la logique au lycée

[karlp]

Bonjour à tous

Un ami( qui enseigne les maths au lycée) m'a montré une page d'un manuel de mathématiques dans lequel on peut lire:

"Le contraire de la proposition "toutes les fenêtres sont fermées" est la proposition "il existe une fenêtre (au moins) d'ouverte"" (1)

Sauf erreur de ma part, ces deux propositions ne sont pas "contraires" mais "contradictoires".

Juste en dessous, on peut lire:

"Le contraire de la proposition "tous les carrés sont des losanges" est la proposition "il existe des losanges qui ne sont pas carrés"" (2)

Je ne vois pas du tout en quoi il y aurait contrariété puisque la deuxième proposition est déductible de la première si on ajoute la prémisse posant que l'ensemble des carré n'est pas identique à l'ensemble des losanges.

(Pour rappel: le carré logique est consultable ici:http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_logique )

Il me semble bien que pour la proposition contraire de la proposition "toutes les fenêtres sont fermées" est: "aucune fenêtre n'est fermée"; tandis que la proposition contraire de "tous les carrés sont des losanges" est "aucun carré n'est losange"

[Je vous avoue être stupéfait (de trouver ça dans un manuel pour lycéen) au point de préferer douter de mes connaissances en logique plutôt que d'un ouvrage censé servir à la formation de nos enfants. ]
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[erik]

"Le contraire de la proposition "tous les carrés sont des losanges" est la proposition "il existe des losanges qui ne sont pas carrés"" (2)

Pour la phrase (1) il suffirait d'utiliser le mot négation (bien défini en logique) à la place du confusant "contraire" pour que l'énoncé soit exact.
J'imagine la confusion des pauvres élèves devant ça.

C'est quel éditeur pour quelle classe ?

[inviteea028771]

Oui, l'utilisation du mot contraire à la place de négation est malhabile (surtout dans un manuel scolaire)

Reste que, intuitivement, si A est vrai, alors le contraire de A est faux et si A est faux alors le contraire de A est vrai, ça correspond donc naturellement à la négation en logique.

[karlp]

Pour la phrase (1) il suffirait d'utiliser le mot négation (bien défini en logique) à la place du confusant "contraire" pour que l'énoncé soit exact.
J'imagine la confusion des pauvres élèves devant ça.

C'est quel éditeur pour quelle classe ?

J'ignore pour quelle classe (l'ami en question m'a donné une photocopie) et j'ignore l'éditeur. Quand bien même ce serait le cas, je crois que je n'ai pas le droit (?) de discréditer publiquement un éditeur (détrompez moi si nécessaire)

[A voir en vidéo sur Futura]

[karlp]

Oui, l'utilisation du mot contraire à la place de négation est malhabile (surtout dans un manuel scolaire)

Reste que, intuitivement, si A est vrai, alors le contraire de A est faux et si A est faux alors le contraire de A est vrai, ça correspond donc naturellement à la négation en logique.

C'est plus que malhabile: c'est faux !

Mais vous avez raison, dans le premier exemple l'auteur aurait pu utiliser "négation" (ou mieux : "contradiction")
Mais qu'en est-il du deuxième exemple ?? Les enfants ne vont rien comprendre et on va exiger d'eux qu'ils apprennent des choses fausses (dans le même registre,j'ai rencontré des jeunes gens qui étudiaient dans le supérieur et qui continuent de croire que "les chiffres c'est de 0 à 9, et après sont les nombres": ils ne comprenaient pas que le chiffre est le symbole et le nombre, l'objet représenté par le symbole. On leur fait apprendre des choses illogiques et ils finissent par ne plus comprendre ce qui l'est)


Ce qui m'inquiète c'est le devenir de ces enfants lorsqu'il vont aborder les mathématiques supérieures. S'il y a bien un domaine où le flou "poétique" doit être évité, je crois que c'est bien celui là.

[mh34]

Oh, ça ne m'étonne pas plus que ça ; il y a des erreurs dans tous les manuels, à mon avis ( j'en ai personnellement relevé plus d'une sur le manuel de SVT d'un de mes fils, et je m'étais déplacée pour les signaler à l'enseignant, qui ne les avait pas remarquées, mais à sa décharge c'était quand même très spécialisé, comme domaine...).
Il ne reste plus qu'à espérer que l'enseignant se servant de ce livre de maths aura rectifié.

[Bruno]

"les chiffres c'est de 0 à 9, et après sont les nombres": ils ne comprenaient pas que le chiffre est le symbole et le nombre, l'objet représenté par le symbole

Je ne vois pas le problème ni la contradiction entre les deux approches. Les formulations naïves ont l'avantage d'être rapidement assimilées quitte à préciser les choses plus tard. Le 100% rigoureux et abstrait, c'est ce qui a tué l'enseignement des maths et qui conduit à des idées répandues comme "les maths ne sont pas une science".

[invite51d17075]

oui en général on utilise le mot négation d'une proposition.
même dans les simplifications d'écriture, on ecrit nonA et pas contraire à A.
nonA signifie que la proposition A n'est pas satisfaite.

quand à la phrase 2), elle est simplement fausse quelque soit sa terminologie.

[invite4492c379]

Hello,

à mon avis tu peux «balancer» voire même le signaler à l'éditeur pour qu'il puisse s'améliorer ... ou expliquer son point de vue pour nous éclairer.
En ce qui me concerne si tu me donnes la proposition «toutes les fenêtres sont fermées»
je dirais que le contraire est «une fenêtre est ouverte» ou «deux fenêtres sont ouvertes» ou ... ou «n-1 fenêtres sont ouvertes» (un peu comme en proba) ce qui signifie «au moins une fenêtre est ouverte»
et que la négation est «il existe une fenêtre qui n'est pas fermée»

la seule «différence» que je perçois est que dans le premier cas on s'intéresse à tous les cas (comme pour calculer une proba) alors que dans le second on ne se focalise que sur l'existence d'un cas (un cas particulier est suffisant pour ce que l'on veut en faire). Mais là je pinaille ....

[karlp]

Oh, ça ne m'étonne pas plus que ça ; il y a des erreurs dans tous les manuels, à mon avis ( j'en ai personnellement relevé plus d'une sur le manuel de SVT d'un de mes fils, et je m'étais déplacée pour les signaler à l'enseignant, qui ne les avait pas remarquées, mais à sa décharge c'était quand même très spécialisé, comme domaine...).
Il ne reste plus qu'à espérer que l'enseignant se servant de ce livre de maths aura rectifié.

L'ami en question n'avait vu qu'une des erreurs sur les deux et s'était adressé à moi parce qu'il ne savait comment rectifier (je suis resté prudent, je vous avoue avoir douté de moi).

[hs personnel :moi aussi je trouve qu'il y a un petit problème avec la liberté selon Spinoza]

[karlp]

oui en général on utilise le mot négation d'une proposition.
même dans les simplifications d'écriture, on ecrit nonA et pas contraire à A.
nonA signifie que la proposition A n'est pas satisfaite.

quand à la phrase 2), elle est simplement fausse quelque soit sa terminologie.

Vous me rassurez cher Ansett !!

[karlp]

Je ne vois pas le problème ni la contradiction entre les deux approches. Les formulations naïves ont l'avantage d'être rapidement assimilées quitte à préciser les choses plus tard. Le 100% rigoureux et abstrait, c'est ce qui a tué l'enseignement des maths et qui conduit à des idées répandues comme "les maths ne sont pas une science".

Je ne serais pas catégorique dans ma réponse, mais je ne vois pas pourquoi on apprendrait pas tout de suite que les chiffres sont les symboles et les nombres, les objets: c'est logique et ce n'est pas difficile (c'est ce que j'ai appris à un enfant de 8 ans qui n'y a pas vu la moindre difficulté). En revanche je vous assure que les jeunes gens (en école d'ingénieur pourtant) avaient du mal a revenir sur ce qu'on leur avait toujours dit. (dans le même ordre d'idées le même ami me disait qu'on n' apprenait plus ce que signifiait "commutativité", "associativité" etc...alors que le même enfant de 8 ans avait assimilé le terme "commutativité" sans difficulté. Et je vous assure que cet enfant est tout sauf précoce -il souffre d'ataxie cérebelleuse).

Il ya sans doute un juste milieu entre l'excès d'abstraction et le flou artistique.

[karlp]

Hello,

à mon avis tu peux «balancer» voire même le signaler à l'éditeur pour qu'il puisse s'améliorer ... ou expliquer son point de vue pour nous éclairer.
En ce qui me concerne si tu me donnes la proposition «toutes les fenêtres sont fermées»
je dirais que le contraire est «une fenêtre est ouverte» ou «deux fenêtres sont ouvertes» ou ... ou «n-1 fenêtres sont ouvertes» (un peu comme en proba) ce qui signifie «au moins une fenêtre est ouverte»
et que la négation est «il existe une fenêtre qui n'est pas fermée»

la seule «différence» que je perçois est que dans le premier cas on s'intéresse à tous les cas (comme pour calculer une proba) alors que dans le second on ne se focalise que sur l'existence d'un cas (un cas particulier est suffisant pour ce que l'on veut en faire). Mais là je pinaille ....

En logique la "contrariété" concerne la propriété et non le quantificateur.
La contradiction concerne les deux:

"Tout x est P" a pour contraire "Tout x est non-P" et pour contradictoire "il existe un x (au moins) qui est non-P"
Sauf erreur de ma part, la négation d'une proposition est la contradictoire d'icelle.

[Médiat]

Bonjour très cher karlp,

Juste pour confirmer ce qu'écrit ansset, en logique mathématique il n'existe qu'une seule notion (il n'y a bien qu'un seul connecteur (mal nommé dans ce cas)) qui est la négation d'une proposition (une proposition et son contraire étant bien évidemment contradictoire (leur conjonction est fausse)).

Les règles de contruction de la négation sont très simples et faciles à appliquer.

Quant à la confusion chiffres/nombres j'ai eu à la combattre jusqu'avec des élèves de terminale S.

[Alzen McCAW]

qui continuent de croire que "les chiffres c'est de 0 à 9, et après sont les nombres": ils ne comprenaient pas que le chiffre est le symbole et le nombre, l'objet représenté par le symbole. On leur fait apprendre des choses illogiques et ils finissent par ne plus comprendre ce qui l'est)

répartie : "l'alphabet c'est de a à z, après ce sont les mots"

[Médiat]

répartie : "l'alphabet c'est de a à z, après ce sont les mots"

a peut très bien être un mot.

[Alzen McCAW]

bien évidement, c'est le but de cette répartie ironique, faire réagir les élèves, pas les prof... sinon on est mal barré...

[karlp]

Bonsoir très cher Médiat

Bonjour très cher karlp,

Juste pour confirmer ce qu'écrit ansset, en logique mathématique il n'existe qu'une seule notion (il n'y a bien qu'un seul connecteur (mal nommé dans ce cas)) qui est la négation d'une proposition (une proposition et son contraire étant bien évidemment contradictoire (leur conjonction est fausse)).

Vous m'apprenez quelque chose: je croyais que les concepts (contradiction/contrariété, etc.) de la logique ancienne avaient retrouvé une place dans la logique mathématique.

Les règles de contruction de la négation sont très simples et faciles à appliquer.

Là encore, j'ignorais absolument que la négation était construite (je pensais qu'on se contentait de la définir aux niveaux sémantique et syntaxique).

Quant à la confusion chiffres/nombres j'ai eu à la combattre jusqu'avec des élèves de terminale S.

Cela ne me surprend plus désormais. Mais je ne comprends vraiment pas pourquoi les "pédagogues" supposent que la bonne définition est trop difficile pour les enfants.

Excellente soirée à vous .

[Médiat]

Là encore, j'ignorais absolument que la négation était construite (je pensais qu'on se contentait de la définir aux niveaux sémantique et syntaxique).

Pour être plus complet, la négation est définie sémantiquement au niveau des formules atomiques, et construite syntaxiquement (ce qui permet de la définir sémantiquement) pour les formules générales.

[invite1445654e]

"Le contraire de la proposition "toutes les fenêtres sont fermées" est la proposition "il existe une fenêtre (au moins) d'ouverte"" (1)
"Le contraire de la proposition "tous les carrés sont des losanges" est la proposition "il existe des losanges qui ne sont pas carrés"" (2)

Bonjour à tous je ne vois pas ce qui est choquant dans ces phrases c'est vraiment de la logique car il faut voir amha comme la négation de la proposition.
A = toutes les fenêtres sont fermées
/A = il existe au moins une fenêtre ouverte
y a rien à dire
A=tous les carrés sont des losanges
/A=y a au moins un losange qui est pas un carré
la seconde proposition me fait tiqué mais bon
quand on fait eu peu de logique des prédicats , propositionnelle etc , je vois pas l'erreur dans la formulation

[karlp]

Pour être plus complet, la négation est définie sémantiquement au niveau des formules atomiques, et construite syntaxiquement (ce qui permet de la définir sémantiquement) pour les formules générales.

Voilà ce que je comprends : la négation va être définie (sémantiquement) grace à la table de vérité. Et elle va être construite syntaxiquement en posant les équivalences entre la négation de certaines formules et d'autres formules (wff) avec ou sans négation ?

(je n'avais jamais prêté attention à ce que vous avez souligné hier: le terme "connecteur" est mal choisi pour la négation)

[invite4492c379]

Hello,

juste pour me dire que je ne suis pas à côté de la plaque. Les langages formels séparent syntaxe et sémantique. Un langage formel est défini par des symboles (variables, expressions/prédicats, opérateurs/connecteur, quantificateurs, ...), des axiomes et des règles de productions.
Aucune sémantique n'est pas liée aux langages formels, tout comme un langage formel n'est pas lié à une sémantique. Ils peuvent avoir une utilité dans plusieurs situations différentes. Dans chaque modèle ils peuvent avoir une sémantique différente.

[Médiat]

il faut voir amha comme la négation de la proposition.
A=tous les carrés sont des losanges
/A=y a au moins un losange qui est pas un carré
la seconde proposition me fait tiqué mais bon
quand on fait eu peu de logique des prédicats , propositionnelle etc , je vois pas l'erreur dans la formulation

Et pourtant il y a une grosse erreur, une des preuves est que les deux sont vraies, elles ne peuvent donc pas être A et non A.

non A est : il y a au moins un carré qui n'est pas un losange.

[invite1a308282]

bien vu ! merci de la précision

[Médiat]

Voilà ce que je comprends : la négation va être définie (sémantiquement) grace à la table de vérité.

Oui, ou une autre façon de le dire : si est une relation, le graphe de est le complémentaire du graphe de (dans l'ensemble qui va bien, et qui dépend de l'arité de .

Et elle va être construite syntaxiquement en posant les équivalences entre la négation de certaines formules et d'autres formules (wff) avec ou sans négation ?

Oui, par exemple : est par définition équivalent à

[Médiat]

Aucune sémantique n'est pas liée aux langages formels, tout comme un langage formel n'est pas lié à une sémantique. Ils peuvent avoir une utilité dans plusieurs situations différentes. Dans chaque modèle ils peuvent avoir une sémantique différente.

Je suppose que vous voulez dire : "aucune sémantique particulière n'est canoniquement liée à une langage formel". Un modèle est une (interprétation) sémantique d'un langage formel (en général quand on parle de modèle, c'est que l'on dispose d'une théorie en plus du langage, alors qu'une (interprétation) sémantique n'a besoin que d'un langage).

[invite1445654e]

Je suppose que vous voulez dire : "aucune sémantique particulière n'est canoniquement liée à une langage formel". Un modèle est une (interprétation) sémantique d'un langage formel (en général quand on parle de modèle, c'est que l'on dispose d'une théorie en plus du langage, alors qu'une (interprétation) sémantique n'a besoin que d'un langage).

Aussi une erreur qu'on voit souvent que font certains programmeurs informatiques , quand on leur dit qu'une variable pour que le test fonctionne qu'elle prenne comme valeurs 5 et 6 et bien on se retrouve avec
if a = 5 and a = 6
alors qu'on doit utiliser le ou

[karlp]

1) Oui, ou une autre façon de le dire : si est une relation, le graphe de est le complémentaire du graphe de (dans l'ensemble qui va bien, et qui dépend de l'arité de .


2) Oui, par exemple : est par définition équivalent à

1) J'apprécie cette autre façon d'exprimer la négation qui en passe par la notion de complémentaire d'un graphe: simple et élégante.

2) La télépathie est un fait : je pensais également aux lois De Morgan.

Je pense avoir bien compris !

[karlp]

Bonjour à tous je ne vois pas ce qui est choquant dans ces phrases c'est vraiment de la logique car il faut voir amha comme la négation de la proposition.
A = toutes les fenêtres sont fermées
/A = il existe au moins une fenêtre ouverte
y a rien à dire
A=tous les carrés sont des losanges
/A=y a au moins un losange qui est pas un carré
la seconde proposition me fait tiqué mais bon
quand on fait eu peu de logique des prédicats , propositionnelle etc , je vois pas l'erreur dans la formulation

Pour le deuxième exemple, comme le dit Médiat, les deux propositions sont parfaitement compatibles.

Pour le premier exemple, j'étais "choqué" par l'usage du terme "contraire" que la logique ancienne distinguait de la "contradition". Mais cette distinction aristotélicienne n'a pas été reprise en logique mathématique (ce que je viens d'apprendre) et je suivrais volontiers Ansett qui propose qu'on substitue avantageusement le terme "négation" à celui de "contraire", ce qui évite les ambiguïtés.

[Médiat]

je suivrais volontiers Ansett qui propose qu'on substitue avantageusement le terme "négation" à celui de "contraire", ce qui évite les ambiguïtés.

Comme tous les (mathématiciens) logiciens