la logique au lycée

[Matmat]

Pour le premier exemple, j'étais "choqué" par l'usage du terme "contraire" que la logique ancienne distinguait de la "contradition". Mais cette distinction aristotélicienne n'a pas été reprise en logique mathématique (ce que je viens d'apprendre) et je suivrais volontiers Ansett qui propose qu'on substitue avantageusement le terme "négation" à celui de "contraire", ce qui évite les ambiguïtés.

Vous voulez dire que dans la logique aristotélicienne le terme "contraire" était bel et bien un terme logique ?
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[Médiat]

Vous voulez dire que dans la logique aristotélicienne le terme "contraire" était bel et bien un terme logique ?

Oui, voir, par exemple le "carré des oppositions"

[invite51d17075]

@Karlp

Comme tous les (mathématiciens) logiciens

ben oui, remettons l'église au milieu du village, ce n'est pas du tout sorti tout seul de ma boiboite craniènne.
c'est juste comme ça que j'ai appris ( grace aux autres )à faire un peu de logique !

[karlp]

Vous voulez dire que dans la logique aristotélicienne le terme "contraire" était bel et bien un terme logique ?

Oui, comme le rappelle justement Médiat, vous pouvez consulter le "carré logique" (qui indique également la subalterne et la subcontraire en plus de la contradictoire et de la contraire): la proposition contraire de " Tout x P(x)" est "Tout x non P(x)".

Ces concepts permettaient d'"étiqueter" chaque type de proposition d'une lettre (A,E,I,O).
Par exemple l'universelle affirmative est une A

Cet étiquetage était nécessaire pour ensuite dresser la liste des syllogismes autorisés. Ceux ci pouvaient l'être sous la forme de prénoms: par exemple (le plus connu) BARBARA

Ce prénom contient trois A: cela signifie que le syllogisme comportant deux prémisses et une conclusion ayant la forme d'universelles affirmatives est autorisé (de mémoire il y avait aussi DARAPTI, FELAPTON; mais j'ai oublié les autres)

[invite9dcc7bec]

Petit complément tardif :

Toutes les relations de la syllogistique trouvent leurs équivalents dans la logique du premier ordre.

En l'occurence, la relation de 'contraire' correspond à l'incompatibilité/exclusion (auquel correspond le connecteur de Sheffer, généralement représenté par la barre | ) qui est la négation de la conjonction. L'incompatibilité a la propriété remarquable de former un ensemble adéquat ou fonctionnellement complet de connecteur, c'est à dire que tout les autres connecteurs sont définissables à partir de lui seul (c'est également vrai du rejet, qui est la négation de la disjonction). φ|ψ se lit souvent « φ exclut ψ ».

La relation de 'contradiction' de l'ancienne syllogistique correspond quant à elle à la disjonction exclusive.

Pourquoi ces connecteurs ne sont guère plus utilisés aujourd'hui (au détriment de la conjonction, de la disjonction (inclusive), de l'implication, et de la négation qui forment les 4 "connecteurs usuels") ?

Pour ce qui est de l'incompatibilité, elle est lourde à manier si on s'autorise son seul usage. Et elle s'exprime aisément avec les connecteurs usuels (négation de la conjonction).

Pour ce qui est de la disjonction exclusive, elle a laissé la place à la disjonction inclusive qui a le mérite d'être "symétrique" à la conjonction (lois de Morgan en particulier).

De manière plus fondamental, il existe 16 connecteurs binaires et parmi eux n'importe quelle combinaison de 3 des 4 connecteurs usuels forment un ensemble adéquat/fonctionnellement complet. L'incompatibilité, la disjonction exclusive, et le rejet font ainsi office de décoration (sans parler des connecteurs triviaux comme l'affirmation et les connecteurs binaires ayant même valeur de vérité qu'une seule des deux propositions connectées).

[Médiat]

Pour information : il est courant en logique mathématique de faire des démonstrations par récurrence sur la complexité de la formule, la façon la plus économique serait de faire cette récurrence uniquement sur la barre de Sheffer, mais dans la pratique je ne l'ai jamais vu, au profit de la négation et de [soit le "ou", soit le "et"].