Le zéro et l'infini.

[Les Terres Bleues]

Ainsi que cela m’a été fortement suggéré dans une discussion voisine sur le zéro considéré en tant qu’entier naturel, je viens ici proposer une simple question :

En quoi le zéro diffère-t-il de l’infini ?
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[erik]

Quelque chose doit m'échapper. Mettons qu'on se place dans IR

- 0 est un nombre, l'infini n'en est pas un
- pour tout réel x strictement positif on a x>0, et x est inférieur à l'infini.
- l'ensemble vide contient 0 élément et pas une infinité
........

[invite6754323456711]

Ainsi que cela m’a été fortement suggéré dans une discussion voisine sur le zéro considéré en tant qu’entier naturel, je viens ici proposer une simple question :

En quoi le zéro diffère-t-il de l’infini ?

Ne faut-il pas se posez en amont la question sur la nature des entités mathématiques ce qui amènera à ce faire une idée de leur conception ?

Les nombres sont-il des choses elles même ou la structure même d'une "réalité" extérieure empirique ?


Patrick

[invite6754323456711]

- l'ensemble vide contient 0 élément
........

Le concept du 0 est t'il celui que tu énonces ?
Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Le concept du 0 est t'il celui que tu énonces ?

Si on définit 0 comme le plus petit ordinal (donc dans ZF(C)), alors oui, 0 et ensemble vide coïncide.

Je ne pense pas que le fil démarré par Les Terres Bleues porte sur les mathématiques en tant que tel, mais sur la conceptualisation du 0 et de l'infini, et je suppose que s'il pose la question de leur différence c'est qu'il les conçoit comme essentiellement similaire, par exemple (simple hypothèse de ma part, mais Les Terres Bleues n'a pas beaucoup balisé sa question), parce qu'il est facile de trouver "un caillou", alors que trouver "zéro caillou" est aussi difficile que de trouver "une infinité de cailloux" (ici, j'essaye d'interpréter la question, je n'exprime pas un sentiment personnel).
Le mieux serait, sans doute, que Les Terres Bleues précise le cadre de sa question.

[Les Terres Bleues]

.
Puisqu’il ressort des premières interventions que la question proposée n’est pas suffisamment balisée (Serait-ce à dire trop ouverte ?), il m’appartient certainement d’avancer quelques éléments d’éclaircissement, ou tout au plus de relance.

L’ensemble vide contient 0 élément et pas une infinité.

Cela signifie-t-il qu’il est infiniment vide ? À moins qu’il ne conserve un petit rien du tout ? Mais alors il ne serait plus un ensemble vide. Donc, sans équivoque oui, s’il est vide , c’est qu’il est infiniment vide.

Ne faut-il pas se poser en amont la question sur la nature des entités mathématiques, ce qui amènera à se faire une idée de leur conception ? Les nombres sont-ils des choses elles-mêmes ou la structure-même d’une "réalité" extérieure empirique ?

Ce débat a déjà eu lieu je crois entre platoniciens et formalistes. Peut-être ferons-nous ici un petit bout de chemin supplémentaire ?

Je suppose que s’il pose la question de leur différence, c’est qu’il les conçoit comme essentiellement similaires.

Merci de ne faire que supposer, car j’ai noté ailleurs que tu n’hésitais pas à souligner qu’il était déplaisant de se voir attribuer « des pensées » que l’on n’avait pas exprimées soi-même.

Le zéro et l’infini occupent sur cette échelle logarithmique des places rigoureusement symétriques et sont donc assimilables l’un à l’autre. Les résultats que j’ai énoncés conduisent à réviser les idées que certains, considérant que cet objet serait un nombre comme un autre, pourraient se faire sur le « zéro ». Car, physiquement parlant, n’ayant pas de logarithme, zéro n’est pas un nombre. Sur l’échelle logarithmique la « valeur » 0 se trouve hors de portée puisque, lorsqu’on considère des quantités de plus en plus petites en espérant se rapprocher de cette valeur, leur logarithme devient de plus en plus grand en valeur absolue. (Le mathématicien énonce que la fonction logarithme n’est pas définie pour la valeur zéro et qu’elle tend en ce point vers moins l’infini.)

Mathématiquement, physiquement, conceptuellement, en quoi le zéro diffère-t-il de l’infini ?

Merci d’avance de vos lumières.

[invite6754323456711]

Si on définit 0 comme le plus petit ordinal (donc dans ZF(C)), alors oui, 0 et ensemble vide coïncide.

Ok

Je ne pense pas que le fil démarré par Les Terres Bleues porte sur les mathématiques en tant que tel, mais sur la conceptualisation du 0 et de l'infini, et je suppose que s'il pose la question de leur différence c'est qu'il les conçoit comme essentiellement similaire, par exemple (simple hypothèse de ma part, mais Les Terres Bleues n'a pas beaucoup balisé sa question), parce qu'il est facile de trouver "un caillou", alors que trouver "zéro caillou" est aussi difficile que de trouver "une infinité de cailloux" (ici, j'essaye d'interpréter la question, je n'exprime pas un sentiment personnel).
Le mieux serait, sans doute, que Les Terres Bleues précise le cadre de sa question.

Je suppose donc comme pré-requis que la question s'appuie sur les fondements qui ont conduit au concept du 0 et de l'infini.

C'est fondements permettent t'ils de dire que le concept du zéro est équivalent au concept de l'infini ?

Les fondements qui ont permis de conceptualiser le zéro cherchaient t-ils à exprimer :

Un être mathématique en tant que tel (pour le quel on ne s'intéresse qu'a ces propriétés) ? Il est doté d'une "réalité" intrinsèque.

ou une réalité extérieure ?

Patrick

[invite765732342432]

Mathématiquement, physiquement, conceptuellement, en quoi le zéro diffère-t-il de l’infini ?

Il est possible d'obtenir 0 par simple addition/soustraction. Pas l'infini.

[Les Terres Bleues]

Il est possible d'obtenir 0 par simple addition/soustraction. Pas l'infini.

Il s'agit là simplement de l'élément neutre de l'addition.
Le but de la question contient l'idée de s'étonner justement de cette confusion qui s'est développée entre un "élément neutre" et une "absence d'élement".

Cordiales salutations, et merci d'avance pour le cas où tu amènerais quelque chose de plus.

[invite6754323456711]

Il est possible d'obtenir 0 par simple addition/soustraction. Pas l'infini.

C'est une remarque pertinente.

J'ai cru comprendre que la notion de symétrique exige la définition d'élément neutre (ici en l'occurrence le 0). Le zéro à donc du être conceptualisé d'abord comme un entier positif avant de conceptualiser les entiers relatifs.

Si on prend pour modèle les entiers naturels ce donc n'est plus le cas.

Patrick
PS
C'est peut être un effet de bord

[invite765732342432]

Le but de la question contient l'idée de s'étonner justement de cette confusion qui s'est développée entre un "élément neutre" et une "absence d'élement".

Je croyais que la question était "En quoi le zéro diffère-t-il de l’infini ?"
Désolé.

[invite7863222222222]

Mathématiquement, physiquement, conceptuellement, en quoi le zéro diffère-t-il de l’infini ?

Je crois que tu es juste troubler par l'article de C. Magnan, mais si tu as des question sur ce qu'il dit, je peux te rassurer tu n'es pas le seul (même après échange)...

[Les Terres Bleues]

Je croyais que la question était "En quoi le zéro diffère-t-il de l’infini ?" Désolé.

Tu n’as pas du tout à t’excuser. J’étais dans le prolongement de la discussion précédente, et j’ai oublié de préciser que je parlais du zéro en tant que symbole de l’absence de quoi que ce soit.

Je crois que tu es juste troublé par l’article de C. Magnan, mais si tu as des questions sur ce qu’il dit, je peux te rassurer tu n’es pas le seul (même après échange)…

Il doit y avoir un peu de ça, effectivement. Mais ma réflexion est à mon avis assez différente de la sienne tout de même. Surtout que lui refuse à la fois l’un et l’autre, alors qu’en ce qui me concerne, je les logerais tous les deux ensemble à la même enseigne. Genre :
(0 = ∞)
zéro = vide = infiniment vide = infiniment plein de vide.

Voilà, maintenant peut-être que la question sera balisée comme il faut ?

Cordiales salutations.

[invite6754323456711]

zéro = vide = infiniment vide = infiniment plein de vide.

Je pense que tu cherches à définir les concepts mathématiques de zéro et d'infini par rapport à une "réalité" physique extérieure.

Il me semble que le zéro peut être conçu comme être mathématique qui fait sens indépendamment de toute réalité extérieure. Zéro cela peut être par exemple l'ensemble vide (ne contient aucun élément)/le plus petit ordinal et non le vide.

Il doit en être de même pour l'infini.

Pourquoi chercher à vouloir donner une "réalité" physique aux concepts purement mathématique ?

Patrick

[Médiat]

Cela signifie-t-il qu’il est infiniment vide ? À moins qu’il ne conserve un petit rien du tout ? Mais alors il ne serait plus un ensemble vide. Donc, sans équivoque oui, s’il est vide , c’est qu’il est infiniment vide.

Ceci est du niveau du jeu de mots, en aucun cas d'une argumentation philosophique ou scientifique.

Merci de ne faire que supposer, car j’ai noté ailleurs que tu n’hésitais pas à souligner qu’il était déplaisant de se voir attribuer « des pensées » que l’on n’avait pas exprimées soi-même.

Avouez qu'il y a une sacrée différence entre "je dis qu'il pense" et "je pense qu'il dis"

Mathématiquement, physiquement, conceptuellement, en quoi le zéro diffère-t-il de l’infini ?

Magnan parle, dans ce texte de la fonction logarithmique, et du comportement des infiniment grands et des infiniment petits positifs vis à vis de cette fonction, pas du 0 et de l'infini en général. Il serait d'ailleurs enfantin de trouver des fonctions ou ces rôles seraient tenus par 1 et l'infini.

Pour répondre, brutalement à la question posée brutalement "Mathématiquement, physiquement, conceptuellement, en quoi le zéro diffère-t-il de l’infini ?", je pourrais répondre "en tout", mais ce serait une infâme simplification.

[Médiat]

Il me semble que le zéro peut être conçu comme être mathématique qui fait sens indépendamment de toute réalité extérieure. Zéro cela peut être par exemple l'ensemble vide (ne contient aucun élément)/le plus petit ordinal et non le vide.

Est-ce que cela veut dire que le vide n'est pas le vide ? En fait, je ne comprends pas cette phrase.

[Médiat]

Voilà, maintenant peut-être que la question sera balisée comme il faut ?

Non, vous n'avez toujours pas précisé si vous parliez de l'infini potentiel ou de l'infini actuel (lequel ?).

[invite6754323456711]

Est-ce que cela veut dire que le vide n'est pas le vide ? En fait, je ne comprends pas cette phrase.

Concernant le vide : L'ensemble vide n'est pas le vide c'est un ensemble. Il a une réalité mathématique intrinsèque.

Concernant la réalité extérieure : Les mathématiques ont elles été conçu pour être une science de la nature ?

Patrick

[Médiat]

Concernant le vide : L'ensemble vide n'est pas le vide c'est un ensemble. Il a une réalité mathématique intrinsèque.

C'est quoi le vide en mathématique ?

Concernant la réalité extérieure : Les mathématiques ont elles été conçu pour être une science de la nature ?

Si tu parles des mathématiques grecques d'il y a 2500 ans, la réponse est oui ; si tu parles d'une vision plus moderne des mathématiques, je doute que même un platonicien puisse dire cela. J'ai déjà posé la question plusieurs fois à des "platoniciens au pied de la lettre" (que je différencie des platoniciens") qui affirment que 1 (je parle du nombre pas du chiffre) est observable dans la nature de me dire comment l'observer, et je n'ai reçu aucune réponse acceptable (un caillou c'est un caillou, ce n'est pas 1).

Quelques réflexions sur le sujet :

La nature est un livre écrit en langage mathématique

Or je soutiens que dans toutes théorie particulière de la nature il n'y a de science proprement dite qu'autant qu'il s'y trouve de mathématique

Les théories mathématiques n’ont pas pour objet de nous révéler la véritable nature des choses ; ce serait là une prétention déraisonnable

La déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences naturelles

et mes favoris :

Pour quoi faire des mathématiques ? Parce que les mathématiques, ça sert à faire de la physique. La physique, ça sert à faire des frigidaires. Les frigidaires, ça sert à y mettre des langoustes, et les langoustes, ça sert aux mathématiciens, qui les mangent et sont alors dans de bonnes dispositions pour faire des mathématiques, qui servent à la physique, qui sert à faire des frigidaires qui…

The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as in poetry.

[invite6754323456711]

C'est quoi le vide en mathématique ?

C'est ce que je m'époumone à dire.

Patrick

[invite6754323456711]

(un caillou c'est un caillou, ce n'est pas 1).

La compréhension que je m'en suis faite : Un caillou peut être un représentant de 1 mais l'objet/concept mathématique 1 n'a nullement besoin du caillou pour exister et faire sens. Il existe en tant qu'objet abstrait mathématique.


Patrick

[Médiat]

C'est ce que je m'époumone à dire.

Je dois être dur d'oreille, mais je n'ai toujours pas compris ce qu'était le vide en mathématique (considéré comme différent de l'ensemble vide).

[invité576543]

Le but de la question contient l'idée de s'étonner justement de cette confusion qui s'est développée entre un "élément neutre" et une "absence d'élement".

Je ne comprends pas l'étonnement, ni que l'on voit cela comme une confusion.

L'ensemble vide est élément neutre pour l'union ensembliste. C'est bien l'absence d'élément qui le rend neutre pour l'union, non?

La relation avec le nombre 0 est immédiate par les cardinaux.

Cordialement,

[Médiat]

De quoi parle-t-on quand on parle du 0 ?
Si on part du principe que les entiers naturels sont inclus dans les entiers relatifs qui sont inclus dans les rationnels qui sont inclus dans les algébriques qui sont inclus dans les réels qui sont inclus dans les quaternions qui sont inclus dans les octonions qui sont inclus dans les sédénions qui sont inclus dans les trigintaduonions (au-delà je ne sache pas qu'ils aient reçu un nom officiel (sexagintaquatronions ?)), alors il est facile de considérer que 0 est le même dans chacun de ces ensembles, puisqu'en fait il y a un gros ensemble et des sous-ensembles ; mais alors se pose un autre problème : d'où vient le 0 des trigintaduonions ? Des sexagintaquatronions ? Cela ne fait que repousser le problème ... à l'infini, mauvaise pioche.

Si au contraire, on part du principe que seuls les entiers naturels sont "naturels" (par la grâce de Dieu (selon Kronecker) ou de Peano), et que les autres ensembles de "nombres" sont construits sur celui-ci, alors se pose un autre problème : est-ce que les différents 0 de ces différents ensembles sont "les mêmes" (c'est à dire que la question est : que veut dire "les mêmes" en mathématiques ?), pour ne prendre qu'un seul exemple, est-ce que le 0 des réels est une "coupure de Dedekind des rationnels" ou "une classe d'équivalence, pour une relation particulière, de suites de rationnels ayant la propriété de Cauchy" ?

Certains doivent déjà penser que cet "identité" est en fait liée à l'existence d'isomorphismes entre les différentes constructions, et, pour aller un peu plus loin, à l'existence de monomorphismes (morphisme injectif) entre un ensemble et ceux dans lesquels il est "inclu" (inclu, ici, est donc un léger abus de langage). Mais pour parler de morphisme, il faut parler de structure (algébriques, mais pas seulement) de quelles structures est-il question ?

Bref, tout cela me semble un peu compliqué (et je n'ai pas encore parlé de l'infini ) pour un simple préambule ; les choses seraient plus simples si la question était mieux définie :
De quel 0 est-il question ? De quel infini est-il question ? En quoi le posteur initial pense-t-il qu'ils sont similaires (au delà du jeu de mots).

Et je n'attribue pas cette pensée à Les Terres Bleues, c'est lui qui le dit :

je les logerais tous les deux [0 et infini] ensemble à la même enseigne

[invité576543]

zéro = vide = infiniment vide = infiniment plein de vide.

Il me semblerait utile de distinguer deux concepts très différents, le 0 nombre et le 0 comme limite.

A mon sens l'infini est une limite, et d'ailleurs aleph0 est un ordinal limite.

D'accord, le 0 nombre est aussi un ordinal limite, mais la comparaison que tu fais est plutôt un rapprochement entre 0 et 1/infini, et ce type de limite n'est pas celui qui fait du 0 nombre un ordinal limite.

Si on considère maintenant le 0 comme limite et non comme nombre, cela clarifie certains aspects de la comparaison.

Par exemple, il n'y a pas un unique infini, mais une infinité d'infinis, alors qu'il n'y a qu'un seul 0 nombre. Mais on doit pouvoir mettre en correspondance des 0 limite avec des infinis comme limite.

Par exemple x et x² ne tende pas vers 0 de la même manière quand x tend vers 0 à droite dans les réels, et on peut être tenté d'y voir des 0 limites différents. De cette manière on se fabrique toute une série de 0 limites, ordonnés qui plus est, de fonctions strictement positives Cinfini sur R⁺ tendant vers 0 en 0 : les kxⁿ, les k exp(1/xⁿ), etc. Il me semble avoir lu quelque part qu'on peut mettre cela en relation avec les transfinis (via une congruence sur les fonctions, genre f(x)/g(x) tend vers 1 quand x tend vers 0).

Dans cette approche le 0 nombre pourrait être vu le "zéro limite absolu", car la fonction x --> 0 est plus petite que n'importe quelle fonction positive tendant vers 0... (Question : à quel transfini correspond-il? Rapport avec Burali-Forti?)

(Rien de ce qui précède n'est mathématiquement rigoureux, mais cela me semble dans l'esprit de la discussion...)

Cordialement,

Edit : croisement avec le message de Médiat, mais je crois détecter un lointain rapport entre les deux interventions, en particulier le besoin de distinguer différentes "sortes" de 0...

[Médiat]

A mon sens l'infini est une limite, et d'ailleurs aleph0 est un ordinal limite.

Oui, mais quand on écrit , l'infini dont il est question est un infini potentiel, alors qu'un cardinal est l'expression d'un infini actuel. D'autre part il existe des ordinaux infinis qui ne sont pas des ordinaux limites.

D'accord, le 0 nombre est aussi un ordinal limite

Certes c'est purement conventionnel, mais habituellement 0 n'est pas considéré comme ordinal limite.

Dans cette approche le 0 nombre pourrait être vu le "zéro limite absolu", car la fonction x --> 0 est plus petite que n'importe quelle fonction positive tendant vers 0... (Question : à quel transfini correspond-il? Rapport avec Burali-Forti?)

Quelque chose me gène dans cette association (germes de fonctions tendant vers 0 et ordinaux/cardinaux transfinis), en effet, si j'ai bien compris, tu considères que la fonction qui tend vers 0 le plus rapidement (la fonction nulle) devrait correspondre au plus grand ordinal, qui n'existe pas, c'est bien le paradoxe de Burali-Forti, mais dans l'autre sens on un un problème "dual" : je vois bien quel est le plus petit ordinal infini, je ne vois pas quelle est la fonction qui tend vers 0 le plus lentement possible, sauf si on inclut (x=0) comme fonction valide (ce qui ne me choque pas, d'ailleurs avec le cadre des germes que j'ai adopté, c'est parfaitement licite) ; mais alors un autre problème pointe son nez (même si on élimine les deux fonctions "limites" (y=0 et x=0) : je ne vois pas à quoi correspondrait pour les ordinaux, la symétrie des germes par rapport à la première diagonale.

[invite6754323456711]

Je dois être dur d'oreille, mais je n'ai toujours pas compris ce qu'était le vide en mathématique (considéré comme différent de l'ensemble vide).

Je vais essayer de reformuler différemment. Pour moi (ma compréhension) "le vide" n'est pas un être mathématique mais un être physique.

Il existe un premier élément (le plus petit ordinal) qui représente l'absence d'élément. C'est un être mathématique qui a une existence en soi et qui n'a nullement besoin du vide physique pour exister et faire sens.

Patrick

[Médiat]

Il existe un premier élément (le plus petit ordinal) qui représente l'absence d'élément. C'est un être mathématique qui a une existence en soi et qui n'a nullement besoin du vide physique pour exister et faire sens.

Ce que tu dis est donc que le vide mathématique n'a rien à voir avec le vide physique : en quoi cette remarque sur le vide ne serait pas applicable à 1, à 2, à un cercle, à un vecteur, etc... Sans compter les difficultés de définition (vide physique par exemple).

[invité576543]

Certes c'est purement conventionnel, mais habituellement 0 n'est pas considéré comme ordinal limite.

HS : Il en respecte souvent la définition, e.g., égal à l'union de ses éléments

Cordialement,

[invité576543]

je vois bien quel est le plus petit ordinal infini, je ne vois pas quelle est la fonction qui tend vers 0 le plus lentement possible

Faudrait que je retrouve ma source (un vieux "tangente sup").

Une question clé est la congruence. Ce n'est peut-être pas f(x)/g(x) tend vers 1, mais f(x)/g(x) tend vers un élément de R^+*.

Ensuite, il doit falloir restreindre les fonctions pour avoir un "début". Le 0 serait la fonction x, le n la fonction xⁿ⁺¹ (1), et le premier ordinal limite "la plus grande" fonction (dans l'ensemble restreint) à tendre vers 0 plus vite que n'importe quel polynôme.

Pas très rigoureux tout cela, faudrait que retrouve la source. Mais à l'époque j'avais été frappé par cette possibilité de rendre la notion de transfini plus "concrète", puisqu'elle devient utile pour parler de ce qui est noté en analyse o(x²) ou O(x²).

Cordialement,

(1) Ou peut-être le 0 pour les fonctions non nulles en 0, 1 pour la fonction x, etc. C'est alors plus clairement en relation avec le développement de Taylor en 0 : deux fonctions congruentes ont le même degré minimal dans le développement, et ce degré est l'ordinal correspondant.