Le temps et l'espace selon Leibniz

[mariposa]

Je ne l'avais même pas vu

Quelques questions qui me trottent dans la tête depuis tout à l'heure.

Tu disais "Une representation D de dimension n d'un groupe c'est un jeu(un ensemble) de matrices ...". Mais à ce qu'il me semble il n'existe pas que des représentations matricielles, non ? (même en spécifiant la dimension) Ou alors il y aurait forcément un homomorphisme avec une représentation matricielle ? (au moins dans le cas Galilée et Poincaré) (a priori je dirais oui, je veux surtout ton avis, car j'ai vu à plusieurs endroits la construction systématique des représentations de certains groupes et le calcul se faisait uniquement sur les représentations matricielles, dont le super classique groupe des rotations)

Bonjour,

Je n'avais pas vu ta question.

Representation d'un groupe par opérateurs.

Je vais te présenter la chose un peu plus formellement.

Tu as un groupe abstrait G (il est seulement définit par sa table de multiplication) dont les éléments sont notés g.

Représenter linéairement le groupe G dans un espace vectoriel V de dimension n cela veut dire associer un élement g de G à un opérateur D(g) agissant dans V.

cela définit un homomorphisme, cad que la multiplication" dans G est "transposée" dans la multiplication des opérateurs agissant dans V.

On peut écrire:

g1*g2 donne D(g1)*D(g2)

Si e est l'élément neutre on voit que D(e) est l'opérateur unité.

Représentation d'un groupe par matrices.

Tout ceci peut se transformer en matrices n*n en choisissant une base dans V.

Ainsi l'élément g sera représenté par la matrice Di,j (g) de dimension n.

A l'élement neutre e correspond une matrice diagonale de 1 de dimension n

Representations matricielles équivalentes


Si tu fais un changement de base dans V toutes les matrices font changer mais celle-ci représentent le même opérateur. Autrement dit les nouvelles matrices sont équivalentes. C'est donc la même représentation.

Ce qui veut dire qu'une représentation linéaire d'un groupe c'est une application de G sur les automorphismes de V.

Représentations irréductibles

Bien entendu il y a autant de représentations possibles que de dimensions d'espaces vectoriels. Mais à priori ces représentations sont réductibles, cad que moyennant un unique changement de base pertinent on peut d'un seul coup diagonaliser par blocs toutes les matrices de la représentation réductible. Ainsi l'espace V initial se décompose en une somme de sous-espaces invariants:

V = V1 + V2 + ...

Nota: Une représentation irréductible peut-être répétée plusieurs fois.

Il me semble aussi avoir lu qu'un groupe de Lie n'a pas toujours de représentation matricielle (ici on sort du cas Poincaré et Galilée, of course) ? C'était une remarque dans un article sur les "groupes matriciels" (par abus de langage) où ils donnaient la définition exacte des groupes de Lie et le fait que l'approche par matrice ne couvrait pas tout. Mais je n'ai jamais vu d'exemple non matriciel

Les groupe de Lie sont définis dés le départ comme des matrices:

Par exemple le groupe noté SL(n,C)

C'est le groupe des matrices de dimension n à coefficients complexes dont le déterminant = 1

Donc les groupes de Lie sont des groupes de matrices qu'il faut représenter par des matrices de dimension différentes.

Tu connais le groupe O(3) qui est le groupe des transformations qui laissent la sphère invariante (c'est un groupe de Lie).

Les harmoniques sphériques avec l= 0, l= 1, l=2 etc...constituent des espaces vectoriels v de dimension 2.l + 1 qui sont des espaces invariants.

Par exemple les orbitales d cad l=2 sous-tendent un espace vectoriel de dimension 5 qui a chaque rotation de O(3) fait correspondre une matrice de dimension 5.
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[invité576543]

Il me semble aussi avoir lu qu'un groupe de Lie n'a pas toujours de représentation matricielle (ici on sort du cas Poincaré et Galilée, of course) ? C'était une remarque dans un article sur les "groupes matriciels" (par abus de langage) où ils donnaient la définition exacte des groupes de Lie et le fait que l'approche par matrice ne couvrait pas tout. Mais je n'ai jamais vu d'exemple non matriciel

C'est bien ce qu'on lit dans la littérature adaptée. Un exemple est cité dans le Wiki :

# The (3-dimensional) metaplectic group is a double cover of SL2(R) playing an important role in the theory of modular forms. It is a connected Lie group that cannot be faithfully represented by matrices of finite size, i.e., a nonlinear group.

Cordialement,

Me demande pas à quoi cela ressemble

[invité576543]

Mais à ce qu'il me semble il n'existe pas que des représentations matricielles, non ? (même en spécifiant la dimension)

Quand à cela, c'est juste affaire de convention. Certains réservent le mot "représentation" pour "représentation linéaire" (i.e., par des applications linéaires sur un espace vectoriel de dimension finie). D'autres utilisent le mot représentation pour tout groupe agissant sur un ensemble quelconque et image d'un homomorphisme du groupe représenté.

Par exemple, le groupe S₃ a comme représentation linéaire les symétries du triangle équilatéral dans le plan euclidien, et a comme représentation non linéaire (puisque ce ne sont pas des opérateurs sur un espace vectoriel) le groupe des permutations (bijections) de l'ensemble {a, b, c} (qui sont bien des opérateurs agissant sur un ensemble).

Cordialement,

[chaverondier]

Effectivement il n' y a qu'un groupe de Poincaré.

Ou encore (et plus correctement) il n'y a qu'un seul groupe abstrait de Poincaré. Toutefois, dire qu'il n'existe qu'un seul groupe de Poincaré (donc désigner, en fait, par groupe de Poincaré l'ensemble de tous les groupes qui "lui" sont isomorphes) est un abus de langage tout à fait conforme aux usages de la littérature mathématique (abus de langage que j'utilise, moi aussi, dans tous les contextes où il n'est pas génant).

Pour être honnête il ne s'agit pas d'une erreur mais d'une absolue ignorance de ce que veux dire représentation d'un groupe.

Je reconnais bien là ta nature conciliante .

Prenons un cas particulier fréquent de représentation d'un groupe : une action de groupe sur une variété différentielle (c'est à dire un homomorphisme du groupe en question vers le groupe des difféomorphismes de cette variété). Un même groupe, par exemple un groupe de Poincaré (le groupe de Poincaré dans l'abus de langage usuel) peut avoir plusieurs représentations dans une même variété et, bien sûr, chaque image du groupe dans cette famille de représentations est un groupe différent (au sens de la double inclusion qui définit la notion d'égalité en mathématiques).

Dans le cas qui nous occupe, une suite de groupes images d'un même groupe de Poincaré (dans des représentations de ce groupe agissant linéairement sur IR^4, par exemple, associées à diverses valeurs de c) telle que la suite de leurs cônes de causalité associés soit convergente (suite des cônes de futur croissante en chaque point de l'espace-temps par exemple) tendent, quand c tend vers +00, vers un groupe qui est un groupe de Galilée (1)

Dans ce passage à la limite

• les (hyper)cônes de causalité relativiste tendent vers des hyperplans de simultanéité universelle
• les transformations de LORENTZ tendent vers des changements de systèmes de coordonnées classiques
• la composition des vitesses redevient additive
• l'énergie cinétique de translation et l'énergie cinétique de rotation redeviennent additives (et le centre de gravité d'un objet en mouvement accéléré redevient indépendant du référentiel inertiel d'observation)
• la longueur des objets et la durée séparant deux évènements redeviennent indépendantes du référentiel inertiel d'observation
• les solides accélérés indéformables redeviennent compatibles avec la géométrie de l'espace-temps
• la masse redevient (en tant que classe de cohomologie du groupe de Galilée) une notion distincte de la notion d'énergie, etc, etc

(1) le groupe de Galilée si par "le" groupe on désigne en fait, comme c'est l'usage quand cela ne pose pas de problème, l'ensemble de tous les groupes qui "lui" sont isomorphes. Quand on veut éliminer l'ambiguïté de cet abus de langage on parle de groupe abstrait.

[invite6754323456711]

Ou encore (et plus correctement) il n'y a qu'un seul groupe abstrait de Poincaré. Toutefois, dire qu'il n'existe qu'un seul groupe de Poincaré (donc désigner, en fait, par groupe de Poincaré l'ensemble de tous les groupes qui "lui" sont isomorphes) est un abus de langage tout à fait conforme aux usages de la littérature mathématique (abus de langage que j'utilise, moi aussi, dans tous les contextes où il n'est pas génant).

Afin d'éclairer les lecteurs non averti, auquel je fais parti, sur l'usage de la notion de groupe et d'action de groupe sur un ensemble en physique. Ce qui m'interpelle est la notion de groupe abstrait. Déjà que la notion de groupe est suffisamment abstraite alors plus abstrait que abstrait n'est ce pas vouloir laver plus blanc que blanc (Humour) ?

Peut on à partir d'une description fonctionnelle de ces concepts l'appliquer sur l'exemple de la RR ?

La description fonctionnelle que je connais est issu du cours http://www.math.polytechnique.fr/~renard/Groupes.pdf

Les notions de groupe et d'action de groupe y sont me semble-t'il bien décrite et montre clairement leur différence. Voir par exemple les diagrammes commutatifs qui exprime visuellment les propriétés des applications μ et sans faire référence aux éléments du groupe G et de l'ensemble X.

Exprime l’associativité de la loi μ, du groupe G



est une retraduction du fait que a est une action.



Les transformations de Lorentz sont des applications linéaire et deux applications ne se différencient-elles pas par le rapport v/c ?

L'ensemble de ces transformations muni de la loi de composition constitue un groupe (celui de Lorentz ) et elles agissent sur l'espace de Minkowski.

C'est quoi dans ce cadre un groupe abstrait ?


Patrick

[invité576543]

Afin d'éclairer les lecteurs non averti, auquel je fais parti, sur l'usage de la notion de groupe et d'action de groupe sur un ensemble en physique. Ce qui m'interpelle est la notion de groupe abstrait. Déjà que la notion de groupe est suffisamment abstraite alors plus abstrait que abstrait n'est ce pas vouloir laver plus blanc que blanc (Humour) ?

C'est pourtant le même type d'abstraction qui permet de parler de nombre entier. Les nombres abstraits c'est deux, trois, douze... L'action c'est la relation entre le concept de "banane" et "trois bananes".

La définition abstraite de N se fait par les relations entre les nombres, indépendamment à l'application aux bananes ou aux melons. De même, un groupe abstrait est défini uniquement par les relations entre ses membres, indépendamment de toute opération sur un ensemble autre...

C'est quoi dans ce cadre un groupe abstrait ?

C'est le groupe dont tu parles en "oubliant" l'action, et en ne prenant en compte que les relations entre les éléments. C'est le même passage qu'entre "trois cailloux" et "trois" dans le calcul (mot de la même racine que "cailloux"...)

Autrement dit, un groupe abstrait donné est unique à isomorphisme près. Un groupe d'opérations n'est pas "le même" qu'un autre groupe d'opérations qui lui est isomorphe (il y aurait contradiction avec "autre"), de même que "trois" est unique comme nombre, mais trois bananes n'est pas la même chose que trois melons, même s'il y a isomorphisme (d'ensemble) entre les deux.

Cordialement,

[invite6754323456711]

C'est le groupe dont tu parles en "oubliant" l'action,

Toute action de groupe n'est pas forcément un groupe ? Voir même une action de groupe peut elle être un groupe ?

Le groupe de Galilée ne peut il être vue comme un sous-groupe du groupe de Lorentz. Les TL qui vérifient une propriété particulière en relation avec le rapport v/c ? un peu comme la géométrie différentielle s’obtient en choisissant un sous groupe G du groupe des homéomorphismes ou on exige que tout élément de G soit différentiable ?

Patrick

[invité576543]

Toute action de groupe n'est pas forcément un groupe ? Voir même une action de groupe peut elle être un groupe ?

Tout tas de banane n'est-il forcément un nombre de bananes?

Le groupe de Galilée ne peut il être vue comme un sous-groupe du groupe de Lorentz.

Non, en aucun cas. Il n'y a pas de sous-groupe du groupe de Lorentz qui soit isomorphe au groupe de Galilée.

Par contre il y des sous-groupes du groupe de Lorentz qui sont isomorphes au groupe d'Aristote, peut-être ce dont tu parlais.

Au point de vue terminologie, il y a une sorte d'abus de langage qui confond le groupe d'opérateurs et le groupe abstrait pour des groupes comme Lorentz, Galilée, Poincaré,... Pas grave, parce qu'il n'y a pas d'autres applications pratiques d'usage courant du groupe de Lorentz que la RR, par exemple.

C'est déjà nettement plus dangereux quand on parle du groupe abstrait du cercle (le groupe de Lie abstrait homéomorphe au cercle). Il y a différentes notations pour différentes "manifestations" de ce groupe, dénotant souvent un ensemble d'opérateurs (formule extraite du Wiki):



Je ne sais d'ailleurs pas quel est le nom officiel du groupe abstrait lui-même, peut-être T ?

Par ailleurs, il faut se méfier (mieux, éviter totalement) de dire qu'un groupe abstrait peut être "vu comme le sous-groupe d'un autre groupe abstrait". Vaut mieux dire "tel groupe abstrait est isomorphe à un sous-groupe de tel autre groupe abstrait". Dans certains cas, rares, ce n'est pas ambigu (exemple A5 sous-groupe de S5), mais souvent il y a plusieurs sous-groupes isomorphes, et cela ne colle pas avec la notion de groupe abstrait...

Les TL qui vérifient une propriété particulière en relation avec le rapport v/c ? un peu comme la géométrie différentielle s’obtient en choisissant un sous groupe G du groupe des homéomorphismes ou on exige que tout élément de G soit différentiable ?

C'est encore plus simple. Le groupe de Lorentz est défini comme le sous-groupe des applications linéaires 4D, composé de celles qui conservent la pseudo-métrique. Comme les isométries (ponctuelles, sur l'e.v.) sont les linéaires qui conservent la métrique euclidienne...

[chaverondier]

Il n'y a pas de sous-groupe du groupe de Lorentz qui soit isomorphe au groupe de Galilée.

Exact

Par contre il y des sous-groupes du groupe de Lorentz qui sont isomorphes au groupe d'Aristote

Non.

• Il y a des sous-groupes du groupe de Lorentz qui sont isomorphes au groupe des rotations,
• il y a des sous-groupes du groupe de Poincaré qui sont des groupes d'Aristote,
• il y a des sous-groupes du groupe de Galilée qui sont des groupes d'Aristote,

Par ailleurs :

• pour un groupe de Galilée donné, sous-groupe du groupe affine agissant sur une variété 4D V difféomorphe à IR^4
• pour un groupe de Poincaré donné, sous-groupe de ce même groupe affine
• l'intersection de ces deux groupes est un groupe d'Aristote.

Il s'agit de l'unique sous-groupe d'Aristote du groupe de Poincaré dont le référentiel d'Aristote associé possède des hyperplans 3D de simultanéité identiques à ceux associés au groupe de Galilée.

A noter qu'une fois donné un sous-groupe d'Aristote particulier du groupe affine agissant sur une variété 4D difféomorphe à IR^4

• il existe un seul groupe de Poincaré prolongeant ce groupe d'Aristote
• il existe un seul groupe de Galilée prolongeant ce même groupe d'Aristote

Au contraire, dans un groupe de Poincaré donné, il existe un tas de groupes d'Aristote qui en sont des sous-groupes (alors que, bien sûr, il existe un seul groupe d'Aristote abstrait)

Nota : les symétries exigées par le groupe d'Aristote sont compatibles avec tout phénomène respectant l'invariance vis à vis des actions du groupe de Poincaré (Aristote est moins exigeant que Poincaré ). Les symétries exigées par le groupe d'Aristote sont donc contenues, bien sûr, dans celles que respectent les équations de Maxwell.

Au contraire, les symétries exigées par le groupe de Galilée (et donc l'espace-temps de Galilée, avec son invariance des longueurs et durées associées à un phénomène physique donné lors d'un changement de référentiel inertiel de l'observateur seulement) sont incompatibles avec le résultat de l'expérience de Morley Michelson (à l'époque où cette expérience a été menée, ce résultat était prédictible car le respect de l'invariance de Lorentz par les équations de Maxwell était déjà connu. Ce respect est incompatible avec celui des symétries exigées par le groupe de Galilée)

Toute action de groupe n'est pas forcément un groupe ?

En toute rigueur, une action de groupe (sur une variété différentielle par exemple) n'est pas un groupe, mais un isomorphisme allant d'un groupe donné vers un sous-groupe du groupe des difféomorphismes agissant sur cette variété.

[invite6754323456711]

Tout tas de banane n'est-il forcément un nombre de bananes?

Non. J'avais admis que groupe et action de groupe sont deux êtres mathématiques distincts.

Mais la donnée d’une action a d’un groupe G sur un ensemble X est équivalente à la donnée d’un morphisme de groupes.

A : G --> Aut(X).
On passe de a à A et réciproquement par
A(g)(x) = a(g, x), (x appartient à X), (g appartient à G).

Pour Aut(X) l’ensemble des bijections de X dans lui-même. Cet ensemble peut être muni de la loi de composition des applications qui le muni d’une structure de groupe.

De plus nous disposons aussi d’une application canonique qui définit une action du groupe Aut(X) sur X:

a : Aut(X) × X --> X ; (g, x) --> a(g, x) = g (x).


Patrick

[invite6754323456711]

Non. J'avais admis que groupe et action de groupe sont deux êtres mathématiques distincts.

Mais la donnée d’une action a d’un groupe G sur un ensemble X est équivalente à la donnée d’un morphisme de groupes.

A : G --> Aut(X).
On passe de a à A et réciproquement par
A(g)(x) = a(g, x), (x appartient à X), (g appartient à G).

Pour Aut(X) l’ensemble des bijections de X dans lui-même. Cet ensemble peut être muni de la loi de composition des applications qui le muni d’une structure de groupe.

De plus nous disposons aussi d’une application canonique qui définit une action du groupe Aut(X) sur X:

a : Aut(X) × X --> X ; (g, x) --> a(g, x) = g (x).


Patrick

B. Chaverondier vient de répondre à mon interrogation

En toute rigueur, une action de groupe (sur une variété différentielle par exemple) n'est pas un groupe, mais un isomorphisme allant d'un groupe donné vers un sous-groupe du groupe des difféomorphismes agissant sur cette variété.

Patrick

[invité576543]

Non.

Désolé , j'ai effectivement écrit Lorentz là où je pensais Poincaré...

Cordialement,

[mariposa]

Nota : les symétries exigées par le groupe d'Aristote sont compatibles avec tout phénomène respectant l'invariance vis à vis des actions du groupe de Poincaré (Aristote est moins exigeant que Poincaré ). Les symétries exigées par le groupe d'Aristote sont donc contenues, bien sûr, dans celles que respectent les équations de Maxwell.

Bonjour Bernard

Ce que dit là est juste mais c'est le contraire de l 'usage des groupes en physique qui consiste à trouver le plus gros groupe qui englobe un ensemble de phénomènes physiques.


La question théorique relatif au groupe de Poincaré P, ce n'est pas d'énumerer tous les sous-groupes de P dont font partie ton bien aimé groupe d'Aristote, mais de trouver un groupe X plus gros que Poincaré de sorte que Poincaré devienne un sous-groupe de X.

A-t 'on trouver un groupe X?

A priori le modèle standard nous ouvre une piste. En effet il y a 2 groupes qui opèrent chacun de leurs cotés dans un espace de champs:


1-Le groupe de Poincaré.

2- Un produit de groupes de jauge.

Le groupe de Poincaré est de nature géométrique par contre même si les groupes de jauge ne sont pas de nature géométrique ils opérent sur des champs de spin 1/2 et de spin 1 qui eux sont d'essence géométriques. On s'est donc posé la question du comment "mélanger" ces 2 groupes en formant une unique algébre de Lie. Ce qui revient à donner une valeur non nulle au commutateur entre un générateur de P et un générateur d'un groupe de jauge.


La réponse a été: cela est impossible.

Une solution a été trouvée, non pas en termes d'algébres de Lie mais une extension dans une algébre où se trouve un "mélange" de commutateurs et d 'anticommutateurs. C'est ce que l'on appelle les algébre supersymétriques à la base des théories supersymétriques.

Et le coup est réussi. En effet une action supersymétrique transforme un boson en fermion (et le contraire pour l'opérateur conjugué), mais le produit de 2 opérations de supersymétries donne une translation spatio-temporelle cad une opération du sous-groupe qui est Poincaré.

Pour rester sur la démarche précédente on a tenté de trouver un sur-groupe du groupe du modèle standard. SU(5) est tout à fait sympathique, mais prédit une durée de vie du proton non observée (donc ce groupe est mi de coté).

Il existe des milliers d'exemple qui ne relèvent pas de la grande physique alors j'en prend un autre bien connu.

O(3) est un groupe de symétrie de l'atome d'hydrogène, mais il y a beaucoup mieux c'est O(4). Cela est du à la forme particulière du potentiel en 1/r de l'atome d'hydrogène.

En toute rigueur, une action de groupe (sur une variété différentielle par exemple) n'est pas un groupe, mais un isomorphisme allant d'un groupe donné vers un sous-groupe du groupe des difféomorphismes agissant sur cette variété.

Par définition une action de groupe c'est un groupe G qui agit sur un ensemble E. le fait qu'il agisse sur E ne change rien au fait que c'est un groupe.

Donc en toute rigueur une action de groupe c'est...... un groupe.

[chaverondier]

Ce que dit là est juste mais c'est le contraire de l 'usage des groupes en physique

du moins quand il s'agit d'un objectif d'unification les interactions physiques dans un unique modèle mathématique...
...mais la raison de mon introduction du groupe d'ARISTOTE est beaucoup, beaucoup moins ambitieuse. Elle signale juste la possibilité de faire rentrer une interprétation réaliste de la violation des inégalités de BELL par la mesure quantique dans le cadre géométrique d'un espace-temps doté de pas mal de symétries (à condition de ne pas exagérer). Le plus gros groupe de symétries (et l'espace-temps doté de la géométrie qu'il lui confère) restant compatible avec une interprétation réaliste de la mesure quantique, c'est le groupe d'ARISTOTE.

Par définition une action de groupe c'est un groupe G qui agit sur un ensemble E

Non, ça c'est l'image de l'action de groupe et non pas l'action de groupe elle-même. A titre d'exemple, dans le cas où cette action est la représentation d'un groupe dans une variété différentielle V, cette action est une isométrie d'un groupe dans un sous-groupe du groupe Diff(V) des difféomorphismes agissant sur V (et non le sous-groupe de Diff(V) lui-même).

[chaverondier]

Oups !

est une isométrie.

Est un isomorphisme. Le lecteur attentif aura corrigé de lui-même comme on dit.

[mariposa]

du moins quand il s'agit d'un objectif d'unification les interactions physiques dans un unique modèle mathématique...
...mais la raison de mon introduction du groupe d'ARISTOTE est beaucoup, beaucoup moins ambitieuse. Elle signale juste la possibilité de faire rentrer une interprétation réaliste de la violation des inégalités de BELL par la mesure quantique dans le cadre géométrique d'un espace-temps doté de pas mal de symétries (à condition de ne pas exagérer). Le plus gros groupe de symétries (et l'espace-temps doté de la géométrie qu'il lui confère) restant compatible avec une interprétation réaliste de la mesure quantique, c'est le groupe d'ARISTOTE.

Un plus gros groupe c'est un sur-groupe et non un sous-groupe comme ton groupe d'Aristote. C'est pourquoi il ne sert à rien.

Non, ça c'est l'image de l'action de groupe et non pas l'action de groupe elle-même. A titre d'exemple, dans le cas où cette action est la représentation d'un groupe dans une variété différentielle V, cette action est une isométrie d'un groupe dans un sous-groupe du groupe Diff(V) des difféomorphismes agissant sur V (et non le sous-groupe de Diff(V) lui-même).

Je ne suis pas du tout un pinailleur de mathématiques mais quand même:

Soit un couple (G,E)

g.e1 = e2

veut dire que g agit sur e1 et donne e2

Cela n'empêche pas que le produit des éléments de groupe G sont définis indépendamment de leurs actions. C'est aussi simple que çà

[invite6754323456711]

Bonjour,

Pourtant les mathématiques sont bien un domaine pour lequel l'ambiguïté ne fait pas loi.

La définition, à moins que cela ait changé , d'un groupe G c'est un ensemble muni d'une loi (μ), de composition interne, appelé aussi produit du groupe

la loi μ : G x G --> G, (g,h) --> μ (g,h)
et vérifiant l'associativité, quels que soient g,h,k dans G
μ (μ (g,h),k) = μ (g, μ(h,k))

l'existence d'un élément neutre e tel que pour tout g appartenant à G, μ (g,e) = μ (e,g) = g

et tout élément a un symétrique. Quelque soit g appartenant à G, il existe un élément de G noté g^-1 tel que μ (g,g^-1) = μ (g^-1,g) = e

Concernant l'action de groupe :


De plus

La donnée d’une action a d’un groupe G sur un ensemble X est équivalente à la donnée d’un morphisme de groupes.

A : G --> Aut(X).
On passe de a à A et réciproquement par
A(g)(x) = a(g, x), (x appartient à X), (g appartient à G).

Patrick

[mariposa]

Bonjour,

Pourtant les mathématiques sont bien un domaine pour lequel l'ambiguïté ne fait pas loi.

Absolument.

La définition, à moins que cela ait changé , d'un groupe G c'est un ensemble muni d'une loi (μ), de composition interne, appelé aussi produit du groupe

la loi μ : G x G --> G, (g,h) --> μ (g,h)
et vérifiant l'associativité, quels que soient g,h,k dans G
μ (μ (g,h),k) = μ (g, μ(h,k))

l'existence d'un élément neutre e tel que pour tout g appartenant à G, μ (g,e) = μ (e,g) = g

et tout élément a un symétrique. Quelque soit g appartenant à G, il existe un élément de G noté g^-1 tel que μ (g,g^-1) = μ (g^-1,g) = e

Concernant l'action de groupe :


Patrick

Parfait. Rien à redire.

[chaverondier]

Un plus gros groupe c'est un sur-groupe et non un sous-groupe comme ton groupe d'Aristote. C'est pourquoi il ne sert à rien....

...Du moins si, par goût personnel, on considère le problème de la mesure quantique comme sans intérêt ou encore si on juge sans intérêt (toujours par goût ou encore pour tout un tas de raisons qu'on juge bonnes ce qui revient au même) de fournir un cadre géométrique avec lequel une interprétation réaliste de la non localité quantique soit compatible (le sur-groupe du groupe d'ARISTOTE que constitue le groupe de POINCARE est trop gros pour être compatible avec l'interprétation réaliste de la mesure quantique).

Je ne suis pas du tout un pinailleur de mathématiques mais quand même:
Soit un couple (G,E)
g.e1 = e2
veut dire que g agit sur e1 et donne e2

Ou, plus précisément, puisqu'on pinaille (et que notre "désaccord" ( ) sur la définition de ce qu'est une action de groupe se situe au niveau pinaillage) :
Soit un couple (G,E) et une action A du groupe G sur E
g.e1 = e2
veut dire (implicitement) que
A(g) (et non g) agit sur e1 et donne e2

G est un groupe
A(G) est aussi un groupe

A(G) est en effet :

• un sous groupe du groupe des permutations de E dans le cas général,
• un sous groupe du groupe des homéomorphismes de E quand E un espace topologique,
• un sous-groupe du groupe des difféomorphismes quand E une variété différentielle, etc, etc

L'action de groupe A est, quant-à elle, un homomorphisme du groupe G vers le groupe A(G)

Cela n'empêche pas que le produit des éléments du groupe G sont définis indépendamment de leurs actions. C'est aussi simple que ça.

[invite9cd736bc]

Le temps c'est l'espace qui sépare 2 pensées.

[invite6754323456711]

Le temps c'est l'espace qui sépare 2 pensées.

Ou : le temps propre c'est ce qui ordonne deux pensées ou l'inverse.

Patrick

[invite9cd736bc]

Ou : le temps propre c'est ce qui ordonne deux pensées ou l'inverse.

Patrick

Ta version est plus complexe, elle implique déjà l'irréversibilité de la flèche du temps .

Bonne journée,

[jperrette]

Bonjour a tous,

Mais maigres connaissances mathématiques et physiques ne me permettent pas de comprendre les formules énoncer par les divers intervenants.
Mais d'après mes maigres lecture , il me semble que dans l'espace temps de Leibnitz un mètre mesure il y a 1 million d'année peut être différent d'un mètre mesuré actuellement (bien sure avec la définition actuel du mètre en fonction de c) et que pour Kant un mètre serait invariant car fonction d'une formule de mécanique physique.

Personnellement je penche du coté de Leibnitz.

[Franc84]

Bonjour ! J'ai entendu dans l'enregistrement d'une conférence (d'Étienne Klein je crois) que Leibniz s'oppose à Kant dans sa conception du temps et de l'espace dans ce sens où pour lui ils n'existent qu'en tant que relations entre les choses (tandis que pour Kant ils existeraient même s'il n'y avait rien dans l'Univers). C'est un peu cette conception que reprendrait Rovelli (entre autres) dans la LQG. Mais quelqu'un aurait-il des informations plus détaillées sur la conception "leibnizienne" du temps et de l'espace, et si possible saurait dans la(les)quelle(s) de ses œuvres il présente cette conception ?
Merci d'avance pour votre aide !

Si l'espace n'existe qu'en tant que relations entre les choses.

Il faut dire que d'une part avant le big bang il y a eu une ère inflatoire permise par la répulsion, avant de pouvoir avoir des corps qui poursuivent leur trajectoire propre grâce à l'inertie. Il ne peut en effet sans doute pas avoir d'inertie si il n'y a pas un espace ayant des propriétés.

D'autre part pour qu'il y ait, pour un corps en mouvement, une trajectoire il faut un lien à l'espace qui soit constant. Si les relations entre les choses ne se font pas seulement par contact mais aussi a distance (si il n'y a plus de contact entre les corps), il faut que ces liens a distance soient instantanés. Que des liens instantanés existent entre les corps n'est pas forcément contradictoire avec la limite de la vitesse de la lumière, car dans ce cas la il n'y a pas d'information qui doit être véhiculée