démonstration et vérité

[Bruno0693]

Bonjour,

Dans mon devoir d'épistémologie je dois résoudre la question suivante :

Expliquez pourquoi les rapports entre démonstration et vérité se posent différemment dans le programme de Hilbert et le projet logiciste de Frege et Russel.

Avant même de traiter la question, j'aimerais comprendre le rapport qu'il y a entre démonstration et vérité en logique.

Je sais ce qu'est une démonstration : si l'on veut démontrer A, on part d'une série d'hypothèses que l'on dérive pour parvenir à une conclusion qui est A.

Mais comment définiriez-vous, au sens de la logique et des mathématiques la notion de "vérité" ? Qu'est-ce que, en mathématique, la vérité indépendamment de la démonstration ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[Médiat]

Pour parler de "vérité" en mathématiques, il me semble qu'il faut commencer par distinguer deux "philosophies" différentes des mathématiques :
Le platonisme (les objets mathématiques "existent", on peut donc parler de vérité à leur sujet, mais je laisse un platonicien préciser sa définition).
Le formalisme (qui ne se préoccupent que des énoncés, du coup, vérité devient un mot dangereux (à tel point que personnellement, je me refuse à l'utiliser consciemment, mais il doit m'échapper de temps en temps par la force de l'habitude)).

Il faut aussi distinguer, surtout dans le cadre du formalisme, une théorie et ses modèles (cf. ce mot dans wikipedia ou http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1395351), une recherche sur vérité et Tarski devrait donner des tas de liens intéressants.

Le théorème le plus important de Gödel (selon moi) est le théorème de complétude Gödel pour la logique du premier ordre :
Les énoncés démontrables dans une théorie sont exactement les énoncés "vrais" dans tous les modèles de cette théorie ; autrement dit, dans ce cadre, démonstration et vérité se confondent (à condition d'accepter pour définition de la vérité mathématique : ce qui est vrai dans tous les modèles, et non ce qui est vrai dans un modèle particulier)

[Bruno0693]

Merci beaucoup pour ta réponse et le lien.

Pas très facile pour moi cette notion de modèle car je n'ai jamais eu de cours de logique. Mais bon, j'ai quelques livres d'initiation.

Je voulais te demander pourquoi est-ce qu'il est dangereux de parler de vérité dans le cadre du formalisme ? Je n'ai pas bien compris ce point...

[Médiat]

Je voulais te demander pourquoi est-ce qu'il est dangereux de parler de vérité dans le cadre du formalisme ? Je n'ai pas bien compris ce point...

C'est juste que le mot "vérité" dans la vie courante est une espèce d'absolu (même si c'est par référence à un cadre), alors que même dans une théorie mathématique (ce qui crée un cadre), cela n'a pas de sens pour certains énoncés (appelés indécidables) de dire qu'ils sont vrais ou faux, et si l'on considère plusieurs théories alors il n'y a aucune raison pour que ce qui est "vrai" dans l'une ne soit pas "faux" dans une autre (et encore faut-il que le langage soit suffisamment commun pour la question ait du sens). Le danger est donc d'atribuer au mot "vérité" dans le cadre du formalisme les attributs et connotations qu'il possède dans la vie courante.

Pour prendre un exemple très simple, voici trois énoncés concernant des droites et des points d'un même plan :

1) Par un point extérieur à une droite il passe une et une seule parallèle à cette droite
2) Par un point extérieur à une droite il ne passe aucune parallèle à cette droite
3) Par un point extérieur à une droite il passe une infinité de parallèles à cette droite

La question de savoir laquelle est "vraie" n'a aucun sens, ces trois énoncés sont à la base de trois théories différentes, aucune de ces théories n'étant plus "vraie" que les autres.

Pour un formaliste la question de la "vérité" ne se pose pas, il n'est intéressé que par la consistance (et quelques autres attributs comme la complétude, etc.), c'est à dire la non-contradiction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno0693]

Merci beaucoup pour ces précisions.

Concernant la question que j'ai à traiter,

Expliquez pourquoi les rapports entre démonstration et vérité se posent différemment dans le programme de Hilbert et le projet logiciste de Frege et Russel.

voici quelques idées qui me viennent (j'écris ça comme un brouillon) :

1) Pour le logicisme la notion de vérité ne se pose pas car ce qui importe ce sont les structures logiques et leurs relations. Selon le projet logiciste il n'y a rien en dehors des rapports logiques.

2) Concernant le programme de Hilbert, la notion de vérité a un sens dans la mesure où la métamathématique qu'il propose se pose comme un discours sur la logique, donc extérieur à elle. Il est alors possible de faire entrer, dans ce discours, les notions de vrai et faux.

Qu'est-ce tu en penses ?

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Juste une dernière question, à propos du symbole . Soit F un ensemble de formules et g une formule (qui appartient nécessairement à F ??). Si l'on écrit cela veut dire, si je comprends bien, qu'on a démontré g à partir des formules de F ? C'est-à-dire qu'il existe une suite de formules dont la conclusion est g ?

J' ai essayé de trouver un exemple, en m'inspirant du syllogisme, mais je ne sais pas si c'est correct. Supposons que F soit l'ensemble des formules suivantes : F = {"Tous les hommes sont mortels", "Socrate est un homme", "Socrate est mortel"} et g la formule "Socrate est mortel". Alors on peut écrire car on peut dériver les formules de la façon suivante :

Tous les hommes sont mortels
Or, Socrate est un homme
Donc Socrate est mortel (= g)

Est-ce que c'est "à peu près" ça que veut dire le symbole ?

[Médiat]

Juste une dernière question, à propos du symbole . Soit F un ensemble de formules et g une formule (qui appartient nécessairement à F ??). Si l'on écrit cela veut dire, si je comprends bien, qu'on a démontré g à partir des formules de F ? C'est-à-dire qu'il existe une suite de formules dont la conclusion est g ?

C'est à peu près cela, une façon plus technique de le dire pourrait être : "g appartient à la clôture par inférence de F" (les règles d'inférence sont les règles qui régissent les méthodes de raisonnement (ce qui définit une logique))

J' ai essayé de trouver un exemple, en m'inspirant du syllogisme, mais je ne sais pas si c'est correct. Supposons que F soit l'ensemble des formules suivantes : F = {"Tous les hommes sont mortels", "Socrate est un homme", "Socrate est mortel"} et g la formule "Socrate est mortel".

Trop facile, puisque g est dans F, une autre possibilité :
F = {"Tous les hommes sont mortels", "Socrate est un homme"}
g = "Socrate est mortel"