des infinis, tu en as une sous la main avec l'ordinal par exemple. Si un ensemble infini n'est pas structuré par un bon ordre, alors son ordinal est indéterminé (dans une certaine mesure, mesure qui est quoi à ton avis?).

Et si tu veux inventer autre chose, tu es libre! Seulement, si cela ne sert à rien à personne, faut pas t'étonner que cela ne diffuse pas...

Cordialement,

[invite6754323456711]

Pourquoi veux-tu qu'un message tel celui que je l'ai écrit vise qui que ce soit de particulier?

Je n'avais pas considéré que le message de ta part auquel cela répondait visait qui que ce soit, par exemple. Me suis-je trompé?

Surement une mauvaise interprétation de ma part. Tout comme vouloir extraire du formalisme mathématique le sens qui à conduit à une telle conceptualisation. Je ne pense pas (ou du moins je ne sais pas le lire) qu'il soit inscrit avec.

Patrick

[invite6754323456711]

Il y a de ça. Mais plus précisément, tu semblais proposer une sorte de relation d'ordre à partir des surjections. Or cela ne marche pas; si A et B ont le même cardinal infini, alors il y a des surjections de A vers B et des surjections de B vers A. Les surjections ne permettent pas de casser la symétrie, pas plus que les injections.

Disons plutôt que je m'interroger sur le sens donné à taille/quantité/cardinal. La surjection était pour moi un contre exemple.

Si la notion de cardinal telle que définie ne te plaît pas, ajoute autre chose, mais tu n'as aucunement besoin de remplacer le concept de cardinal par autre chose.

Je cherchais avant tout à en comprendre le sens. La notion de cardinal est évidente pour les ensembles fini. Cette même notion (car même vocabulaire) est difficile à extrapoler (en comprendre son extension) pour l'infini dénombrable (l'infini indénombrable je n'en parle même pas).

Patrick

[invité576543]

Tout comme vouloir extraire du formalisme mathématique le sens qui à conduit à une telle conceptualisation. Je ne pense pas (ou du moins je ne sais pas le lire) qu'il soit inscrit avec.

Je ramène sur la table l'utilitarisme : pour moi le sens est concomitant aux utilisations.

S'intéresser à comment on a été conduit là est de "l'épistémologie historique" : intéressant, mais cela ne donne pas nécessairement une idée du "sens" (ou pas du sens tel que perçu maintenant). Les utilisations au présent donne le seul sens qui ait un sens pour moi.

Cordialement,

[Médiat]

Je sais bien que pour ù100fil je n'ai plus d'argument, mais il y a des choses que je ne peux pas laisser dire : Le cardinal n'est pas le nombre d'éléments ; au mieux peut-on dire que le nombre d'éléments est le cardinal ; mon Dieu mais c'est vrai que je n'ai plus d'argument : j'ai déjà écrit cela plusieurs fois !

[invité576543]

Je cherchais avant tout à en comprendre le sens. La notion de cardinal est évidente pour les ensembles fini. Cette même notion (car même vocabulaire) est difficile à extrapoler (en comprendre son extension) pour l'infini dénombrable (l'infini indénombrable je n'en parle même pas).

Je maintiens que tu cherches trop loin.

Si tu comprends la notion de bijection, tu comprends la notion de cardinal (c'est une simple conséquence des propriétés de la bijection, propriétés qui permettent de construire une relation d'équivalence et donc des classes d'équivalence; le mot "cardinal" n'est qu'un alias pour ces classes d'équivalence). Il n'y a là aucune notion d'extrapolation.

Cela ne te donne pas le "sens", mais comment être opérationnel avec le concept.

Ensuite, pour le sens, suffit d'observer les utilisations et se fabriquer ses interprétations personnelles. Qu'on n'y arrive pas, ou pas de manière satisfaisante, n'est pas un handicap si on sait utiliser le concept.

A contrario, voir comme bloquant l'absence d'interprétation satisfaisante d'un concept que l'on pourrait maîtriser opérationnellement, c'est se créer artificiellement un handicap, àmha. D'autant plus que c'est souvent par l'usage même que se développent des interprétations satisfaisantes!

Cordialement,

Edit : Croisement avec Médiat, mais ouf! j'ai vérifié que l'approche par les classes d'équivalence ne devrait pas tomber sous la critique du messages précédent...

[invite6754323456711]

Je pense que tu cherches trop loin quelque chose qui est devant le bout du nez. Mon approche d'abord utilitariste m'empêche de me torturer la tête comme cela : la notion de bijection et de cardinal est opérationnelle et utile, cela me suffit pour justifier son introduction dans la panoplie des concepts.

Précision : C'est une question relative à mon ignorance sur l'utilité d'un tel concept.

La notion de cardinal infini est utile à quoi autre que la beauté mathématique ?

Patrick

[invite6754323456711]

Je sais bien que pour ù100fil je n'ai plus d'argument, mais il y a des choses que je ne peux pas laisser dire : Le cardinal n'est pas le nombre d'éléments ; au mieux peut-on dire que le nombre d'éléments est le cardinal ; mon Dieu mais c'est vrai que je n'ai plus d'argument : j'ai déjà écrit cela plusieurs fois !

Détrompe toi j'apprécie toujours la pertinence de tes interventions. C'est justement sur cette ambiguïté (pour moi) que je bute. Le cardinal fait sens tout seul (sans synonymique qui font sens pour les ensembles fini) et son sens n'est à chercher que dans son expression mathématique ?

Patrick

[invité576543]

Précision : C'est une question relative à mon ignorance sur l'utilité d'un tel concept.

La notion de cardinal infini est utile à quoi autre que la beauté mathématique ?

Aïe... Je ne pensais pas que c'était là la question!

Je ne peux parler que pour moi, mais la hiérarchie (0, fini, dénombrable, puissance du continu, cardinal de P(R)) me semble tellement utile pour les maths et la physique que je ne saurais même pas où commencer pour le montrer.

Je n'ai pas d'usage de la suite de la hiérarchie (il me semble), et j'aurais tendance à classer les études là-dessus comme d'intérêt limité aux maths fondamentales (mais c'est un a priori). Il y a quand même trois crans entre cela et et le fini!

Cordialement,

[invite6754323456711]

Je sais bien que pour ù100fil je n'ai plus d'argument, mais il y a des choses que je ne peux pas laisser dire : Le cardinal n'est pas le nombre d'éléments ; au mieux peut-on dire que le nombre d'éléments est le cardinal ; mon Dieu mais c'est vrai que je n'ai plus d'argument : j'ai déjà écrit cela plusieurs fois !

Détrompe toi j'apprécie toujours la pertinence de tes interventions. C'est justement sur cette ambiguïté que je bute. Le cardinal fait sens tout seul (sans synonymique qui font sens pour les ensemble fini) et son sens n'est à chercher que dans son expression mathématique ?

Patrick

[invite6754323456711]

son sens n'est à chercher que dans son expression mathématique ?

Précision par ce que j'entends par "sens mathématique" en ce qui concerne le cardinal pour l'infini dénombrable :

Michel a donné (du moins ce que j'en comprend) deux réponses pertinentes :

l'utilitarisme pur (parce que c'est ce qui est utile),
l'esthétisme (cela fait des jolies théories)

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

Ce que je comprend de la définition de cardinal en extrapolent les informations fournis par Michel :

Le cardinal d’un ensemble est sa classe d’équivalence pour la relation d’équipotence.

Il fait sens parce qu'il est utile.

Patrick

[invite6754323456711]

Je sais bien que pour ù100fil je n'ai plus d'argument

Pour crever l'abcès: ou ai-je écrit cela (te concernant personnellement) ?

Il me semble qu'un débat n'a d'intérêt que si il y a des positions (point de vues) différentes. Maintenant cela conduit bien souvent tous les participants à des débordements liés le plus souvent à des incompréhensions mutuelles (terminologie, filtre culturel, ..).

Patrick